Zadania, Pakiet 3
(∗) oznacza zadanie trudniejsze od typowych.
1. Wykaż, że warstwy lewo i prawostronne podgrupy rzedu 2 w S
a
,
3 s ,
różne. Czy różne sa warstwy podgrupy rzedu 3?
,
,
2. Roz lóż na cykle nastepujace permutacje
,
,
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
,
2 5 1 3 4
2 1 5 3 4
3. Roz lóż na cykle każda izometrie n -kata foremnego (traktowana jako
,
,
,
,
permutacje wierzcho lków), dla n = 3, 4, 5. Jakie sa orbity dzia lania
,
,
ca lej grupy Dn izometrii n−kata foremnego.
,
4. Rozważ dzia lanie grupy ortogonalnej O(n, R) na przestrzeni wektorowej n
R . Opisz orbity tego dzia lania i stabilizatory punktów.
5. (!) Udowodnij, że grupa generowna przez centrum grupy G oraz element x ∈ G jest abelowa.
6. Niech G bedzie grupa abelowa. Niech
,
,
,
Gtor = {x ∈ G; x ma skończonyrzad}.
Udowodnij, że Gtor jest podgrupa. Czy za lożenie, że grupa G jest
,
abelowa jest istotne?
7. (!) Udowodnij, że każda grupa rzedu p2, gdzie p jest liczba pierwsza,
,
,
,
jest abelowa. Wskaż nieabelowa grupe rzedu p3. Wsk.
Skorzystaj
,
,
,
z poprzedniego zadania. Rozpatrz 3 × 3 macierze trójkatne górne w
,
Gl(3, Zp) z elementami 1 na g lownej przekatnej.
,
8. (∗) (!) Udowodnij, że dwie permutacje sa sprzeżone wtedy i tylko wtedy,
,
,
gdy w ich rozk ladzie na cykle, cykle sa odpowiednio tej samej d lugości.
,
9. (!) Ile jest klas sprzeżoności elementów w S
a rzedy
,
3 oraz w S4. Jakie s ,
,
elementów z tych klas? Wsk. Skorzystaj z poprzedniego zadania.
10. (!) Opisz grupe automorfizmów grupy
+ oraz grupy + .
,
Z6
Z10
1
11. (*) Niech G bedzie grupa skończona, a p liczba pierwsza. Udowodnij,
,
,
,
,
,
że liczba tych sk ladników w rozk ladzie grupy G na iloczyn grup cy-klicznych, których rzad jest podzielny przez p, nie zależy od rozk ladu.
,
12. (∗) Udowodnij, że cześć wspólna dwu podgrup o skończonym indeksie
,
ma też skończony indeks.
2