Egzamin z przedmiotu „Analiza matematyczna I”

WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2013/2014

1. [9 p. ] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)

+ ∞

Z

dx

Z

dx

a)

b)

√

3 + ctg x

(3 + x) x

1

Z

[3 p. ] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę tg n x dx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [9 p. ] a) Obliczyć pole powierzchni bocznej bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego funkcją y = x 3 i osią OX w zakresie od x = 0 do x = 1. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.

[3 p. ] b) Wykorzystując własności całek z funkcji nieparzystych lub nieparzystych uzasadnić π

Z

równość

ex 2 sin xdx = 0.

−π

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

zx

1

3. [9 p. ] a) Dla funkcji f ( x, y, z) =

− z 2 ex + x 2 y −

wyznaczyć zbiór D tych punktów

y

z

( x, y, z) ∈ R 3, dla których spełniona jest równość

∂ 4 f

1

( x, y, z) = −

∂y 2 ∂z∂x

4

[3 p. ] b) Stosując różniczkę zupełną funkcji dwóch zmiennych obliczyć przybliżoną wartość

√

wyrażenia

10001 · ln (1 , 01)4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [9 p. ] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji g( x, y) = 2 x 2 −y 2 +12 x w obszarze D określonym nierównością x 2 + y 2 ¬ 16.

1

[3 p. ] b) Określić wartość funkcji f ( x, y) =

sin x 2 y w punkcie (0 , 2) tak, aby była ona ciągła x 2

w tym punkcie.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

√

5. [9 p. ] a) Obliczyć pole powierzchni płata wyciętego z powierzchni z = 2 −

x 2 + y 2 przez

powierzchnię x 2 + y 2 = 2 y. Wykonać rysunek.

[3 p. ] b) Zdefiniować obszar na płaszczyźnie normalny względem osi OY .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [ dla chętnych] [5 p. ] Wyprowadzić wzór na objętość elipsoidy o równaniu x 2

y 2

z 2

+

+

= 1

a 2

b 2

c 2