GEOMETRIA ANALITYCZNA ARKUSZ 2
Zadanie 1.
Sprawdzić, czy podane przekształcenia zachowują odległość między punktami.
a)
2
2
f : R → R i ∀
f ( p)
p = p p
= (2 p + ,
3 p − )
1
(
,
)
1
2
1
2
b)
2
2
f : R → R i ∀
f ( p)
=
= (− p , p )
p ( p , p )
2
1
1
2
c)
2
2
f : R → R i ∀
f ( p)
=
= ( p − p , p + p ) p ( p , p )
1
2
1
2
1
2
d)
2
2
f : R → R i ∀
f p =
+
2
( )
2
)
0
,
3
(
p∈
p
R
e)
2
2
f : R → R i ∀
f p =
−
2
( )
(
)
1
,
2
p∈
p
R
f)
2
3
f : R → R i ∀
f ( p)
=
= ( p , p , p ) p ( p , p )
1
2
1
1
2
g)
2
3
f : R → R i ∀
f ( p)
=
= ( ,
0 p ,− p )
p ( p , p )
2
1 . Czy f jest izometrią
2
R na 3
R ?
1
2
h)
2
f : R → R i ∀
f ( p)
∈
= ( p + ,12 p)
p R
2 p
p
i)
3
f : R → R i ∀
f ( p)
p∈ R
= (
, ,
1
+ 7)
5
5
Zadanie 2.
Pokazać (wskazując odpowiednią izometrię), Ŝe zdefiniowany zbiór L jest prostą.
a)
2
L ⊂ R i L jest wykresem funkcji f ( x) = 3 x − 5 .
b)
2
L ⊂ R i L jest zbiorem punktów postaci ( t + , 2 3 t − )
1 , gdzie t ∈ R .
c)
2
L ⊂ R i L jest zbiorem rozwiązań równania x + 2 y − 5 = 0
L = {( x, y)
2
∈ R : x = }
d)
2
e)
3
L ⊂ R i L jest zbiorem punktów postaci (2 t − , 1 2 − t, 2 t + )
3 , gdzie t ∈ R .
x − y + 2 z = 3
f)
3
L ⊂ R i L jest zbiorem rozwiązań układu równań
.
2 x + y − z = 1
x + 3 y − z + t = 0
g)
4
L ⊂ R i L jest zbiorem rozwiązań układu równań 2 x − y + 3 t = 1
.
y − 2 z = 5
Zadanie 3.
Napisać równania wektorowe, parametryczne, ogólne i kierunkowe (jeśli to moŜliwe) prostej w 2
L ⊂ R ,
spełniającej warunki:
a) prosta L przechodzi przez punkty a = , 1
( − )
3 , b = ( ,
2 0) .
b) prosta L jest równoległa do prostej o równaniu x − 3 y + 2 = 0 i przechodzi przez punkt p =
,
3
( −2) .
c) prosta L tworzy z dodatnią półosią osi OX kąt o mierze 3π i przechodzi przez środek odcinka o końcach 4
p = (− ,
2 )
5 i q = ( ,
4 )
3 .
d) prosta L jest prostopadła do prostej o równaniu 3 x − 4 y = 7 i znajduje się w odległości równej 3 od punktu a = ,
1
( 0) .
Zadanie 4.
Znaleźć warunek przecinania się prostych (w przestrzeni 2
R ) o równaniach:
a)
+
=
+
2
2
a + b >
2
2
a + b >
1
a x
1
b y
1
c i a
=
2 x
2
b y
c 2 , gdzie
0
1
1
i
0
2
2
.
b) y =
+
=
+
1
m x
1
n i y
m 2 x n 2
Pod jakim kątem przecinają się te proste?