Estymacja przedziałowa. Zadania
DANE do zad. 1-2
Waga porcji kurczaka oferowanych w zakładzie gastronomicznym jest zmienna losow o rozkładzie
N(m, σ). Dla losowo wybranych 25 porcji, rednia waga wyniosła 425 g a odchylenie standardowe
40 g.
Zad 1. a) Prosz oszacowa punktowo warto oczekiwan oraz wariancj wagi porcji kurczaka.
b) Jaka jest precyzja szacunku warto ci oczekiwanej za pomoc redniej z próby? Czy mo na uzna
t precyzj za zadowalaj c ?
Zad 2. a) Prosz oszacowa przedziałowo warto oczekiwan i wariancj wagi porcji kurczaka (przy
współczynniku ufno ci 0,90).
b) Jak zmieni si długo ci oszacowanych przedziałów dla współczynnika ufno ci 0,98?
c) Jak zmieni si długo przedziału, je li zwi kszymy liczebno próby dwukrotnie?
Zad 3. Waga porcji kurczaka oferowanych w innym zakładzie gastronomicznym jest zmienna losow
o nieznanym rozkładzie. Dla losowo wybranych 121 porcji, rednia waga wyniosła 425 g a odchylenie
standardowe 40 g.
a) Prosz oszacowa punktowo warto oczekiwan porcji kurczaka, oraz oceni precyzj szacunku
estymacji punktowej.
b) Prosz zbudowa przedział ufno ci dla warto oczekiwanej przy współczynniku ufno ci 0,90.
Prosz oceni dokładno estymacji przedziałowej (maksymalny bł d szacunku).
c) Jakie zało enie odno nie rozkładu populacji generalnej nale y przyj ?
Zad 4. W losowej próbie 600 bateri wykryto 48 wadliwych. Prosz oszacowa procent wadliwych
bateri w populacji generalnej metod punktow i przedziałow (przy współczynniku ufno ci 0,95).
Prosz oceni dokładno estymacji punktowej i przedziałowej.
Zad 5. Jak liczna powinna by próba, aby oszacowa nieznan frekwencj wyborcz w wyborach
przy współczynniku ufno ci 0,95, je li nie chcemy si pomyli o wi cej ni 0,05? Prosz porówna
wyniki dla współczynników ufno ci 0,9 i 0,99 jak mo na wpływa na dokładno szacunku?
Zad 6. Z jaka ufno ci mo na twierdzi , e rednie obroty [ tys. zł] w sieci dystrybucji zawieraj si w
przedziale <2 ; 2,5> mln zł, je li na podstawie 26 elementowej próby losowej otrzymano wariancj
1 (tys. zł)2?
Zad 7. Na podstawie losowej próby 400 konsumentów odwiedzaj cych pewien sklep AGD otrzymano
nast puj cy przedział ufno ci dla rednich wydatków: <460; 500> zł, oszacowany z ufno ci 0,98.
Jak liczna powinna by próba, aby maksymalny bł d szacunku nie przekroczył 15 zł?
Zad 8. Waga paczki chrupek ma rozkład N(m, 2)g. W próbie 16 paczek ł czna ich waga wyniosła
480 g.
a) Prosz oszacowa przedziałowo redni wag paczki chrupek w populacji generalnej, przyjmuj c
współczynnik ufno ci 0,95
b) Ile paczek nale y dolosowa do próby aby zwi kszy precyzj oszacowania dwukrotnie?
c) Prosz oszacowa przedziałowo redni wag paczki chrupek, zakładaj c, e nie znamy
odchylenia standardowego w populacji generalnej za odchylenie standardowe z próby wynosi 2,2
(współczynnik ufno ci 0,95).
Zad 9. Na podstawie losowej próby 600 nabywców kawy otrzymano nast puj cy przedział ufno ci
dla frakcji konsumentów lojalnych wobec marki „B”: <35%; 45%>.
a) W ilu przypadkach na 100 przedział ten pokryje nieznan warto frakcji konsumentów lojalnych
wobec marki „B” w populacji nabywców kawy?
b) Jaki jest maksymalny bł d szacunku oraz standardowy bł d estymacji punktowej?
G:\AGA\UCZELNIA\03 Estymacja\Estymacja przedziałowa zadania [1].doc
Zad 10. W 100 losowo wybranej próbie studentów 20 nie przyst piło do egzaminu ze statystyki.
Przedział ufno ci wyznaczony na podstawie tej próby dla odsetka studentów, którzy nie przyst pili do
egzaminu ma posta <11,8; 28,2>%.
a) Dla jakiego współczynnika ufno ci wyznaczono powy szy przedział?
b) Prosz poda bł d standardowy estymacji punktowej oraz maksymalny bł d szacunku.
c) Jaka jest minimalna liczebno próby niezb dna do oszacowania frakcji studentów, którzy nie
przyst pili do egzaminu ze statystyki, z takim samym bł dem absolutnym szacunku dla 1- α = 0,9?
Zad 11. Z bada sytuacji ekonomicznej gospodarstw domowych (1999) wynika, e odsetek
gospodarstw ubogich w ród gospodarstw rolniczych wynosi 23%, za w ród gospodarstw
nierolniczych 18%. Prosz poda :
a) Jakie jest prawdopodobie stwo, tego, e w losowej próbie 300 gospodarstw rolniczych
odsetek gospodarstw ubogich jest wy szy ni w próbie 200 gospodarstw nierolniczych?
b) Oszacuj przedziałowo ró nic odsetka gospodarstw ubogich w mie cie i na wsi, przy
współczynniku ufno ci 0,95
Zad 12. Zbadano skuteczno dwóch leków nasennych. Pierwszy lek podano 100 pacjentom, z
czego u 50 z nich stwierdzono popraw , drugi podano 200 pacjentom, u 70 nie stwierdzono poprawy.
Prosz :
a) Okre li parametry rozkładu ró nicy skuteczno ci obu leków, mierzonej ró nic odsetków
wyleczonych pacjentów.
b) Przyjmuj c współczynnik ufno ci 0,90 oszacowa przedziałowo ró nic skuteczno ci leków.
c) Prosz poda przeci tny i maksymalny bł d szacunku.
d) Z jakiego twierdzenia nale y skorzysta ?
e) Prosz okre li , jaki poziom współczynnika ufno ci przyj to przy przedziałowym oszacowaniu
powy szej ró nicy je li w wyniku estymacji otrzymano przedział o ko cach –1,92% i 21,92%
Zad 13. (2002) W wybranej losowo grupie 13 pracowników pewnego banku redni wiek wyniósł 35 lat, przy
współczynniku zmienno ci 20%. Wiedz c, e wiek pracowników banku ma rozkład normalny:
a) oszacowa przedziałowo redni wiek pracowników banku, przy współczynniku ufno ci 0,90
b) stwierdzi , czy 36 elementowa próba jest wystarczaj co liczna aby oszacowa przeci tny wiek
pracownika tego banku z dokładno ci do 1 roku i współczynniku ufno ci 0,99 zakładj c, e
rozkład wieku pracowników banku jest rozkładem normalnym z odchyleniem standardowym 3
lata?
Zad 14. Zbadano płe niemowl t w dwóch szpitalach. W pierwszym na 100 niemowl t było 50
dziewczynek w drugim na 200 niemowl t było 80 dziewczynek. Prosz :
a) Okre li warto oczekiwan i wariancj ró nicy frakcji chłopców w obu szpitalach.
b) Przyjmuj c współczynnik ufno ci 0,97 oszacowa przedziałowo ró nic frakcji chłopców w obu
szpitalach.
c) Z jakiego twierdzenia nale y skorzysta ?
Zad 15. W celu zwi kszenia zainteresowania własnymi wyrobami pewna cukiernia zdecydowała si
przeprowadzi promocj . Efektywno promocji oceniono na postawie redniej warto ci sprzeda y w
ci gu 10 dni trwania promocji i 20 dni przed ni . Otrzymano nast puj ce wyniki:
przed rozpocz ciem promocji
x
4000
s
1 =
1 =250
w trakcie promocji
x
5000
2 =
s2 =300
a) Prosz oszacowa punktowo i przedziałowo (współczynnik ufno ci 0,90) ró nic rednich
dziennych wpływów cukierni przed promocj i w czasie jej trwania.
b) Prosz poda przeci tny i maksymalny bł d szacunku.
c) Jakie nale y przyj zało enia aby rozwi za to zadanie.
d) Zakładaj c, e liczba dni promocji wynosiła 100 dni i przed promocj zmierzono warto
sprzeda y dla 200 dni prosz oszacowa punktowo i przedziałowo (współczynnik ufno ci
0,90) ró nic rednich dziennych wpływów cukierni przed promocj i w czasie jej trwania. Jaki
b dzie standardowy i maksymalny bł d szacunku?
G:\AGA\UCZELNIA\03 Estymacja\Estymacja przedziałowa zadania [1].doc