Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia Ćwiczenia nr 4. Model systemu wielostanowego
1. Podstawy
ZałoŜenia:
- elementy dwustanowe w sensie niezawodności o wykładniczych rozkładach czasów poprawnej pracy i odnowy (model Markowa);
- system wielostanowy w sensie niezawodności, a jego stany definiowane są stanami elementów.
Dowolny stan systemu opisany jest stanami jego elementów, czyli wektorem x = x ,..., x ,..., x 1
i
n
Poszczególne, zdefiniowane wcześniej stany niezawodnościowe systemu stanowią podzbiory stanów jego elementów, czyli podzbiory wektorów x. Zatem przechodzenie procesu zmian stanów systemu wynika jednoznacznie z procesów przechodzenia elementów pomiędzy swoimi stanami. Przy załoŜeniu o wykładniczym charakterze rozkładu czasu przechodzenia do kolejnych stanów i przebywania w stanach rozkłady łączne procesu zmian definiuje się za pomocą macierzy intensywności przejść. W efekcie uzyskać moŜna metodą równań stanów charakterystyki chwilowe lub graniczne prawdopodobieństw przebywania procesu w poszczególnych stanach, z których z kolei wyznacza się kolejne istotne wartości miar niezawodnościowych systemu.
Arkadiusz Wrzosk
1
awrzosk@wat.edu.pl
Ćwiczenia 4
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia Zadanie 1
Rozpatrujemy strukturę niezawodnościową z redundancją układową, pasywną, przesuwającą się złoŜoną z elementów identycznych, odnawialnych. Schemat blokowy struktury niezawodnościowej przedstawiony jest na rysunku. Uszkodzony element naprawiany jest przez jednego konserwatora. Najpierw naprawiane są elementy podstawowe, a dopiero później nadmiarowy.
Element 3 stanowi redundancję pasywną, przesuwającą się, dla elementów 1 i 2.
Zatem
− at
F t
( ) = F t
( ) = 1 − e
i
− bt
G t
( ) = G t
( ) = 1 − e
i
1 konserwator
Graf stanów procesu
Stan
-3a
zdatności
1
111
2a
a
-(2a+b)
b
b
2
3
011
101
110
-(2a+b)
a
a
b
2a
4
b
5
-(a+b)
001
010
100
b
6
a
-(a+b)
a
000
Stan
-b
awarii
Uwaga:
- intensywności (pętle) na wierzchołkach grafu to minus suma intensywności wychodzących z wierzchołka.
- suma intensywności „a” wychodzących ze stanu jest równa liczbie elementów w stanie zdatności w tym stanie
- suma intensywności „b” wychodzących ze stanu powinna być równa liczbie konserwatorów
- z kaŜdego stanu istnieje „wyjście” o intensywności „b”
Równania stanu są sposobem na reprezentację modelu matematycznego układu dynamicznego. Jest to układ równań róŜniczkowych pierwszego rzędu, rozwiązanych względem pierwszych pochodnych.
Dla obwodu zawierającego n stanów moŜna sformułować n równań róŜniczkowych pierwszego rzędu.
Arkadiusz Wrzosk
2
awrzosk@wat.edu.pl
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
Układ równań róŜniczkowych stanu (Kołmogorowa)
d
p ( t) = −3 ap ( t) + bp ( t) + bp ( t) 1
1
2
3
dt
d
p ( t) = 2 ap ( t) − (2 a + b) p ( t) + bp ( t) 2
1
2
4
dt
d p ( t) = ap ( t)−(2 a+ b) p ( t)+ bp ( t)
3
1
3
5
dt
d p ( t) = ap ( t) − ( a + b) p ( t)
4
2
4
dt
d p ( t) = ap ( t)+ 2 ap ( t)−( a+ b) p ( t)+ bp ( t)
5
2
3
5
6
dt
d
p ( t) = ap ( t) + ap ( t) − bp ( t)
6
4
5
6
dt
Aby układ równań miał rozwiązanie zamiast jednego z równań wstawiamy równanie normalizujące:
p ( t) + p ( t) + p ( t) + p ( t) + p ( t) + p ( t) = 1
1
2
3
4
5
6
Oraz warunek początkowy
p(0) = (0. 0
,
5 .
,
0
,
0
,
5
,
0 0)
Równania te moŜna rozwiązać stosując transformatę Laplace’a.
d
L
f ( t)
*
= sf ( s) − f (0)
dt
L{ f
∫ ( t dt} 1
)
*
=
f ( s)
s
{
L }
a
a =
s
p ( s) − 0 5
. = −3 ap ( s) + bp ( s) + bp ( s)
1
1
2
3
p ( s) − 0.5 = 2 ap ( s) − (2 a + b) p ( s) + bp ( s) 2
1
2
4
p ( s) − 0 = ap ( s) − (2 a + b) p ( s) + bp ( s)
3
1
3
5
p ( s) − 0 = ap ( s) − ( a + b) p ( s) 4
2
4
p ( s) − 0 = ap ( s) + 2 ap ( s) − ( a + b) p ( s) + bp ( s)
5
2
3
5
6
p ( s) − 0 = ap ( s) + ap ( s) − bp ( s) 6
4
5
6
Warunek normalizujący
1
p ( s) + p ( s) + p ( s) + p ( s) + p ( s) + p ( s) =
1
2
3
4
5
6
s
Arkadiusz Wrzosk
3
awrzosk@wat.edu.pl
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia Rozwiązując powyŜszy układ równań otrzymujemy wektor p( t) = ( p ( t), p ( t), p ( t), p ( t), p ( t), p ( t)) 1
2
3
4
5
6
będący podstawa obliczania charakterystyk niezawodnościowych wielostanowego w sensie niezawodności systemu.
System jest zdatny w stanach 1,2 i 3, więc
*
k ( t)
g
p ( t) + p ( t) + p ( t) 1
2
3
η
=
=
k ( t )
g
k ( t)
k ( t) k ( t)
g
g 1
g 2
Chcąc uzyskać charakterystyki graniczne przekształcamy uzyskany układ równań Prawdopodobieństwo graniczne
p = lim p ( t)
i
i
t →∞
oraz
d
d
d
lim
p ( t) =
lim p ( t) =
p = 0
i
i
i
t →∞
t →∞
dt
dt
dt
0 = −3 ap + bp + bp
1
2
3
0 = 2 ap − (2 a + b) p + bp 1
2
4
0 = ap − (2 a + b) p + bp
1
3
5
0 = ap − ( a + b) p 2
4
0 = ap + 2 ap − ( a + b) p + bp
2
3
5
6
0 = ap + ap − bp
4
5
6
Ten układ równań liniowych moŜna rozwiązać np. metodą Gaussa. Otrzymujemy wtedy wektor
p = ( p , p , p , p , p , p ) 1
2
3
4
5
6
granicznych prawdopodobieństw będący podstawa obliczania granicznych charakterystyk niezawodnościowych wielostanowego w sensie niezawodności systemu.
System jest zdatny w stanach 1,2 i 3.
*
Kg
p + p + p
1
2
3
η
( t) =
=
K g
K
K K
g
g 1
g 2
Arkadiusz Wrzosk
4
awrzosk@wat.edu.pl
Ćwiczenia 4
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia Zadanie 2
Rozpatrujemy strukturę niezawodnościową z redundancją układową, pasywną złoŜoną z elementów identycznych, odnawialnych. Schemat blokowy struktury niezawodnościowej przedstawiony jest na rysunku. Uszkodzony element naprawiany jest przez jednego konserwatora. Najpierw naprawiane są elementy podstawowe, a dopiero później nadmiarowe.
Elementy 3 i 4 stanowi redundancję pasywną, dla elementów 1 i 2.
Zatem
− at
F t
( ) = F t
( ) = 1 − e
i
− bt
G t
( ) = G t
( ) = 1 − e
i
1 konserwator
Graf stanów procesu
Stan
1
zdatności
1111
2a
2a
b
b
3
2
0111
1101
1011
1110
a
b
a
b
a
a
a
b
2a
6
4
5
b
0011
1001
1100
0110
7
0101
a
1010
2a
b
a
a
2a
b
b
a
8
9
0010
0100
0001
1000
a
a
b
10
0000
Stan awarii
Uwaga: intensywności (pętle) na wierzchołkach grafu to minus suma intensywności wychodzących z wierzchołka.
Arkadiusz Wrzosk
5
awrzosk@wat.edu.pl