Wielomiany i funkcja wymierna 2
Powtórzenie
1. Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeśli wiesz, że jej miejscem zerowym jest –2, a wykresem jest linia 3
prosta nachylona do osi OX pod kątem rozwartym α takim, że sinα = .
5
1
2. Rozwiąż graficznie nierówność
2
− 2 < x − x −1.
x
3. Wyznacz współczynniki a, b, c trójmianu kwadratowego 2
y = ax + bx + c wiedząc, że iloczyn miejsc zerowych tego trójmianu jest równy ich sumie, współczynnik a jest równy kwadratowi współczynnika b, a najmniejszą wartością tego trójmianu jest –4.
4. Dany jest wielomian W ( x)
3
2
= x + mx + nx − 9 . Wyznacz współczynniki m i n jeśli wiadomo, że W (2) − 76 = W ( 2
− ) oraz że jednym z miejsc zerowych wielomianu jest liczba 1. Dla m = 6, n = 2
wyznacz wszystkie pierwiastki tego wielomianu.
5. Wyznacz wszystkie wartości parametru, dla których funkcja f ( x) 2
= mx + 2 mx − 3przyjmuje tylko
wartości ujemne.
x − 4
6. Rozwiąż równanie
2
x + 6 x + 9 +
= 6 .
x − 4
7. Wiedząc, że ,
x y ∈ N wyznacz wszystkie pary ( x, y) spełniające równanie (
2
x + x )( y − )
1 = 10 .
8. Dany jest wielomian P( x) = (
2
x − m )( x + 4 m − )
1 ( x + 2 m) . Podaj pierwiastki tego wielomianu.
Wyznacz wartość parametru m tak, aby suma tych pierwiastków była najmniejsza i wyznacz tę sumę.
2
⎧ y = x − 4
9. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań ⎨
.
⎩ y = 4 x − 7
1
1
10. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 2
mx − ( m + 4) x + m +
= 0 ma dwa
4
4
różne pierwiastki rzeczywiste takie, że iloraz ich sumy i iloczynu jest liczbą mniejszą niż 2.
G
11. Narysuj wykres funkcji ( ) 2
f x =
. Przesuń wykres funkcji f o wektor u = [−2, ]
3 i napisz wzór funkcji g,
x
której wykresem jest przesunięty wykres funkcji f. Narysuj wykres funkcji h( x) = f ( x) + f ( x) .
12. Rozwiązaniem nierówności 3
2
x − x − 8 x + 12 ≥ 0 jest przedział A, rozwiązaniem nierówności 2 x −1 < 7
jest przedział B. Wyznacz A − B .
13. Jedynym rozwiązaniem wymiernym równania
3
2
2 x + x −10 x + m = 0 , gdzie m jest liczbą całkowitą, jest liczba a ∈(1, 2) . Wyznacz liczbę m. Znajdź inne pierwiastki tego wielomianu.
−
14.
x
Sprawdź czy dziedziny funkcji f ( x)
2
3
=
i g ( x) = (2 x − 3)( x + 4) są równe. Wyznacz x + 4
dopełnienie dziedziny funkcji g w zbiorze liczb rzeczywistych.
15. Grupa 12 przyjaciół podzieliła się na dwie grupy, by każdy mógł kupić pozostałym osobom ze swojej grupy upominek na mikołajki. Po ile osób znalazło się w każdej grupie, jeśli liczba upominków była najmniejsza? Ile było w sumie tych upominków?
16. Rozwiąż nierówność
2
x + 2 > 2 x + x .
17. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których reszta z dzielenia wielomianu W ( x)
3
2
= x − 2 x + 3 x + m przez wielomian G ( x) = x − m wynosi 8. Dla m = 2 wyznacz zbiór wartości funkcji ( ) = ( )
3
f x
W x − x .
18. Dany jest wielomian P( x) = ( x − 2)( x − m − 5)( x − 6 m − 20) . Podaj pierwiastki tego wielomianu.
Wyznacz parametr m tak, aby wielomian miał dokładnie dwa pierwiastki.
2
2
⎧ x + y − 2 x − 4 y = 0
19. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których układ równań ⎨
ma
⎩ y = x + m
dokładnie jedno rozwiązanie.
Wielomiany i funkcja wymierna 2
Powtórzenie
20. Dane jest równanie 2
x − ( m − 2) x + m +1 = 0 . Narysuj wykres funkcji f ( m) 2
2
=
+ , gdzie x ,
1
x
2
x
1
x są
2
różnymi pierwiastkami danego równania.
21. Dany jest wielomian W ( x)
4
2
= x − 4 x + kx + m . Wyznacz parametry k i m tak, aby reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x + 2 wynosiła –3, a reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x − 1 wynosiła 6. Dla k = 0 ∧ m = 0 rozwiąż nierówność W ( x) < 0 .
22. Dany jest wielomian W ( x) = ( x − k )( 2
x − 7 x + 10) . Wyznacz wartość parametru k tak, aby pierwiastki tego wielomianu tworzyły ciąg arytmetyczny.
23. Dany jest wielomian W ( x)
3
2
= 4 x + 2 x − 4 x +1. Wypisz wszystkie liczby wymierne, które mogłyby być 1
pierwiastkami tego wielomianu. Sprawdź, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu W. Rozwiąż 2
nierówność W ( x)
2
≤ x − 4 x +1.
−
24.
x
Dziedziną funkcji f ( x)
2
3
=
− 4 jest przedział D , zaś dziedziną funkcji g ( x) 2
= 5 − x jest
x − 2
f
przedział D . Wyznacz D ∩ D .
g
f
g
25. Punkt P należy do prostej l o równaniu y = 3 x −1. Wyznacz współrzędne punktu P tak, aby suma kwadratów jego odległości od punktów A = (−2, 5) i B = (1, − 4) była najmniejsza.
26. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W ( x)
6
5
4
3
2
= x + x + x + x + x + x +1 przez wielomian ( ) 3
P x = x − x .
27. Wykaż, że wielomian W ( x)
4
3
2
= x − 2 x + 2 x − 6 x + 9 nie ma pierwiastków rzeczywistych.
28. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ( x + )⎡( m + ) 2
2
1 x − 4 mx + m +1⎤ = 0
⎣
⎦
ma trzy różne pierwiastki ujemne.
3
29.
x
Rozwiąż równanie x + x − x − x =
.
2 x + x
2
30. Wyznacz liczbę rozwiązań równania
+ 3 = p z niewiadomą x w zależności od parametru p.
x