Zakres podstawowy
Zadanie 1.
Oblicz:
a) [8∙34∙311 – 9∙(34)3]:97;
1
2
1
3
−
b)
3
5
125
,
0
⋅ 32
2
–
2
12 + 5 .
Zadanie 2.
m
km
Aby wyrazić prędkość 20
w
możemy postąpić następująco:
s
h
1
20 ⋅
km
1
1
m
20 ⋅ 3600 km
km
1m =
km, 1s =
h. Zatem: 20
=
1000
=
= 72
.
1000
3600
s
1
1000
h
h
h
3600
cm
m
Postępując podobnie, wyraź prędkość 5
w
.
s
h
Zadanie 3.
Dane są liczby: x = 80 − 72 i y = 80 + 72 . Usuń niewymierność z mianownika x
wyrażenia . Podaj przybliżoną wartość tego wyrażenia, przyjmując, że 10 ≈ 3,15.
y
Zadanie 4.
Dane są zbiory: A – zbiór liczb naturalnych nieparzystych, B – zbiór liczb całkowitych podzielnych przez 3, C – zbiór liczb całkowitych i W – zbiór liczb wymiernych.
a) Wypisz elementy zbioru A i elementy zbioru B.
b) Wypisz wszystkie liczby pierwsze jednocyfrowe należące do zbioru A∪B.
c) Sprawdź, czy do zbioru (C∩W) – B należy liczba przeciwna do 4 81 .
Zadanie 5.
Dana jest liczba x = 2,(45).
a) Przedstaw tę liczbę w postaci ilorazu dwóch liczb naturalnych.
b) Podaj przykład liczby niewymiernej, większej od 3x.
Zadanie 6.
Pierwszy tokarz wykonałby zamówienie w ciągu 8 godzin, drugi – o pół godziny krócej, a trzeci potrzebowałby na to tylko 6 godzin 40 minut. Oblicz, jaką część całego zamówienia 2
wykonają trzej tokarze, pracując równocześnie przez 2 godziny.
5
Zadanie 7.***
Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych, których największy wspólny dzielnik jest równy 8, a najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 144
Zadanie 8.
2
3
11
3
125
,
2
⋅ − ,
0 45 ⋅ 35
− 33 : 21
Zapisz liczbę a =
5
28
21
4 w najprostszej postaci, następnie
96
,
0
: ,
1 2
znajdź liczbę przeciwną do a i odwrotność liczby a.
Uprość wyrażenie: 27(2m – 1) – (2m – 3)3 – (7m + 2)(7m – 2) + 8m3, a następnie oblicz jego wartość dla m = 2 3 + 1.
Zadanie 10.
Pan Jan i pan Adam chodzą regularnie o tej same porze do tej samej restauracji: pan Jan co 12
dni, a pan Adam co 15 dni.
a) Ile dni upływa między kolejnymi spotkaniami obu panów w tej restauracji?
b) Jeśli ostatnio panowie spotkali się w restauracji w środę, to w jaki dzień tygodnia nastąpi kolejne spotkanie?
Zadanie 11.
Zbiór A oznacza zbiór liczb naturalnych mniejszych od 10; B oznacza zbiór liczb całkowitych parzystych, których odległość od 0 na osi liczbowej jest niewiększa od 8.
a) Wypisz elementy zbioru A i elementy zbioru B.
b) Wskaż liczby pierwsze należące do zbioru A.
c) Znajdź zbiory A∪B, A∩B.
d) Wypisz elementy zbioru A – B i opisz ten zbiór za pomocą symboli.
Zadanie 12.
1
Prostokątną bibułkę grubości mm składamy na pół, potem znów na pół itd. Załóżmy, że 8
bibułkę udało się złożyć 25 razy. Jaka jest, w przybliżeniu, grubość tak złożonej bibułki?
Wynik podaj w kilometrach, bez użycia potęg. W obliczeniach przyjmij, że 210 ≈ 1000.
Zadanie 13.
1
3 π
3 9 − 2
Dany jest zbiór A = 1 ; ; ;
0 3 3 ;
; 3; ,
1
)
34
(
.
8 2
8 16
a) Wypisz liczby niewymierne, które należą do zbioru A.
b) Ustaw liczby wymierne należące do zbioru A w kolejności od najmniejszej do największej.
6
3
7
c) Podaj przykład liczby rzeczywistej x, która spełnia warunek:
<
+ x <
.
11 11
11
Zadanie 14.***
Dane są dwie kolejne liczby naturalne, które nie dzielą się przez 3. Wyznacz resztę z dzielenia sumy kwadratów tych liczb przez 9.
Zadanie 15.
Zaznacz na osi liczbowej przedziały: A = (–∞, 3〉 i B = 〈–4, 7).
a) Wyznacz zbiory A∪B oraz A – B.
b) Zapisz za pomocą sumy przedziałów zbiór X = {x: x ∈ R – A ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ 5}.
Zadanie 16.
a) Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej, rozwiąż równanie:
|2 + x| – 3 = 0.
b) Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności: 0 ≤ |x| – 1.
c) Wyznacz wszystkie możliwe wartości wyrażenia: |3 – |x||, jeśli x ∈ (–5, –1)∩C.
Zadanie 17.
Miesięczna składka członkowska pewnego stowarzyszenia w 2005 roku wynosiła 25 zł.
Poniższa tabela przedstawia faktyczne wpłaty wszystkich członków z tego tytułu do końca 2005 roku.
100
125
150
200
225
275
300
wpłacona przez 1 osobę (zł)
Liczba osób, które wpłaciły
5
3
10
8
1
9
12
określoną kwotę składek
a) Oblicz średnią wpłaconych składek za 2005 r. przypadającą na jednego członka stowarzyszenia z dokładnością do 1 grosza.
b) Ile procent wszystkich osób wpłaciło więcej, niż 150 zł?
c) O ile procent mniej (z dokładnością do 0,5%) zebrano składek w 2005 roku niż planowano?
Zadanie 18.
Oblicz:
a) średnią geometryczną liczb: 7, 8, 14, 49;
1
− 1
b) średnią harmoniczną liczb: 5
1 2
4
, , , 2.
2
4
3
Zadanie 19.
Ustal zbiór rozwiązań nierówności: (x + 3)2 ≥ (x + 2)(x – 2) + 6x.
Zadanie 20.***
Uzasadnij, że liczba 11+ 6 2 – 3 − 2 2 jest liczbą naturalną.
Zadanie 21.
3
2
Rozwiąż równanie: x +
=
i zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań.
2
3
Zadanie 22.
Napisz taką nierówność z wartością bezwzględną, aby jej zbiorem rozwiązań był zbiór: (–∞, –7) ∪ (3, +∞).
Zadanie 23.
Dane są zbiory: A = {x: x∈R ∧ x < 2}, B = {x: x ∈ R ∧ |x| ≤ 3}.
a) Wyznacz zbiory A – B i B ∩ A.
b) Wypisz wszystkie liczby naturalne, które należą do zbioru A∪B.
Zadanie 24.
Pan Rafał postanowił wpłacić do banku na rok 3000 zł. Bank A oferuje, przy rocznej lokacie, oprocentowanie 4% w stosunku rocznym, z kapitalizacją odsetek co pół roku. Bank B po roku dopisuje 4,5% odsetek. W którym banku pan Rafał uzyska więcej odsetek, i o ile więcej?
Zadanie 25.
Cenę pewnego towaru obniżono najpierw o 10%, a następnie podniesiono o 20%. O ile procent należałoby jednorazowo podnieść cenę początkową tego towaru, aby uzyskać ten sam efekt?
Zadanie 26.
Średni wiek uczestników wycieczki jest równy 18 lat. Najstarszy uczestnik ma 50 lat, a średni wiek pozostałych jest równy 17 lat. Ile osób jest na wycieczce?
Zadanie 27.***
W trójkącie prostokątnym o polu 12 2 cm2 poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego, która dzieli przeciwprostokątną w stosunku 1:2. Oblicz długość tej wysokości.