zadania z algebry1 id 573277

Poniższe zadania pochodzą ze zbiorów:

a) J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach

b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry

Do kolokwium proszę też przejrzeć zadania z ćwiczeń.

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Zadanie 1 Sprawdź, że działanie ⊕ określone w zbiorze R wzorem a ⊕ b = a + b + 1 jest przemienne i łączne oraz to, że ma ono element neutralny. Wyznacz te elementy zbioru R , dla których istnieje element odwrotny i przedstaw ten element odwrotny do a w zależności od a.

Zadanie 2 Sprawdź, że działanie określone w zbiorze R wzorem a b = ab + a + b jest przemienne i łączne oraz to, że ma ono element neutralny. Wyznacz te elementy zbioru R , dla których istnieje element odwrotny i przedstaw ten element odwrotny do a (o ile istnieje) przez a.

a + b

Zadanie 3 Zbadaj, czy działanie ∗ określone w zbiorze Q wzorem a ∗ b =

jest łączne

i czy ma ono element neutralny.

√

Zadanie 4 Działanie ◦ jest określone w zbiorze R wzorem a ◦ b = ( 3 a + 3 b)3 . Sprawdź, czy jest ono przemienne i łączne. Znajdź element neutralny tego działania. Wyznacz elementy odwrotne do tych liczb a ∈ R , które taki element mają.

Zadanie 5 Zbadaj, czy relacja równoległości określona w zbiorze 2

R wektorów na płaszczyź-

nie jest zgodna z działaniem:

a) dodawania wektorów

b) mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Zadanie 6 Niech n ∈ N . Udowodnij, że relacja równoważności ∼ określona w zbiorze Z

przez warunek a ∼ b ⇔ m | a − b jest zgodna z dodawaniem i mnożeniem w zbiorze Z .

Zadanie 7 Sprawdź, że zbiór Z jest grupą względem działania ∗ określonego w zbiorze Z

wzorem

(

a + b

dla

a ∈ 2

a ∗ b =

a − b

dla

a 6∈ 2Z

Zadanie 8 Sprawdź, czy zbiór R wraz z działaniem a ◦ b = a + b + 5 tworzy grupę.

Zadanie 9 Sprawdź, czy zbiór R wraz z działaniem a ◦ b = ab − a − b + 2 tworzy grupę.

Zadanie 10 Sprawdź, że zbiór Z tworzy grupę abelową względem działania a ⊕ b = ( − 1) ab + ( − 1) ba.

( − 1) a

Zadanie 11 Sprawdź, że zbiór M macierzy postaci

, gdzie a ∈

( − 1) a

Z tworzy

grupę abelową względem mnożenia macierzy.

Zadanie 12 Niech macierze ˜

1 , ˜ i, ˜

j, ˜

k ∈ SL(2 , C) będą określone następująco:

1 0

1 =

, ˜ i =

, ˜

j =

, ˜

k =

0 1

0 −i

− 1 0

Zbuduj tabelkę mnożenia macierzy w zbiorze Q 8 := ±˜

1 , ±˜ i, ±˜

j, ±˜

k, a następnie sprawdź, że

para ( Q 8 , ·) jest grupą.

Zadanie 13 Niech A bedzie zbiorem wszystkich przedziałów domkniętych < a, b > na pro-stej, gdzie a ¬ b. Sprawdź, czy A jest grupą względem działania ⊕ określonego w A wzorem

< a, b > ⊕ < c, d > = < a + c, b + d > .

Zadanie 14 Sprawdź, że zbiór C1 = {z ∈ C : |z| = 1 } jest grupą względem mnożenia liczb.

Zadanie 15 Utwórz tabelkę działania w podanej grupie

a) Z2 × Z2 ,

b) {− 1 , 1 } × Z3 .

Zadanie 16 Wyznacz wszystkie podgrupy grupy Z10 .

Zadanie 17 Wyznacz wszystkie podgrupy grupy Φ(10)

Zadanie 18 Niech H 1 , H 2 bedą podgrupami grupy abelowej G. Udowodnij, że zbiór H 1 + H 2 := {h 1 + h 2 : h 1 ∈ H 1 , h 2 ∈ H 2 }

jest podgrupa grupy G oraz, że podgrupa ta jest najmniejszą (w sensie inkluzji) podgrupa grupy G zawierającą każdą z podgrup H 1 , H 2 .

Zadanie 19 Niech S bedzie niepustym podzbiorem grupy G. Wykaż, że relacja ∼ określona w zbiorze G wzorem a ∼ b ⇐⇒ ab− 1 ∈ S jest relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy S

jest podgrupa grupy G

Zadanie 20 Wyznacz warstwy grupy Z12 względem poniższej jej podgrupy H: a) { 0 , 4 , 8 },

b) { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }.

Zadanie 21 Wyznacz warstwy grupy Φ(13) względem poniższej jej podgrupy H: a) { 1 , 5 , 8 , 12 },

b) { 1 , 3 , 4 , 9 , 10 , 12 }.

Zadanie 22 Wyznacz warstwy grupy Φ(36) względem poniższej jej podgrupy H: a) { 1 , 13 , 25 },

b) { 1 , 17 , 19 , 35 },

c) { 1 , 5 , 13 , 17 , 25 , 29 }.

Zadanie 23 Opisz warstwy grupy

∗

C względem jej podgrupy R

Zadanie 24 Niech H i F będą trakimi podgrupami grupy skończonej G, że H ⊂ F . Wykaż, że

( G : H) = ( G : F )( F : H) .

Zadanie 25 Wskaż elementy grupy ilorazowej Φ(21) /H, gdzie H = { 1 , 8 , 13 , 20 } oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.

Zadanie 26 Wskaż elementy grupy ilorazowej Φ(27) /H, gdzie H = { 1 , 8 , 10 , 17 , 19 , 26 }

oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.

Zadanie 27 Wskaż elementy grupy ilorazowej Φ(20) /H, gdzie H = { 1 , 19 } oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.

Zadanie 28 Wskaż elementy grupy ilorazowej Z / 4Z oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.

Zadanie 29 Wskaż elementy grupy ilorazowej Z / 2Z oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.

Zadanie 30 Sprawdź, że zbiór H = {I, −I} jest dzielnikiem normalnym grupy GL( n, K) .

Symbol I oznacza tu macierz jednostkową, GL( n, K) -zbiór wszystkich macierzy nieosobliwych stopnia n o elementach z pierścienia K.

Zadanie 31 Sprawdź, że jeśli S jest niżej podanym podzbiorem zbioru

∗

i H = {λI ∈

GL( n, R) : λ ∈ S}, to H jest dzielnikiem normalnym grupy GL( n, R) .

∗

R ,

b) R ,

c) Q ,

d) Q .

Zadanie 32 Sprawdź, czy SL( n, K) jest podgrupą grupy GL( n, K) . SL( n, K) -zbiór wszystkich macierzy stopnia n o elementach z pierścienia K i wyznaczniku równym 1 .

Zadanie 33 Sprawdź, że jeśli S jest niżej podanym podzbiorem zbioru

∗

i H = {A ∈

GL( n, R) : det A ∈ S}, to H jest dzielnikiem normalnym grupy GL( n, R) .

∗

R ,

b) Q ,

c) Q .

Zadanie 34 Udowodnij, że zbiór L wszystkich funkcji f : R → R , które są postaci f ( x) =

ax + b, gdzie a ∈

∗

R , b ∈ R , tworzy grupę przekształceń zbioru R . Wykaż, że podzbiór H grupy L utworzony przez wszystkie funkcje postaci f ( x) = ax, gdzie a ∈

∗

jest podgrupą lecz nie

jest dzielnikiem normalnym grupy L natomiast podzbiór F grupy L utworzony przez wszystkie funkcje postaci f ( x) = x + b jest dzielnikiem normalnym grupy L.

Zadanie 35 Niech G będzie grupą i niech H będzie podgrupą grupy G oraz F będzie dzielnikiem normalnym grupy G. Wykaż, że zbiór

HF := {hf : h ∈ H, f ∈ F }

jest podgrupą grupy G.

Zadanie 36 Niech G będzie grupą i niech F będzie podgrupą grupy G oraz H będzie dzielnikiem normalnym grupy G. Wykaż, że zbiór

HF := {hf : h ∈ H, f ∈ F }

jest podgrupą grupy G.

Zadanie 37 Wykaż, że jeśli H oraz F są dzielnikami normalnymi grupy G, to również zbiór HF := {hf : h ∈ H, f ∈ F }

jest dzielnikiem normalnym grupy G.

Zadanie 38 Udowodnij, że każda grupa cykliczna jest abelowa.

Zadanie 39 Dla każdego a ∈ Q 8 (patrz Zadanie 12.) wyznacz podgrupę < a > i określ rza.

Czy grupa Q 8 jest cykliczna?

Zadanie 40 Sprawdź, czy dana grupa jest cykliczna:

a) Φ(5) ,

b) Φ(8) ,

c) Φ(15) ,

d) Φ(30) .

Zadanie 41 Czy cykliczna jest grupa (Z , ⊕) , gdzie działanie ⊕ określone jest wzorem a⊕b =

a + b + 5 ?

Zadanie 42 Dla każdego a ∈ Z8 wyznacz podgrupę < a > i określ rza.

Zadanie 43 Dla każdego a ∈ Φ(14) wyznacz podgrupę < a > i określ rza. Czy grupa Φ(14) jest cykliczna?

Zadanie 44 Udowodnij, że dla dowolnych a, b ∈ G zachodzi równość rz a = rz( b− 1 ab) .

Zadanie 45 Udowodnij, że dla dowolnych a, b, c ∈ G zachodzi równość rz( abc) = rz( bca) = rz( cab) .

Zadanie 46 Udowodnij, że każda grupa, której rząd jest liczba pierwszą, jest cykliczna.

Zadanie 47 Udowodnij, że jeśli rz a = n i n ∈ Z , to am = e wtedy i tylko wtedy, gdy n | m.

Zadanie 48 Niech G będzie dowolną grupą i niech a ∈ G. Wykaż, że jeśli rz a = n oraz n

d | n, to rz ad =

Zadanie 49 Niech G będzie dowolną grupą cykliczną generowaną przez elenent a rzędu n.

Udowodnij, że element ak jest generatorem grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy liczby k i n są wzglednie pierwsze.

Zadanie 50 Niech a i b będą takimi elementami grupy G, że ab = ba oraz (rz a, rz b) = 1 .

Udowodnij, że rz( ab) = rz a · rz b.

Zadanie 51 Sprawdź, że dla poniższych macierzy A, B ∈ SL(2 , Z) mamy rz A < ∞, rz B <

∞ oraz rz( AB) = rz( BA) = ∞:

A =

, B =

− 1 − 1

− 1 0

Zadanie 52 Udowodnij, że obraz homomorficzny grupy cyklicznej jest grupą cykliczną.

Zadanie 53 Udowodnij, że jeśli ϕ : G → F jest homomorfizmem grup oraz ϕ( a) = b i rz a < ∞, to rz b | rz a.

Zadanie 54 Sprawdź, czy dana funkcja ϕ jest homomorfizmem grup. Jeśli tak, to wyznacz jądro i obraz tego hohomorfizmu.

a) ϕ :

∗

C → C ,

ϕ( z) = |z|,

e) ϕ : R → R ,

ϕ( a) = 5 a,

b) ϕ :

∗

→ R ,

ϕ( a) = log a,

f ) ϕ : R → R ,

ϕ( a) = 5 a,

√

c) ϕ : GL( n,

∗

R) → R ,

ϕ( A) = | det A|, g) ϕ : R → R , ϕ( a) = 3 a,

d) ϕ : GL(2 , R) → R ,

ϕ( A) = tr A,

h) ϕ : M(2 , R) → R ,

ϕ( A) = det A.

Zadanie 55 Udowodnij, że funkcja ϕ : G → G określona wzorem ϕ( a) = a 2 jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą abelową.

Zadanie 56 Sprawdzić, że funkcja ϕ GL( n,

∗

R) → R określona wzorem ϕ( A) = det A jest

epimorfizmem grup. Wyznacz ker ϕ.

Zadanie 57 Niech G będzie grupą, a ϕ : G × G → G funkcją daną wzorem ϕ(( a, b)) = ab.

Udowodnij, że φ jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą abelową.

Zadanie 58 Udowodnij, że jeśli funkcja ϕ : G → G0 jest epimorfizmem grup, to każda podgrupa H0 grupy G0 jest postaci ϕ( H) , gdzie H jest odpowiednią podgrupą grupy G.

Zadanie 59 Niech funkcja ϕ : G → G0 będzie homomorfizmem grup. Udowodnij, że jeśli H0 jest dzielnikiem normalnym grupy G0, to ϕ− 1( H0) jest dzielnikiem normalnym grupy G.

Wywnioskuj stąd, że ker ϕ jest podgrupą grupy G.

Zadanie 60 Udowodnij, że funkcja ϕ : Z → Z określona wzorem ϕ( x) = x − 5 jest izomorfizmem grupy (Z , +) na grupę (Z , ⊕) , gdzie x ⊕ y = x + y + 5 dla dowolnych x, y ∈ Z .

Zadanie 61 Udowodnij, że grupy M(2 ,

R) i R są izomorficzne.

Zadanie 62 Udowodnij, że jeśli funkcja ϕ : G → G0 jest izomorfizmem grup, to funkcja ϕ− 1 : G0 → G jest izomorfizmem grup.

Zadanie 63 Wykaż, że

a) C

∼

< 1 , 3 > = C< 5 , 9 >, c) C< 0 , 1 > = C< 0 , 3 >, b) C

∼

< 1 , 2 > = C< 4 , 7 >, d) C< 1 , 2 > = C< 4 , 5 >.

Zadanie 64 Sprawdź, że dany zbiór M macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy. Wykaż, że grupa ta jest izomorficzna z grupą Z .

)

1 + a

−a

1 − 2 a

4 a

a) M =

: a ∈

b) M =

: a ∈

1 − a

−a

1 + 2 a

Zadanie 65 Sprawdź, że funkcja ϕ : Z → M określona wzorem ("

)

( − 1) a

ϕ( a) =

: a ∈

( − 1) a

jest izomorfizmem grupy (Z , ⊕) , gdzie a ⊕ b = ( − 1) ab + ( − 1) ba na grupę ( M, ·) , gdzie ("

)

( − 1) a

M =

: a ∈

( − 1) a

Zadanie 66 Udowodnij, że dana grupa nie jest izomorficzna z grupą Q : a)

∗

b) Q

Zadanie 67 Korzystając z twierdzenia o izomorfizmie grup wykaż, że: a)

∗

∼

R /{− 1 , 1 } ∼

= R ,

c) C / R = R ,

∗

+ ∼

∗

∼

R / R

= {− 1 , 1 },

d) C / C1 = R .