9. Rzutowanie ( projekcja)

Dane:

• !"#xyz.

• "! $ Π).

%!& '

Dwa sposoby rzutowania.

Π

′

′

Punkty i ! (

!"# )!"#

*!" " !"# ++

obrazami rzutowanych punktów.

Rzutowanie perspektywiczne

Π

′

′

- ,",

Punkty i ! (

!"#",+"!"# ,!"

$- ,",.

*!" " !"# ++

obrazami rzutowanych punktów.

/ 0 )

1 (!(&!!2

• ",+ +

prostym (rzut pionowy),

• ",+ +

!(+ !$ -!.

9.2.1. Rzut pionowy

* ",+ +

prostym.

*!2

•

• rzutnia Πx-y)

y

(1,2,-2)

(2,2,-2)

(1,2,-1)

(2,2,-1)

(2,1,-2)

(1,1,-1)

(2,1,-1)

x

z

%- ",+ +

!3 !)+ ,+"

%-+Π ,"!$x-y), to równania

,+" + ! !

) ! ,)

!,,+ &

=

=

=

-" ) 2

•

!

•

punktami.

Zastosowanie rzutu pionowego - rysunek techniczny.

,+", "!!$x-y), (x-z), (y-z) ,

+4"!! "# )3 (!&

rzuty z przodu, z boku, z góry itd.

"#$#$#

* ",+ +!

(+ !

% & ) '

y

Π

z

α

x

Φ

! , " & +

) "+α & !

) -&5

6!&3( = + Φ

= + Φ

,+"

α = =

i dalej

=

!,

= + Φ

= + Φ

*,+"! +

"+Φ ) -& = α .

0 -) (&(

!"#, !"#,

[ ]= [ ]⋅Φ

gdzie













Φ =  Φ Φ











!-", ) (

&",

y

Π

Φ x

*!2

y

(1,2,2)

(2,2,2)

(1,2,1)

(2,2,1)

(2,1,2)

(1,1,1)

(2,1,1)

z

x

1.

= α =

α ≈

(rzut kawaleryjski)

Φ =

Φ =

2.

= α =

α ≈

(rzut gabinetowy)

Φ =

Φ =

7!! ,++ ",

! "!!+-"#

9.3. Rzutowanie perspektywiczne Albrecht Durer (1471- 1528)

%& '()$)#

! "#$

# $# %$%% ##

# % # %&% #

& " &$% $#

% $ ## ' $

% $ # $% # #

#

# & &%#

# &% % %

& &% $ ( %

&% $ )$ !&% #

% $ & &%

*# # % % $ %#

+ %# " & $% $

$ # $ $& &% #

## &, &

## % $% +$

% &% #

# % &% $#

#%# &#% &

&% - # %# %

# % %# # !

% . % %# & %& $%

& $ % $% #%#

. #/

"#!"3+ !!-

przez Durera pokazuje rysunek.

drzwiczki

ucho

rama

)&

(xp ,yp)

(x,y,z)

krótkie

nici

" (

%!&+ ! !

(x, y, z), !,) (xp, yp) przy

"!8'

y

Π

z

x

′′′

d

−

rodek projekcji

′′′ , 8

parametrycznych

′ = −

′ = −

≤ ≤

′ = − +

! !"!&

(! " "!& u, dla którego

′ = − +

=

0 +,

= +

* ,+" " u 8

!"!"# ,+"!"#

′′′ !, 3





=

 + 





=

 + 

=

,+ !"#

"!& !")

%!)+,+ !!"'

*!2

y

(1,2,2)

(2,2,2)

(1,2,1)

(2,2,1)

(2,1,2)

(1,1,1)

(2,1,1)

z

x

* , ) -&d.

d = 3

d = 20

Gdy → ∞ !"!,

pionowym.

9.4. Rzutowanie - przypadek ogólny

"# ("#(

"!4$x-y).

9 &)!,! ",'

% ! '

2

1. ! , +! !"#

!"# (world coordinates) i opisany w tym

2. !"# !"# !

, ) !"# +!"#

! $viewing coordinates).

obiekt

0 +2

• 6& !"#

obserwatora ( ),

• ! & $ !".

"! − .

*" !"# - )

!"# !"#( )do

!"# ( )

( & ! "! ",

[ ] = [ ]⋅

):,"+ ",

! !"!& " : 3 , "!

macierzy odpowiednich transformacji elementarnych

(!! &;

1. * "-

- !"# !"#

2. 7 )

3! - "!4

− .

3. 7 3! -

! + .

4. 7 , aby osie

i !! i .

7 +! ( !"!&

podobnie jak dla poprzednia omówionego zadania

,

%!)+,+ !!"(!"#

(8'

Klasyfikacja rzutów perspektywicznych:

!!",<"

!"# !"#( ), które

",+ − .

1. Perspektywa jedno-punktowa (rzutnia − (!

"!4 − ).

= !"! 3!"#(+

!!"# -"),+

,!"$ !( -".3

(vanishing point).

/ *!<

!"# !"#( )

",+ − .

= !"! -" ,!

!( -"

2. *!,< >!

!"# !"#( )

",+ − .

! ! ( !"!& !

!( -"