AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe

1

§ 1.

Przestrzenie liniowe

Klasyczna analiza matematyczna to ”punktowy” sposób pa-

trzenia na funkcje. Analiza funkcjonalna (AF) traktuje funkcje ca-lościowo jako wektory odpowiednio dobranej przestrzeni liniowej, np. C([a, b]) - p. liniowa funkcji ciag lych na [a, b], C2((a, b)) - p.

‘

liniowa funkcji z ciag la 2-ga pochodna na (a, b)). Odwzorowania

‘ ‘

‘

‘

na funkcjach (wektorach) nazywane sa w AF operatorami.

‘

Przyk lady

(a) Uk lad równań liniowych: 2x − 3y = 1, 2x + 2y = 3, możemy zapisać w postaci równania operatorowego. Macierz

2 −3

A = 2 2

określa operator A : R2 → R2 wzorem A([x, y]) = A · [x, y] =

[2x − 3y, 2x + 2y]. Uk lad równań ma teraz postać operatorowa:‘

A(u) = v, gdzie v = [1, 3].

(b) Równanie różniczkowe: u′′(t) + 2tu′(t) = v(t), gdzie v ∈

C((a, b)) także można zapisać w postaci operatorowej. Wzór

A(u)(t) = u′′(t) + 2tu′(t), u ∈ C2((a, b)),

określa operator (różniczkowy) z A : C2((a, b)) → C((a, b)) a r.r.

ma teraz postać operatorowa: A(u) = v.

‘

(c) Równanie ca lkowe u(x) − R 1 k(x, y)u(y) dy = v(x), gdzie k i 0

v sa cig le, także można zapisać w postaci operatorowej A(u) = v

‘

definiujac operator (ca lkowy) A : C([0, 1]) → C([0, 1]) wzorem

‘

A(u)(x) = u(x) − R 1 k(x, y)u(y) dy.

0

Przypomnienie. Przestrzenia liniowa (wektorowa) nazywamy

‘

‘

‘

niepusty zbiór X z dzia laniami: x + y i λx, x, y ∈ X, λ ∈ R, oraz wektorem zerowym 0 o w lasnościach: x + y = y + x, x + (y + z) =

(x + y) + z, ∀x ∈ X∃ − x ∈ X x + 0 = x, x + (−x) = 0, 1x = x, λ(x + y) = λx + λy, λ1(λ2x) = (λ1λ2)x, (λ1 + λ2)x = λ1x + λ2x.

Elementy przestrzeni liniowej nazywamy wektorami.

AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe

2

W przestrzeniach liniowych mamy: x + y = x + z ⇒ y = z

prawo skracania; 0x = 0; −x jest jedyny; (−1)x = −x.

Przyk lady przestrzeni liniowych

(a) Rk, k = 1, 2, . . . przestrzenie euklidesowe.

(b) s zbiór wszystkich ciagów liczb rzeczywistych,

‘

s = {(tk) : tk ∈ R, k = 1, 2, . . . },

(tk) + (sk) = (tk + sk), λ(tk) = (λtk), 0 = (0, 0, . . . ).

(c) RE zbiór wszystkich funkcji x : E → R,

(x + y)(t) = x(t) + y(t), (λx)(t) = λx(t), 0(t) = 0, t ∈ E.

RN = s. R[a,b] zbiór wsz. funkcji x : [a, b] → R. R{1,2} = R2.

(d) X × Y , gdy X i Y sa p.liniowymi.

‘

(e) Każdy zbiór 1-elementowy: {0} - przestrzeń zerowa.

Podprzestrzenie liniowe

Niepusty zbiór Y nazywamy podprzestrzenia liniowa przestrzeni

‘

‘

liniowej X, jeśli: 1) Y ⊂ X, 2) x, y ∈ Y ⇒ x + y ∈ Y , 3) x ∈ Y , λ ∈ R ⇒ λx ∈ Y . Każda podprzestrzeń liniowa jest przestrzenia‘

liniowa. W szczególności, 0 ∈ X jest także zerem przestrzeni Y .

‘

Przyk lady. Każda prosta y = ax, a ∈ R, jest podprzestrzenia‘

liniowa przestrzeni R2. Prosta x = 0 jest także podprzestrze-

‘

nia liniowa w R2. Prosta y = 1 nie jest podprzestrzenia liniowa

‘

‘

‘

‘

przestrzeni R2 ale jest przestrzenia liniowa, gdy przyjmiemy:

‘

‘

(x1, 1) + (x2, 1) = (x1 + x2, 1), λ(x, 1) = (λx, 1), 0 = (0, 1).

Podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni s sa zbiory:

‘

l∞

zb. wsz. ciagów ograniczonych liczb rzeczywistych,

‘

(tk) ∈ l∞ ⇔ ∃M > 0 ∀k |tk| ≤ M .

c

zb. wsz. ciagów zbieżnych, (t

‘

k ) ∈ c

⇔ ∃t ∈ R tk → t.

c0

zb. wsz. ciagów zbieżnych do zera, (t

‘

k ) ∈ c0 ⇔ tk → 0.

lp

zb. wsz. ciagów bezwzgl. sumowalnych z p-ta potega,

‘

‘

‘ ‘

(tk) ∈ lp ⇔ P∞ |t

1

k |p < ∞, p > 0.

AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe

3

Podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R[a,b] sa zbiory:

‘

C([a, b])

zb. wsz. funkcji ciag lych x : [a, b] → R.

‘

Ck((a, b)) zb. wsz. funkcji x : [a, b] → R k-krotnie różniczkowal-nych w sposób ciag ly.

‘

Przestrzenie ilorazowe

Niech X p.lin, Y ⊂ X podp.lin. Relacja: x ∼ y ⇔ x − y ∈ Y ,

jest relacja równoważności w X. Przestrzeń ilorazowa

‘

X/Y = X/∼ = {[x] : x ∈ X}, gdzie [x] = {y ∈ X : x ∼ y},

jest przestrzenia liniowa z dzia laniami: [x] + [y] = [x + y], λ[x] =

‘

‘

[λx] i zerem ˜

0 = [0] = Y .

Dowód. Relacja x ∼ y jest zwrotna, symetryczna i przechodnia: x ∼ x ⇔ x − x = 0 ∈ Y , x ∼ y ⇔ x − y ∈ Y ⇔ y − x ∈ Y ⇔

y ∼ x, x ∼ y ∧y ∼ z ⇒ x−y, y −z ∈ Y ⇒ x−y +y −z = x−z ∈ Y

⇒ x ∼ z. Definicje dzia lań sa poprawne (nie zależa od wyboru

‘

‘

reprezentantów klas abstrakcji). Niech bowiem x ∼ x′, y ∼ y′.

Należy pokazać, że [x] + [y] = [x′] + [y′] oraz λ[x] = λ[x′]. Mamy: x − x′ ∈ Y , y − y′ ∈ Y , x + y − x′ − y′ ∈ Y , [x + y] = [x′ + y′].

Zatem [x] + [y] = [x′] + [y′]. Podobnie otrzymujemy: x − x′ ∈ Y , λ(x − x′) ∈ Y . Stad: λ(x − x′) = λx − λx′ ∈ Y , [λx] = [λx′].

‘

Zatem λ[x] = λ[x′].

Pozostaje sprawdzić ( latwe), że dzia lania wektorowe i wektor zerowy spe lniaja aksjomaty p.lin., np.: [x]+[0] = [x+0] = [x].

‘

Uwaga. ˜

0 = {x ∈ X : x − 0 ∈ Y } = {x ∈ X : x ∈ Y } = Y .

Liniowa niezale żność wektorów

Wektory x1, . . . , xn ∈ X nazywamy liniowo niezależnymi, jeśli λ1x1 + . . . + λnxn = 0 ⇒ λ1 = 0, . . . , λn = 0.

Zbiór {x1, . . . , xn} ⊂ X nazywamy wtedy liniowo niezależnym.

Dowolny P ⊂ X nazywamy liniowo niezależnym, jes li każdy skoń-

czony podzbiór zbioru P jest liniowo niezależny.

AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe

4

Przyk lady

(a) {e1, . . . , en} ⊂ Rn jest liniowo niezależny.

(b) Niech P = {(ak) : a ∈ (0, 1)}. Wtedy P ⊂ l1 i P jest liniowo niezależny.

Dowód. Dla a ∈ (0, 1) mamy P∞ ak < ∞. Zatem (ak) ∈ l1,

1

P ⊂ l1. Niech a1, . . . , an ∈ (0, 1), ai 6= aj dla i 6= j. Wystarczy pokazać, że wektory (ak1), . . . , (ak ) sa liniowo niezależne. Niech n

‘

λ1(ak1) + . . . + λn(ak ) = 0. Wtedy

n

λ1a1 + . . . + λnan = 0,

λ1a21 + . . . + λna2 = 0,

n

...

λ1an1 + . . . + λnan = 0,

n

...

Wystarczy ograniczyć sie do uk ladu n pierwszych równań.

‘

Wyznacznik g lówny tego uk ladu ma postać:

a1

. . .

a

n

a2

1

. . .

a2n =

. . .

an

1

. . .

ann

1

. . .

1

a

= a

1

. . .

an

1 . . . a

n

wyznacznik

. . .

an−1

1

. . .

an−1

n

Vandermonde’a

= a

Q

1 . . . an

(aj − ai) 6= 0.

1≤i<j≤n

Zatem

λ1 = 0, . . . , λn = 0.

AF 2012/2013, 1. Przestrzenie liniowe

5

Wymiar przestrzeni liniowej

W każdej przestrzeni liniowej X istnieje co najmniej jeden ma-ksymalny i liniowo niezależny podzbiór B. Wszystkie maksymalne i liniowo niezależne podzbiory w X sa równoliczne. Każdy z nich

‘

nazywamy baza Hamela przestrzeni X.

‘

B ⊂ X jest baza Hamela w X ⇔ każdy wektor x ∈ X ma

‘

jednoznaczne przedstawienie w postaci x = α1b1 + . . . + αnbn dla pewnego n ∈ N, pewnych b1, . . . , bn ∈ B i pewnych α1, . . . , αn ∈

R. Wymiarem przestrzeni liniowej X nazywamy moc dowolnej

bazy Hamela tej przestrzeni, tj., dim X = card B, B - dowolna baza Hamela w X.

Uwagi

1. Jeśli dim X < ∞, to X nazywamy p.skończenie wymiarowa.‘

Jeśli dim X ≥ ℵ0, to X nazywamy p.nieskończenie wymiarowa i

‘

piszemy dim X = ∞.

2. dim X = k < ∞ ⇔ X jest liniowo izomorficzna z Rk.

Przyk lady

(a) dim{0} = 0.

(b) dim R = 1, dim Rk = k.

(c) s0 = {(tk) ∈ s : tk = 0 dla p.w. k} jest p.liniowa. dim s

‘

0 =

ℵ0. Zatem dim s0 = ∞.

Dowód. Wektory e1 = (1, 0, 0, . . . ), e2 = (0, 1, 0, 0, . . . ), ... ∈ s0

sa liniowo niezależne. Stad dim s

‘

‘

0 = ∞. s0 ⊂ s.

(d) dim l1 = ∞.

Dowód. Niech P = {(ak) : a ∈ (0, 1)} ⊂ l1. P jest liniowo

niezależny oraz card (P ) = c > ℵ0. Stad dim l1 = ∞.

‘