Egzamin dla Aktuariuszy z 25 stycznia 2003 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1
Innymi słowami: losujemy do momentu pierwszej czarnej, ile średnio będzie białych (patrząc z drugiej strony)
b,c i dalej
23
22
10
9
9
9
9
9
P )
1
(
=
, P(2) =
,..., P 1
( 4) =
, P 1
( )
5 =
25
25
25
25
15
15
15
15
15
liczymy na piechotę: EX =
11
Zadanie 2
∈
t (0 )
1
,
4
6
4
7 8
X
1
P
≤ t = P( X ≤ t( X + Y)) = P( X 1
( − t) ≤ tY )
− t
= P Y ≥
X =
X + Y
t
t
−
1 x
t
t
2 x
2
2
= ∫ ∫ 2 dydx = ∫
x
t
2 −
dx = 2 x −
= t
2 −
= t
0 −
t
t
t
1 t
0
x
0
t
g(z)=1 dla 0 ≤ z ≤ 1
Zadanie 3
µ = 0 dla symetrycznych 3
3
µ = m − 3 µm + 2 µ
3
3
2
ODP = E[
3
2
nX + 3 n( n − ) 1 X X
+ n( n − )
1 ( n − 2) X X X
=
+
−
+
−
−
i
j
i
j
k ]
3
2
3
nEX
3 n( n
)
1 EXEX
n( n
)
1 ( n
2)( EX )
}
=0
3
3
EX
= µ + 3 m
µ
− 2 µ = 3 µ σ + µ − 2 µ = µ + 3 µσ
3
2
( 2 2) 3 3
2
2
2
2
EX
= σ + µ
ODP = n( 3
µ +
2
3 µσ )+ 3 n( n − ) 1 µ( 2
σ + 2
µ )+ n( n − ) 1 ( n −
3
2) µ =
=
3
nµ +
2
3 nµσ + ( 2
3 n − 3 n)( 2
µσ + 3
µ )+ ( 3
n −
2
2 n − 2
n + 2 n) 3
µ =
3
2
2
2
2
3
2
3
3
3
2
3
3
2
= nµ + 3 nµσ + 3 n µσ + 3 n µ − 3 nµσ − 3 nµ + n µ − 3 n µ + 2 nµ = n µ( 2
2
3 σ + nµ )
Zadanie 4
∑( Xi− µ)2 i
1 !
0
−
2
L =
e
2Π
2
1 !
0
∑( Xi − µ) i ln L = ln
−
2Π
2
∂
10
= 1 ∑ 2 i( X
µ
i X
µ
i −
) = ∑ ( i − ) = 0
∂ µ 2 i=1
∂∂ < 0 → max
2
∂ µ
∑ iX
i − 55 µ = 0
∑ iX
ˆ µ =
i
55
1
Eµˆ =
∑ iµ = µ
55
var µ = 1
ˆ
∑ 2 1
i
= 1
552
i
55
P( ˆ µ − d ≤ µ ≤ ˆ µ + d ) = P( ˆ µ − µ ≤ d ) = P( X ≤ d 55) = 9
,
0 5 → 9
,
1 6 = d 55 → d ≈ , 0 2643
Zadanie 5
Y + Z = X
i
i
i
≅ Poisson( λ, X )
4
6
4
7 8
var
( Y )
( Z )
S
+ S
= var( ( Y)
S
)+ var( ( Z)
S
)+2cov
( )
2
var S Y = λEY
( )
2
var S Z = λEZ
var( ( Y )
( Z )
S
+ S
)
2
= λEX
2
2
2
EZ
= EX − 2 E( XY ) + EY
c
x
∞
−
− x
1
1
EY 2 = ∫ 2
µ
x
e
+ ∫ 2
µ
c
e
µ
µ
0
c
c
x
∞
−
− x
1
1
E( XY ) = ∫ 2
µ
x
e
+ ∫
µ
cx
e
µ
µ
0
c
∞
x
∞
x
−
−
2
2 1
µ
1
→ E
λ X
= λ 2∫ c
e
− 2
µ
2
∫ cx e + EX + 2cov
µ
µ
c
c
c
x
∞
x
∞
x
c
x
∞
x
−
−
−
−
−
( Y )
( Z )
2 1
µ
2 1
µ
2 1
µ
2 1
µ
1
µ
← var S
+ var S
= λ 2∫ x
e
+ 2∫ c
e
+ ∫ x
e
− 2∫ x
e
− 2∫ cx e
µ
µ
µ
µ
µ
0
c
0
0
c
− x
1
∞
x
∞
x
µ
−
−
u = x v
′ =
e
1
µ
2 1
µ
cov = λ ∫ cx e
− ∫ c
e
=
µ
=
µ
µ
c
c
− x
u′ =
v
1
= − µ
e
c
c
c
c
−
−
−
−
2
µ
µ
2
µ
µ
= λ c e
+ c
µ e
− c e = c
λµ e
Zadanie 6
X = X + X ≅ Γ(
)
1
,
4
1
2
Y = X ≅ Γ(
)
1
,
2
3
P( X + X ≤ , 5 X + X + X > 5
1
2
1
2
3
)
5 ∞
5
5
ODP = ∫ ∫
− y 1 3 − x
ye
x e dydx = ∫ 1 3 − x x e
[ − y −
− ye − y
e
]∞
1 3 x
(5 x)
(5 x)
x e
5
(
x) e
e
5−
=
x
∫
− [
− −
− −
−
+
]=
6
6
6
0 5− x
0
0
5
4
5 5
1 −
=
5
e
∫ 3
1 −5 6 x
x
1 − 3
5
4
4
1 4 1 −5
625 −
x (6 − x) =
e
−
= e
⋅5 − 5 = 5 ⋅ e =
5
e
6
6
4
5
6
2
6
2
12
0
0
Zadanie 7
2
S ≅ P 1
( 0 λ
) m ( λ) = λ + λ
2
2
2
ES = 10 λ + 100 λ
ES = 10 λ
2
10 λ + 100 λ
9
odpowiedź C prawidłowa bo:
2
2
+
⋅10 λ = 1
,
0 λ + λ + 9
,
0 λ = λ + λ
100
100
Zadanie 8
P( Y
P Z
P X
P X
i =
)1 = ( i = )1 ( i = )1 = 9, 0
( i = )1
P( Y
P X
i = 0) = 1 −
9
,
0
( i = )1
P( Y
Y
P Y
Y
P Y
Y
P Y
n >
n+
=
n =
n+ =
=
n+ =
n =
n =
1 )
(
,
1
0
1
) (
0
1
)1 (
)1
P( Y
Y
P Y
Z
X
P Z
X
Z
X
n+1 = 0 n = )
1 = ( n+1 = 0 n = , 1
n = )
1 = 1 − ( n+1 = ,
1
n+1 = 1
n = ,
1
n =
)1=
1
p 1
6
4
4
4
7
4
4
4
8
= 1− P( Z
P X
X
n+ =
n+ =
n =
= −
⋅
=
1
)1 (
1
1
)1 1 9,
0
8
,
0
,
0 28
P( Y
P Z
P X
P X
n =
)1 = ( n = )1 ( n = )1 = 9, 0
( n = )1
→ 1
4
6
p 4
7 8
lim ,
0 28 ⋅ 9
,
0 ⋅ P( X
n =
)1→ ,028⋅ 9,
0 ⋅ 5
,
0
= 1,
0 26
n→∞
8
,
0 p + ,
0 2 p = p
0
1
0
→ p = p =
b
5
,
0
o p + p = 1
,
0 2 p + 8
,
0
0
1
0
1
p = p
0
1
1
Zadanie 9
µ > µ
2
1
2
n
∑( Xi− µ 2)
1 −
e
2
µ 2 n
µ 2
2Π
µ 2 ∑ X
2
1
i −
− µ 1∑ Xi + n
= e
2
2
→ STAT =
2
∑ X
n
∑( Xi− µ 1)
i
1 −
e
2
2Π
.
1 P ∑ X
i > t =
0 (
) 0,
0 25
t − n
3
t − n
3
P
X
>
= ,
0 025 →
= 9
,
1 6 → t = 9
,
1 6 n + n
3
0
n
n
K = (
X
czyli (A) prawidłowa
n >
9
,
1 6 n + 3 n)
9
,
1 6
= X >
+ 3
= ( ˆ µ− > 3)
n
Zadanie 10
− p
ES
=
1
EN ⋅ EX =
µ
N
p
P( N > 0) = 1 − P( N = 0) = 1 − p 1
1
E( S
0
0
N
> )
−
=
p
N
µ
= µ → ( S N
n
> )
p
≅ wykl
p
1 − p
p
µ
s
1 − µ
e
p 1
( − p)
s
ps
s 1
( − p)
= 1 ( = )
1
− +
−
P(
f S
N
P N
µ
N = 1 S
= s =
=
= e
= e
N
) ( N
)
µ
µ
µ
ps
f
( s)
S
−
N
p
µ
e
1
( − p)
µ
ps
p −
f
( s) = f
>
>
=
−
SN
( s N 0) P( N 0) e µ 1
(
p)
µ