Lista 2 Statystyki dostateczne Zadanie 1. Dla podanych rozkładów wyznaczyć gęstość rozkładu prawdopodobieństwa pro-stej próby losowej X   X ,..., 1

X  T

n

rozmiaru n i podać statystyki dostateczne.

1) rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości

 1



1

,

0

f  x,  





x

x  



 

,  0

 0

wpp

(wpp – w przeciwnym wypadku)

2) rozkład wykładniczy o funkcji gęstości x





0

f  x,  

 

e

x 

 

,  0

 0

wpp

3) rozkład Pareto o funkcji gęstości

  

 1

x 0  

f  x,  

  

x 

 

x 0 ,  0 oraz x  0

x 0  x 

0



0

wpp

4) rozkład geometryczny o funkcji prawdopodobieństwa p

x

,

x     1  1, x  , 1 ,...;

2

0    1

5) rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości a

(

)

1

(

),

1

,

0

(

,

1

)

f  x,  

 a  x x 

a   

 

,  0



0

wpp

6) rozkład gamma  ,2 o funkcji gęstości 2

x





0

f  x,  

 xe

x 

 

,  0



 0

wpp

7) rozkład logarytmiczno- normalnego o funkcji gęstości



1

1 ln x 2

exp(

0

f  x, ,  





x 

  2 x



2

2





0

wpp

8) rozkład Poissona o funkcji prawdopodobieństwa x

 

p( x,)  e

, x 

,

1

,

0

...,

2

  0

!

x

9) z rozkład wykładniczy o funkcji gęstości dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail: El- 1

[e-mail], [e-mail]



 x

1



f  x,  

 e

x 



0



,  0

 0

wpp

10) rozkład gamma  5

,  o funkcji gęstości

5



 x



 4

x 

f  x,    

x e

0



!

4

,

 0



0

wpp

11) rozkład o funkcji gęstości



2 1



1 

1

f  x,  









x

0  x  1 ,

   1

1 

2



0

wpp

12) rozkład Pareto o funkcji gęstości



 x





f  x  

 e

x 



0

,

3

, x  ,

e

x x ... x  e

x

0

1 2

n

 0



0

wpp

13) rozkład jednostajny o funkcji gęstości

1 0  x  

f  x,    

,   ,

0

0

wpp

14) rozkład beta (I rodzaju) o funkcji gęstości



q1



1

p

x

1



1 x

0  x  1

f  x, p, q

 

  B( p, q)

,

,

p q  ,

0



0

wpp

1

1

1





B( p, q)   y p  

1 y q

 p  q

dy  

0

 p  q

15) rozkład beta (II rodzaju) o funkcji gęstości



p1



1

x

x  0

f  x, p, q   B( p, q)  

p q 

1 x p q

,

,

,

0



0

wpp

1

1

1





B( p, q)   y p  

1 y q

 p  q

dy 



0

 p  q

16) rozkład gamma o funkcji gęstości dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail: El- 2

[e-mail], [e-mail]

 p



 b

bx

p1

x  0

f  x, p, b   p x e

,

,

p b  ,

0



0

wpp







( p) 

y p



1 

e dy

y

0

17) rozkładu jednostajny o funkcji gęstości

 1

  x  

f  x,  ,

p q 

1

2   

1

2



,

,

,

0

 2

1

 0

wpp

18) rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości



 x

1

 1

f  x,  









e

x  0





 



,

1

1



0

wpp

dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail: El- 3

[e-mail], [e-mail]