‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ ZADANIA

RACHUNEK CAŠKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

1. Obliczy¢ dane caªki podwójne po wskazanych prostok¡tach:

a) R R y3ex2dxdy, R = [0; 2] × [−1; 1];

R

b) R R x dxdy, R = [1; 2] × [4; 6];

R y2

c) R R

1

dxdy, R = [0; 2] × [0; 1];

R (x+y+1)3

d) R R x sin xydxdy, R = [0; 1] × [π; 2π].

R

2. Zamieni¢ caªk¦ podwójn¡ RR f(x, y)dxdy na caªki iterowane, gdzie D

D

jest obszarem ograniczonym krzywymi:

a) x2 + y2 = 2, y3 = x2;

b) x2 + y2 = 4, y = 2x − x2, x = 0;

c) xy = 6, x + y = 7;

d) x = y2, x = y2 + 1.

2

3. W podanych caªkach iterowanych zmieni¢ (je±li jest to wykonalne) kolej-no±¢ caªkowania:

a) R 2 dy R 2−y f(x, y) dx,

−6

y2 −1

4

b) R π dx R 2 f(x, y) dy,

0

sin x

c) R 1 dx R |x|√

f (x, y) dy.

−1

− 4−x2

4. Obliczy¢ caªki podwójne po wskazanych obszarach:

a) RR | cos(x + y)| dxdy, D = [0; π] × [0; π];

D

b) RR max(2x, y) dxdy, D = [0; 2] × [0; 1];

D

c) RR (x2 + y2) dxdy, D : x2 + y2 − 2y ≤ 0;

D

d) RR

1

dxdy, D : x2 + y2 ≤ x, x2 + y2 ≤ y;

D (1−x2−y2)2

5. Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych krzywymi:

a) y = x2 − x, y = x;

b) y = ex, y = ln x, x + y = 1, x = 2;

c) x2 + y2 − 2y = 0, x2 + y2 − 4y = 0.

6. Obliczy¢ obj¦to±¢ bryª ograniczonych powierzchniami:

a) x2 + y2 = 1, x + y + z = 3, z = 0;

b) y = 0, y = 1 − |x|, z = 0, z = 10 − 5x − 2y;

c) x2 + y2 + z2 − 2z = 0;

d) z = 0, z =

1

√

, x2 = y2 − ax ≤ 0;

a2−(x2+y2)

e) x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, z = 0, z = 2;

√

f) x2 + y2 + z2 = R2, y = x, y = 3x;

g) z = x2 + y2, z = 4 − x2 − y2.

1