Wyznacznik macierzy kwadratowej An
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A
jest pewna liczba jednoznacznie
przyporządkowana tej macierzy;
ozn.:
det A ( ang. determinant), |A|.
Liczbę tą definiuje się podając metodę jej obliczenia dla macierzy kwadratowej
stopnia n, przy n = 1, 2, ...
Anna Rajfura
31
Obliczanie wyznacznika – metoda Laplace'a
Dla n = 1, 2, ... wyznacznik macierzy An
oblicza się metodą Laplace’a rozwijania wyznacznika względem wiersza lub
kolumny macierzy An.
Dla n = 2 oraz n = 3 metodę Laplace’a moŜna przedstawić w postaci uproszczonej.
Anna Rajfura
32
Obliczanie det A1
Dla n = 1:
det [ a11] = a11
Przykłady:
det [-3] = -3
det [12] = 12
Anna Rajfura
33
Obliczanie det A2
Dla n = 2:
a
a
11
12
det
= a ⋅ a − a ⋅ a 11
22
12
21
a
a
21
22
Przykład:
1
2
det
= 1⋅8 − 2 ⋅ 3 = 8 − 6 = 2
3
8
Anna Rajfura
34
Obliczanie det A3 - schemat Sarrusa
Dla n = 3 wyznacznik moŜna obliczyć
stosując schemat Sarrusa:
1. Pod trzecim wierszem
a
a
a
11
12
13
przepisać pierwszy wiersz,
det a
a
a
=
a pod nim drugi.
21
22
23
a
a
a
31
32
33
a
a
a
11
12
13
a
a
a
21
22
23
Anna Rajfura
35
Obliczanie det A3 - schemat Sarrusa cd.
a
a
a
11
12
13
det a
a
a
=
21
22
23
a
a
a
31
32
33
a
a
a
11
12
13
a
a
a
a11· a22· a33
21
22
23
a
2. Obliczyć iloczyny elementów
21· a32· a13
na przekątnej głównej i dwóch
a31· a12· a23
przek ątnych równoległych do
nie j; niech Sg oznacza sumę
tych iloczynów.
suma Sg = ...
Anna Rajfura
36
Obliczanie det A3 - schemat Sarrusa cd.
a
a
a
11
12
13
det a
a
a
=
21
22
23
a
a
a
31
32
33
a
a
a
11
12
13
a
a
a
21
22
23
a13· a22· a31
a
3. Obliczyć iloczyny elementów
23· a32· a11
na drugiej przekątnej i dwóch
a33· a12· a21
przekątnych równoległych do
niej; niech Sd oznacza sumę
suma Sd = ...
tych iloczynów.
Anna Rajfura
37
Obliczanie det A3 - schemat Sarrusa cd.
4.
det A = S
g – Sd
Uwaga
Zamiast dopisywać dwa pierwsze wiersze pod
trzecim, moŜ na dopisać dwie pierwsze
kolumny za trzecią lub wyznaczyć pewne
trójką ty w macierzy. Wszystkie te graficzne
sposoby
słuŜą
ułatwieniu
zapamię tania
i stosowania podanego dalej wzoru:
Przykłady na tablicy.
Anna Rajfura
38
Obliczanie det A3
Wzór na det A3:
a
a
a
11
12
13
det a
a
a
21
22
23
= S − S ,
g
d
a
a
a
31
32
33
gdzie:
S = a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a g
11
22
33
21
32
13
31
12
23
S = a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a d
31
22
13
21
12
33
11
32
23
Anna Rajfura
39
Przykład
Oblicz wyznacznik danej macierzy.
1
2
3
det −1
0
4 = 11−
(−6)=17
1 −1 1
1
2
3
0
−
0
0
1
0
4
- 4
3
+ - 2
+ 8
Sd = - 6
Sg = 11
Anna Rajfura
40
Obliczanie wyznacznika macierzy An*
Metoda Laplace’a rozwijania wyznacznika
względem i-tego (dowolnego) wiersza macierzy An
a
a
K
a
11
12
1 n
M
M
M
det
a
a
K
a
1
2
= a 1 ⋅ − +
1
⋅1 det A 1 +
i
i
in
( ) i
i
i
M
M
M
a
a
K
a
1
2
n
n
nn
+ a
K
2 ⋅ (− ) i +
1
⋅2 det A 2 + + a ⋅ − +
1
⋅ det A
i
i
in
( ) i n
in
gdzie Aij jest macierzą, która powstaje po wykreśleniu z macierzy A i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
Anna Rajfura
41
Przykład*
Oblicz wyznacznik danej macierzy A.
Polecenie moŜna wykonać wybierając rozwinięcie względem np. drugiego wiersza.
1 −1
0
2
3 −1
1 0
A =
2
1
4
3
0
3
−1
1
Anna Rajfura
42
Przykład cd.*
1 −1
0
2
1 −1
0
2
3 − 1
1 0
det
= 3⋅ (− )2+1
3 − 1
1 0
1
⋅ det
+
2
1
4
3
2
1
4
3
0
3
−1
1
0
3
−1
1
1 −1
0
2
1 −1
0
2
+ (− )
1 ⋅ (− )2+2
3 − 1
1 0
1
⋅ det
+1⋅ (− )2+3
3 − 1
1 0
1
⋅ det
2
1
4
3
2
1
4
3
0
3
−1
1
0
3
−1
1
1 −1
0
2
+ 0 ⋅ (− )2+4
3 − 1
1 0
1
⋅ det
=
2
1
4
3
0
3
−1
1
Anna Rajfura
43
Przykład cd.*
= - 33
= 3
−1
0
2
1
0
2
+
+
= 3⋅ (− )
1 2 1 ⋅ det
1
4
3 +
(− )
1 ⋅ (− )
1 2 2 ⋅ det 2
4
3 +
3 −1 1
0 −1 1
= 6
1 −1 2
Wyznaczniki zakreś lonych
+
+1⋅ (− )
1 2 3 ⋅ det 2
1
3 + 0 =
macierzy moŜ na policzyć
wg schematu Sarrusa lub
0
3
1
ogólną metodą Laplace'a.
= 3⋅ (− )
1 ⋅ (− 33) + (− )
1 ⋅ 3 ⋅ (− )
1 + 3 ⋅ (− )
1 ⋅ 6 = 90
Odp.: det A = 90.
Anna Rajfura
44
Własności wyznacznika*
1. Wyznacznik macierzy trójkątnej górnej (dolnej) jest równy iloczynowi elementów
na głównej przekątnej.
2. JeŜeli macierz kwadratowa ma
w pewnym wierszu (lub kolumnie) same
zera, to jej wyznacznik jest równy zeru.
Anna Rajfura
45
Własności wyznacznika cd. *
3. JeŜeli dwa wiersze (lub kolumny) macierzy kwadratowej są
proporcjonalne, to jej wyznacznik jest
równy zeru.
4. Wyznacznik macierzy jednostkowej
dowolnego stopnia jest równy jeden.
det In = 1
5. Wyznaczniki macierzy A oraz AT są
równe.
det A = det AT
Anna Rajfura
46
Własności wyznacznika cd. *
6. Dla macierzy A stopnia n:
det ( k· A) = kn·det A, k ∈ R
7. Wyznacznik iloczynu macierzy
kwadratowych tego samego stopnia jest
równy iloczynowi wyznaczników tych
macierzy:
det ( A· B) = det A · det B
Anna Rajfura
47
Macierz osobliwa, nieosobliwa
Macierz kwadratową A nazywamy osobliwą, gdy det A = 0.
Macierz kwadratową A nazywamy nieosobliwą, gdy det A ≠ 0 .
Anna Rajfura
48
Zadania
Zadania w pliku
Zadania_macierze_wyznacznik.pdf
Uwaga
Do obliczania wyznacznika macierzy
moŜna wykorzystać funkcję arkusza EXCEL:
WYZNACZNIK.MACIERZY
Anna Rajfura
49