Zadania
przygoto
w
a
w
ze
z
RP
2
1.
P
o
wierz
hoªk
a
h
sze± ian
u
ABCD
A'B'C'D'
przesu
w
a
si
pionek.
W
k
a»dym
ru
h
u
pionek
mo»e
z
jednak
o
wym
pra
wdop
o
dobie«st
w
em
przej±¢
do
jednego
z
s¡siaduj¡ y
h
wierz
hoªk
ó
w.
Zakªa-
dam
y
,
»e
pionek
startuje
z
punktu
A.
a)
Obli zy¢
pra
wdop
o
dobie«st
w
o,
»e
pionek
do
jdzie
do
punktu
D'
szyb
iej
ni»
do
punktu
B.
b)
Obli zy¢
pra
wdop
o
dobie«st
w
o,
»e
pionek
do
jdzie
do
punktu
D'
szyb
iej
ni»
do
punktó
w
B
i
C.
)
Obli zy¢
w
arto±¢
o
zekiw
an¡
li zb
y
ru
hó
w
przed
pierwszym
p
o
wrotem
do
punktu
A.
d)
Obli zy¢
w
arto±¢
o
zekiw
an¡
li zb
y
ru
hó
w
przed
drugim
p
o
wrotem
do
punktu
A.
e)
Obli zy¢
w
arto±¢
o
zekiw
an¡
li zb
y
przej±¢
przez
punkt
D'
przed
pierwszym
p
o
wrotem
do
punktu
A.
(Un), (Vn), (Xn), (Yn), (Zn) 2.
Dane
s¡
i¡
gi
zmienn
y
h
loso
wy
h.
Rozkªady
t
y
h
zmienn
y
h
zadane
s¡
nastpuj¡ o:
−n2 + 5n + 1
3n + 1
√
√
3n − 2
1
P Un =
=
, P(U
n + 1 − n) =
, P(U
,
3
n = sin(
n = n) =
n2 + 1
6n
6n
6n
n
gV (x) =
√
1
(x) + 3 · 1
(x) ,
n
1 + 2 n
[− 1 ,0]
[0, 2 ]
√
n
n
n
n − 1n
P(Xn = k) =
n−n(n − 1)n−k, k = 1, 2, . . . , n, P (Xn = −n) =
,
k
n
1
gY (x) =
1[−n,n](x),
n
2n
k
4k3
P(Zn =
) =
, k = 1, 2, . . . , n.
n
n2(n + 1)2
Zbada¢
zbie»no±¢
w
edªug
rozkªadu
k
a»dego
z
t
y
h
i¡
gó
w.
(Xn) (Yn)
(Xn)
3.
Dane
s¡
dw
a
i¡
gi
,
niezale»n
y
h
zmienn
y
h
loso
wy
h,
przy
zym
zmienne
1
(Yn)
n
ma
j¡
ten
sam
rozkªad
wykªadni zy
z
parametrem
,
a
ma
j¡
rozkªad
P
oissona
z
parametrem
.
Zbada¢
zbie»no±¢
w
edªug
rozkªadu
i¡
gu
(X1 + X2 + . . . + Xn)2 − Y 2n
√
.
n n
(Mn) (Nn)
(Fn)
4.
Dane
s¡
dw
a
mart
yngaªy
,
adapto
w
ane
do
tej
samej
ltra ji
.
Nie
h
τ = inf{n : Mn < Nn}.
τ
a)
Czy
jest
momen
tem
stopu?
P(τ < ∞) = 1
Mτ
(
∨n + Nn
Fn)
b)
Do
wie±¢,
»e
je±li
,
to
jest
-mart
yngaªem.
(εn)
P(εn = 1) =
5.
Dan
y
jest
i¡
g
niezale»n
y
h
zmienn
y
h
loso
wy
h
o
t
ym
sam
ym
rozkªadzie
p = 1 − P(εn = 0) p ∈ (0, 1)
,
gdzie
jest
ustalon¡
li zb¡
rze zywist¡.
W
yzna zy¢
taki
i¡
g
li zb
o
wy
(an), aby i¡g zmienny h
Yn = an + ε1 + ε1ε2 + . . . + ε1ε2 . . . εn (σ(ε1, ε2, . . . , εn))n=1,2,...
b
yª
mart
yngaªem
wzgldem
ltra ji
.
Czy
ten
mart
yngaª
jest
zbie»n
y
p.n.?