GEOMETRIA ANALITYCZNA ARKUSZ 1
Zadanie 1.
Udowodnić, Ŝe dla dowolnych wektorów n
x, y ∈ R
a) JeŜeli x = y , to ( x + y) ⊥( x − y) .
b) JeŜeli x ⊥ y , to x + y = x − y Podać interpretację geometryczną powyŜszych twierdzeń w przestrzeni 2
R .
Zadanie 2.
Udowodnić, Ŝe dla dowolnych wektorów 3
x, y ∈ R
x + y = x + y ⇔ ∃
.
t, s∈
sx
R
+ ty = Θ
Zadanie 3.
W przestrzeni 3
R dane są wektory u =
)
1
,
1
,
1
(
, v = ( ,
2 −
)
0
,
1
, w = (
,
1
,
0
)
2 .
a) Sprawdzić, czy wektory u,v,w stanowią bazę przestrzeni 3
R .
b) Dobrać stałe r,s,t tak, Ŝeby wektory u, u+rv, u+sv+tw były parami ortogonalne. Czy te wektory teŜ stanowią bazę przestrzeni 3
R ? Odpowiedź
uzasadnić.
Zadanie 4.
W przestrzeni 4
R dane są wektory u = (
)
1
,
0
,
1
,
2
i v =
,
3
,
0
,
1
(
2) . Dobrać liczby s i t tak, aby wektor z =
)
0
,
1
,
0
,
1
(
+ tu + sv był prostopadły (ortogonalny) i do wektora u i do wektora v.
Zadanie 5.
Wierzchołkami trójkąta w 2
R są punkty p = (− 0
,
2 ) , q =
)
0
,
1
(
i r = ( ,
2
)
3 . Znaleźć
kąt tego trójkąta przy wierzchołku q.
Zadanie 6.
W przestrzeni 4
R dane są trzy punkty p = (− , 2
,
1
,
2 − )
1 , q =
,
0
,
1
(
− )
0
,
1
i r = (
,
1
,
2
)
1
,
4
.
a) Sprawdzić, Ŝe podane punkty są wierzchołkami trójkąta.
b) Czy ten trójkąt jest rozwartokątny?
Zadanie 7.
Która z podanych niŜej baz w przestrzeni 3
R wyznacza w tej przestrzeni orientację dodatnią? Które z baz wyznaczają tę samą orientację?
a) Baza ( u, v, ) w , gdzie u =
,
3
( −
)
1
,
2
, v =
,
0
,
1
(
4) , w = ( ,
0 −
)
3
,
2
b) Baza ( x, y, z) , gdzie x = ( , 2 ,
2 )
2 , y = ,
1
(
)
3
,
2
, z =
)
0
,
0
,
1
(
c) Baza ( a, ,
b c) , gdzie a = (−
)
1
,
0
,
1
, b =
,
3
(
,
2 − )
1 , c = (
,
1
,
0
)
0