Lista 2 Statystyki dostateczne Zadanie 1. Dla podanych rozkładów wyznaczyć gęstość rozkładu prawdopodobieństwa pro-stej próby losowej X X ,..., 1
X T
n
rozmiaru n i podać statystyki dostateczne.
1) rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości
1
1
,
0
f x,
x
x
, 0
0
wpp
(wpp – w przeciwnym wypadku)
2) rozkład wykładniczy o funkcji gęstości x
0
f x,
e
x
, 0
0
wpp
3) rozkład Pareto o funkcji gęstości
1
x 0
f x,
x
x 0 , 0 oraz x 0
x 0 x
0
0
wpp
4) rozkład geometryczny o funkcji prawdopodobieństwa p
x
,
x 1 1, x , 1 ,...;
2
0 1
5) rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości a
(
)
1
(
),
1
,
0
(
,
1
)
f x,
a x x
a
, 0
0
wpp
6) rozkład gamma ,2 o funkcji gęstości 2
x
0
f x,
xe
x
, 0
0
wpp
7) rozkład logarytmiczno- normalnego o funkcji gęstości
1
1 ln x 2
exp(
0
f x, ,
x
2 x
2
2
0
wpp
8) rozkład Poissona o funkcji prawdopodobieństwa x
p( x,) e
, x
,
1
,
0
...,
2
0
!
x
9) z rozkład wykładniczy o funkcji gęstości dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail: El- 1
zbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl, get-wil@sgh.waw.pl
x
1
f x,
e
x
0
, 0
0
wpp
10) rozkład gamma 5
, o funkcji gęstości
5
x
4
x
f x,
x e
0
!
4
,
0
0
wpp
11) rozkład o funkcji gęstości
2 1
1
1
f x,
x
0 x 1 ,
1
1
2
0
wpp
12) rozkład Pareto o funkcji gęstości
x
f x
e
x
0
,
3
, x ,
e
x x ... x e
x
0
1 2
n
0
0
wpp
13) rozkład jednostajny o funkcji gęstości
1 0 x
f x,
, ,
0
0
wpp
14) rozkład beta (I rodzaju) o funkcji gęstości
q1
1
p
x
1
1 x
0 x 1
f x, p, q
B( p, q)
,
,
p q ,
0
0
wpp
1
1
1
B( p, q) y p
1 y q
p q
dy
0
p q
15) rozkład beta (II rodzaju) o funkcji gęstości
p1
1
x
x 0
f x, p, q B( p, q)
p q
1 x p q
,
,
,
0
0
wpp
1
1
1
B( p, q) y p
1 y q
p q
dy
0
p q
16) rozkład gamma o funkcji gęstości dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail: El- 2
zbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl, get-wil@sgh.waw.pl
b
bx
p1
x 0
f x, p, b p x e
,
,
p b ,
0
0
wpp
( p)
y p
1
e dy
y
0
17) rozkładu jednostajny o funkcji gęstości
1
x
f x, ,
p q
1
2
1
2
,
,
,
0
2
1
0
wpp
18) rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości
x
1
1
f x,
e
x 0
,
1
1
0
wpp
dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail: El- 3
zbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl, get-wil@sgh.waw.pl