Rozkład t Studenta Michał Urban Wrocław 2006

Rozkład t Studenta

Rozkład Studenta zwany rozkładem t lub rozkładem t-Studenta (zwany dalej rozkładem) to ciągły rozkład prawdopodobieństwa często stosowany w statystyce podczas testowania hipotez i przy ocenie błędów pomiaru. Rozkład t jest symetryczny względem prostej x=0 oraz bardzo zbliŜony kształtem do rozkładu normalnego standaryzowanego.

Przez długi czas pojawiały się problemy przy szacowaniu parametrów i weryfikacji parametrów w przypadku małych prób (n < 30), a jedyną zalecaną metoda było zwiększenie liczebności próby. Propozycje rozwiązania tego problemu przedstawił W. Gosett w 1908 roku

, pisząc pod pseudonimem Student. Chciał on przewidzieć liczbę beczek do wymiany w ciągu najbliŜszego roku. Podał on funkcję zaleŜną od wyników pomiarów Xi i niezaleŜ na od σ 2

( odchylenie standardowe z populacji).W 1916 r. R.A.Fisher znalazł funkcję gę stoś ci oraz dystrybuantę dla omawianego rozkładu i nazwał go rozkładem Studenta.

Gdy niezaleŜne zmienne losowe X1, X2, X3,..., Xn mają jednakowy rozkład normalny

N(µ , σ ), to ich średnia arytmetyczna X ma takŜe rozkład normalny.

Rozkład Studenta jest rozkładem zmiennej losowej : X − µ

t =

v

s

gdzie : S to odchylenie standardowe z próby

n

1

S =

∑( Xi − X 2) ;

n −1 i=1

v = n-1 - liczba stopni swobody (Liczba stopni swobody to liczba niezaleŜ nych obserwacji okreś lają ca statystykę )

Funkcją gęstości rozkładu t Studenta nazywamy wyraŜenie :

 n 

n

Γ 

−

2



 2

 2 

t

f ( t) =

1

 +



 v 



v 

Γ  vπ

 2 

Dystrybuantę rozkładu Studenta moŜna zapisać w postaci: α

t

F t

( ) = P( t < tα ) = 2∫ f t ( ) dt

0

gdzie α jest poziomem istotności

Podstawowe własności rozkładu :

• E(t) = 0 wartość oczekiwana

•

n −1

D( t) =

wariancja dla n>3

n − 3

1

Rozkład t Studenta Michał Urban Wrocław 2006

Wartość wariancji D(t) jest jak widać ze wzoru liczba zawsze większą od 1. DąŜy ona do 1 gdy liczba stopni swobody dąŜy do nieskończoności. Oznacz to Ŝe rozkład t Studenta zmierza do standardowego rozkładu normalnego gdy liczba próby rośnie do nieskończoności. Jest to widoczne na rysunku poniŜej.

Rysunek1. Wykres funkcji gę stoś ci rozkładu t Studenta z 4 stopniami swobody i rozkładu normalnego N(0;1)

Podobnie jak w rozkładzie standardowym w rozkładzie t Studenta moŜna wyznaczyć wartość tα,v dla których spełniona będzie relacja : P(− α

t

t

t

, v <

< α )

, v

= 1−α

Istnieją Tablice rozkładu t Studenta Dla róŜnych α (0 < α < 1) oraz róŜnych v (1< v < ∞) . Tablice takie moŜna tworzyć dowolnie w arkuszu kalkulacyjnym.

Zastosowania

Rozkład t Studenta stosowany jest w estymacji przedziałowej, w testach parametrów w szczególności dla średnich, wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych

– gdy mamy do czynienia z małymi próbami (najczęściej przyjmuje się Ŝe próba jest mała gdy jej liczebność n < 30). Ponadto rozkład Studenta znajduje zastosowanie przy weryfikacji niektórych hipotez dotyczących średniej, gdy dysponuje się mała próbą, czli wtedy gdy nie moŜna wykorzystać rozkładu normalnego, oraz przy sprawdzaniu wątpliwych wyników obserwacji.

2

Rozkład t Studenta Michał Urban Wrocław 2006

Tablice wartoś ci tα ,v rozkładu t Studenta 0,2

0,1

0,05

0,02

0,01

0,002

0,001

4

1,53321 2,13185 2,77645 3,74694 4,60408 7,17293 8,61008

5

1,47588 2,01505 2,57058 3,36493 4,03212 5,89353 6,86850

6

1,43976 1,94318 2,44691 3,14267 3,70743 5,20755 5,95872

7

1,41492 1,89458 2,36462 2,99795 3,49948 4,78525 5,40807

8

1,39682 1,85955 2,30601 2,89647 3,35538 4,50076 5,04137

9

1,38303 1,83311 2,26216 2,82143 3,24984 4,29689 4,78089

10

1,37218 1,81246 2,22814 2,76377 3,16926 4,14366 4,58676

11

1,36343 1,79588 2,20099 2,71808 3,10582 4,02477 4,43688

12

1,35622 1,78229 2,17881 2,68099 3,05454 3,92960 4,31784

13

1,35017 1,77093 2,16037 2,65030 3,01228 3,85204 4,22093

14

1,34503 1,76131 2,14479 2,62449 2,97685 3,78743 4,14031

15

1,34061 1,75305 2,13145 2,60248 2,94673 3,73286 4,07279

16

1,33676 1,74588 2,11990 2,58349 2,92079 3,68615 4,01487

17

1,33338 1,73961 2,10982 2,56694 2,89823 3,64576 3,96511

18

1,33039 1,73406 2,10092 2,55238 2,87844 3,61048 3,92174

19

1,32773 1,72913 2,09302 2,53948 2,86094 3,57933 3,88332

20

1,32534 1,72472 2,08596 2,52798 2,84534 3,55183 3,84956

21

1,32319 1,72074 2,07961 2,51765 2,83137 3,52709 3,81930

22

1,32124 1,71714 2,07388 2,50832 2,81876 3,50497 3,79223

23

1,31946 1,71387 2,06865 2,49987 2,80734 3,48497 3,76764

24

1,31784 1,71088 2,06390 2,49216 2,79695 3,46678 3,74537

25

1,31635 1,70814 2,05954 2,48510 2,78744 3,45019 3,72514

26

1,31497 1,70562 2,05553 2,47863 2,77872 3,43498 3,70666

27

1,31370 1,70329 2,05183 2,47266 2,77068 3,42101 3,68949

28

1,31253 1,70113 2,04841 2,46714 2,76326 3,40820 3,67392

29

1,31143 1,69913 2,04523 2,46202 2,75639 3,39627 3,65952

30

1,31042 1,69726 2,04227 2,45726 2,74998 3,38521 3,64598

Literatura:

• „Statystyka dla inŜynierów” Witold Klonecki Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1999

• „Statystyka dla studiów licencjackich” Radosław Podgórski Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne Warszawa 2005

• http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_t-Studenta - www.wikipedia.org 3