Definicja (funkcji n - zmiennych)
Funkcj n – zmiennych okre lon na zbiorze
n
A ⊂
o warto ciach w nazywa si
przyporz dkowanie ka demu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej.
Tak funkcj oznacza si symbolem:
f : A →
lub u = f ( P ) , P ∈ A
lub u = f ( x , x ,. ., x , P = x , x ,. ., x ∈ A
1
2
n )
( 1 2
n )
Uwaga
(i) Wykres funkcji z = f ( x − a, y − b) + c powstaje z wykresu funkcji z = f ( x, y) przez przesuni cie o wektor v = [ a,b,c]
(ii) Wykres funkcji z = − f ( x, y) powstaje z wykresu funkcji z = f ( x, y) przez symetri wzgl dem płaszczyzny XOY
Definicje
Niech 0
P = ( 0 0
0
n
p , p ,. ., p ∈
, P = (
n
p , p ,. ., p ∈
1
2
n )
1
2
n )
(i) Odległo punktu P od punktu 0
P
n
d
P ,P :=
p − p
n (
)
( i i )2
0
0
i 1
=
(ii) Otoczenie punktu 0
P o promieniu r > 0
( 0 ) ={
n
O P ,r :
P ∈
: d
P ,P < r , r >
n (
0
)
}0
(iii) S siedztwo punktu 0
P o promieniu r > 0
( 0 ) = ( 0 ) { 0
S P ,r : O P ,r \ P }
(iv) „Zbie no po współrz dnych”
0
0
P → P ⇔ ∀ i
∀ = 1 ,. .,n p → p
i
i
Definicja (Cauchy’ego granicy wła ciwej funkcji w punkcie) Mówimy, e funkcja f okre lona w s siedztwie ( 0
S P ,r ) punktu 0
n
P ∈
ma w tym
punkcie granic g ∈ , gdy dla ka dego ε > 0 istnieje s siedztwo ( 0
S P , δ) takie, e dla
ka dego P nale cego do tego s siedztwa zachodzi nierówno
d ( f ( P ) ,g) = f ( P) − g < ε
0
lim f P = g ⇔ ∀ε
∀ > 0 ∃δ
∃ > 0 ∀ P
∀ ∈ S P , δ d
f P , g = f P − g < ε
0
( )
(
) ( ( ) ) ( )
P → P
Definicja (Heinego granicy wła ciwej funkcji w punkcie) Niech funkcja f b dzie okre lona przynajmniej w s siedztwie ( 0
S P ,r ) punktu 0
n
P ∈
.
Liczba g ∈ jest granic funkcji f w punkcie 0
n
P ∈
, gdy
k
∀ P
∀
= ( k
k
p ,. ., p ∈ S P ,r
lim P = P
lim f P = g
n )
( 0 )
k
0
k
1
( )
k →∞
k →∞
Analogicznie jak w przypadku n = 1mo na poda definicje granicy niewła ciwej w punkcie.
Równie twierdzenia o działaniach na granicach i twierdzenie o trzech ci gach przenosz si na przypadek wielowymiarowy.
Nie ma jednak odpowiednika Reguły de l’Hospitala.
Definicja (ci gło ci w punkcie)
Mówimy, e funkcja f okre lona w otoczeniu 0
n
P ∈ D ⊂
jest ci gła w tym punkcie,
f
gdy
0
lim f P = f P
0
( )
( )
P → P
Definicja (ci gło ci w zbiorze)
Funkcja f jest ci gła w zbiorze
n
A ⊂
, gdy jest ci gła w ka dym punkcie tego zbioru.
Definicja (funkcji ci głej ze wzgl du na zmienn ) Niech
n
f :
∋ P → u = f ( P ) = f ( x , x ,. ., x ∈ .
1
2
n )
Mówimy, e f jest ci gła ze wzgl du na zmienn x ( i =1 , 2 ,. .n w punkcie
i
)
0
P = ( 0 0
0
n
p , p ,. ., p ∈
, gdy funkcja u = f ( 0 0
0
0
0
p , p ,. ., p
− , x , p + , . ., p
1
2
i 1
i
i 1
n )
1
2
n )
jest ci gła w punkcie 0
p ∈ , ( i =1 , 2 ,. .,n .
i
)
Twierdzenie (ci gło w punkcie a ci gło ze wzgl du na zmienn ) Funkcja
n
f :
→ ci gła w punkcie 0
n
P ∈
jest ci gła ze wzgl du na ka d zmienn
w tym punkcie.
Uwaga
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.