Jak Zbiór liczb rzeczywistych

Zakres podstawowy

Zadanie 1.

Oblicz:

a) [8∙34∙311 – 9∙(34)3]:97;

1

2

1

3



−



b)

3

5

125

,

0

⋅ 32

2



 –

2

12 + 5 .





Zadanie 2.

m

km

Aby wyrazić prędkość 20

w

możemy postąpić następująco:

s

h

1

20 ⋅

km

1

1

m

20 ⋅ 3600 km

km

1m =

km, 1s =

h. Zatem: 20

=

1000

=

= 72

.

1000

3600

s

1

1000

h

h

h

3600

cm

m

Postępując podobnie, wyraź prędkość 5

w

.

s

h

Zadanie 3.

Dane są liczby: x = 80 − 72 i y = 80 + 72 . Usuń niewymierność z mianownika x

wyrażenia . Podaj przybliżoną wartość tego wyrażenia, przyjmując, że 10 ≈ 3,15.

y

Zadanie 4.

Dane są zbiory: A – zbiór liczb naturalnych nieparzystych, B – zbiór liczb całkowitych podzielnych przez 3, C – zbiór liczb całkowitych i W – zbiór liczb wymiernych.

a) Wypisz elementy zbioru A i elementy zbioru B.

b) Wypisz wszystkie liczby pierwsze jednocyfrowe należące do zbioru A∪B.

c) Sprawdź, czy do zbioru (C∩W) – B należy liczba przeciwna do 4 81 .

Zadanie 5.

Dana jest liczba x = 2,(45).

a) Przedstaw tę liczbę w postaci ilorazu dwóch liczb naturalnych.

b) Podaj przykład liczby niewymiernej, większej od 3x.

Zadanie 6.

Pierwszy tokarz wykonałby zamówienie w ciągu 8 godzin, drugi – o pół godziny krócej, a trzeci potrzebowałby na to tylko 6 godzin 40 minut. Oblicz, jaką część całego zamówienia 2

wykonają trzej tokarze, pracując równocześnie przez 2 godziny.

5

Zadanie 7.***

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych, których największy wspólny dzielnik jest równy 8, a najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 144

Zadanie 8.

2



3

11 

3

125

,

2

⋅ − ,

0 45 ⋅  35

− 33  : 21

Zapisz liczbę a =

5



28

21

4 w najprostszej postaci, następnie

96

,

0

: ,

1 2

znajdź liczbę przeciwną do a i odwrotność liczby a.

Zadanie 9.

Uprość wyrażenie: 27(2m – 1) – (2m – 3)3 – (7m + 2)(7m – 2) + 8m3, a następnie oblicz jego wartość dla m = 2 3 + 1.

Zadanie 10.

Pan Jan i pan Adam chodzą regularnie o tej same porze do tej samej restauracji: pan Jan co 12

dni, a pan Adam co 15 dni.

a) Ile dni upływa między kolejnymi spotkaniami obu panów w tej restauracji?

b) Jeśli ostatnio panowie spotkali się w restauracji w środę, to w jaki dzień tygodnia nastąpi kolejne spotkanie?

Zadanie 11.

Zbiór A oznacza zbiór liczb naturalnych mniejszych od 10; B oznacza zbiór liczb całkowitych parzystych, których odległość od 0 na osi liczbowej jest niewiększa od 8.

a) Wypisz elementy zbioru A i elementy zbioru B.

b) Wskaż liczby pierwsze należące do zbioru A.

c) Znajdź zbiory A∪B, A∩B.

d) Wypisz elementy zbioru A – B i opisz ten zbiór za pomocą symboli.

Zadanie 12.

1

Prostokątną bibułkę grubości mm składamy na pół, potem znów na pół itd. Załóżmy, że 8

bibułkę udało się złożyć 25 razy. Jaka jest, w przybliżeniu, grubość tak złożonej bibułki?

Wynik podaj w kilometrach, bez użycia potęg. W obliczeniach przyjmij, że 210 ≈ 1000.

Zadanie 13.

1

 3 π

3  9  − 2



Dany jest zbiór A = 1 ; ; ;

0 3 3 ; 

 ; 3; ,

1

)

34

(

 .

 8 2

8  16 







a) Wypisz liczby niewymierne, które należą do zbioru A.

b) Ustaw liczby wymierne należące do zbioru A w kolejności od najmniejszej do największej.

6

3

7

c) Podaj przykład liczby rzeczywistej x, która spełnia warunek:

<

+ x <

.

11 11

11

Zadanie 14.***

Dane są dwie kolejne liczby naturalne, które nie dzielą się przez 3. Wyznacz resztę z dzielenia sumy kwadratów tych liczb przez 9.

Zadanie 15.

Zaznacz na osi liczbowej przedziały: A = (–∞, 3〉 i B = 〈–4, 7).

a) Wyznacz zbiory A∪B oraz A – B.

b) Zapisz za pomocą sumy przedziałów zbiór X = {x: x ∈ R – A ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ 5}.

Zadanie 16.

a) Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej, rozwiąż równanie:

|2 + x| – 3 = 0.

b) Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności: 0 ≤ |x| – 1.

c) Wyznacz wszystkie możliwe wartości wyrażenia: |3 – |x||, jeśli x ∈ (–5, –1)∩C.

Zadanie 17.

Miesięczna składka członkowska pewnego stowarzyszenia w 2005 roku wynosiła 25 zł.

Poniższa tabela przedstawia faktyczne wpłaty wszystkich członków z tego tytułu do końca 2005 roku.

Całkowita kwota składek

100

125

150

200

225

275

300

wpłacona przez 1 osobę (zł)

Liczba osób, które wpłaciły

5

3

10

8

1

9

12

określoną kwotę składek

a) Oblicz średnią wpłaconych składek za 2005 r. przypadającą na jednego członka stowarzyszenia z dokładnością do 1 grosza.

b) Ile procent wszystkich osób wpłaciło więcej, niż 150 zł?

c) O ile procent mniej (z dokładnością do 0,5%) zebrano składek w 2005 roku niż planowano?

Zadanie 18.

Oblicz:

a) średnią geometryczną liczb: 7, 8, 14, 49;

1

− 1

b) średnią harmoniczną liczb:  5 

 1 2



4

  ,   , , 2.

 2 

 4 

3

Zadanie 19.

Ustal zbiór rozwiązań nierówności: (x + 3)2 ≥ (x + 2)(x – 2) + 6x.

Zadanie 20.***

Uzasadnij, że liczba 11+ 6 2 – 3 − 2 2 jest liczbą naturalną.

Zadanie 21.

3

2

Rozwiąż równanie: x +

=

i zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań.

2

3

Zadanie 22.

Napisz taką nierówność z wartością bezwzględną, aby jej zbiorem rozwiązań był zbiór: (–∞, –7) ∪ (3, +∞).

Zadanie 23.

Dane są zbiory: A = {x: x∈R ∧ x < 2}, B = {x: x ∈ R ∧ |x| ≤ 3}.

a) Wyznacz zbiory A – B i B ∩ A.

b) Wypisz wszystkie liczby naturalne, które należą do zbioru A∪B.

Zadanie 24.

Pan Rafał postanowił wpłacić do banku na rok 3000 zł. Bank A oferuje, przy rocznej lokacie, oprocentowanie 4% w stosunku rocznym, z kapitalizacją odsetek co pół roku. Bank B po roku dopisuje 4,5% odsetek. W którym banku pan Rafał uzyska więcej odsetek, i o ile więcej?

Zadanie 25.

Cenę pewnego towaru obniżono najpierw o 10%, a następnie podniesiono o 20%. O ile procent należałoby jednorazowo podnieść cenę początkową tego towaru, aby uzyskać ten sam efekt?

Zadanie 26.

Średni wiek uczestników wycieczki jest równy 18 lat. Najstarszy uczestnik ma 50 lat, a średni wiek pozostałych jest równy 17 lat. Ile osób jest na wycieczce?

Zadanie 27.***

W trójkącie prostokątnym o polu 12 2 cm2 poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego, która dzieli przeciwprostokątną w stosunku 1:2. Oblicz długość tej wysokości.

Document Outline

  • Jak Zbiór liczb rzeczywistych