W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 1
ROZWIĄZANIE ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM FUNKCJI BIHARMONICZNEJ
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam Łodygowski, Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI Poznań 2002/2003
TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 7
Dana jest zginana belka (rys. 1) o danych wymiarach i obciążeniu: h/2
h/2
b=1
l
l
Rys. 1
u( x, y)
σ
τ
x
xy
ε
(7.1)
v( x, y) xy
τ
σ
yx
y
4
∇ F( x, y)= 0
4
∂ F
2 2
4
∂ F
∂
(7.2)
+
+ F = 0
4
2
2
4
∂ x
∂ x ∂ y
∂ y
Składowe stanu naprężenia:
∂2 F
∂2 F
∂2 F
σ =
σ =
τ = −
x
(7.3)
y 2
y
∂
x 2
xy
∂
x
∂ y
∂
Funkcja naprężeń F(x,y) (funkcja Airy’ego) spełnia równanie biharmoniczne.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk ,Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 2
ROZWIĄZANIE ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM FUNKCJI BIHARMONICZNEJ
Zakładamy funkcję biharmoniczną w postaci: F(
5
y
x, y)
2
2
2 3
= a x
b x y d x y
2
+ 3
+ 5
−
(7.4)
5
Zgodnie z zależnościami (7.2 i 7.3) wyznaczyć można składowe stanu naprężenia: 2
∂ F
σ =
= 2 a + 2 b y + 2
3
d y
)
A
y
2
2
3
5
x
∂
2
∂ F
σ =
= b ⋅ x y − y
B
x
2
3
(6 2 4 2)
)
(7.5)
y
∂
2
∂ F
τ = −
= 2 b x + 6
2
d xy
C)
xy
3
5
x
∂ y
∂
Sprawdzenie:
4
∂ F = 0
x 4
∂
4
∂ F = 24
− d y
y 4
5
∂
(7.6)
2
2∂ F
2
= 24 d y
x 2
∂
y 2
5
∂
Określenie warunków brzegowych:
= + h
y
→τ
σ
xy = 0
y = − q
2
2
1
=− h
y
→τ
σ
xy = 0
y = 0
3
2
+ h/ 2
'
4
x = l
τ xy ⋅ dy = +
∫
ql
− h/ 2
+ h/ 2
(7.7)
'
4 '
x = − l
τ xy ⋅ dy = −
∫
ql
− h/ 2
+ h/ 2
5
x = ± l
σ x ⋅ dy = 0
∫− h/2
+ h/ 2
6
x = ± l
σ x ⋅ y ⋅ dy = 0
∫− h/2
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk ,Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 3
ROZWIĄZANIE ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM FUNKCJI BIHARMONICZNEJ
Wyjaśnienie warunków:
4’
- suma naprężeń stycznych daje reakcję prawej podpory, 4’’
- suma naprężeń stycznych daje reakcję lewej podpory, 6
- jest to moment poprzeczny,
σ x
Rys. 2
σ x
dy
σ ⋅ dy
x
⋅1
( b = )
1
M = σ x ⋅1⋅ dy ⋅ = 0
0
∫
y
(7.8)
A
Wykorzystując 2 warunek brzegowy (7.7) podstawiamy go do zależności A) na składową wektora naprężenia i otrzymujemy: h
h 3
2 a
2
2
(7.9)
2 +
b 3 ⋅ + d 5 ⋅ = − q 2
2
Wykorzystując 3 warunek brzegowy (7.7) podstawiamy go do zależności A) na składową wektora naprężenia i otrzymujemy: 4
h
2 a +
h
2 b ⋅ + 2 d ⋅ = 0
(7.10)
2
3
2
5 2
Wykorzystując 1 warunek brzegowy (7.7) podstawiamy go do zależności C) na składową wektora naprężenia i otrzymujemy: h 2
2 ⋅ b x
3
+ 6 ⋅ d 5 ⋅ x ⋅
= 0
4
h 2
(7.11)
x ⋅ 2 ⋅ b 3 + 6 ⋅ d 5 ⋅
=
0
4
− l ≤ x ≤ l
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk ,Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 4
ROZWIĄZANIE ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM FUNKCJI BIHARMONICZNEJ
Wykorzystując (7.11) można zapisać zależność: 3
2
b + ⋅ d ⋅ h = 0
3
(7.12)
4
5
Powyższą zależność (7.12) podstawiamy do (7.10) i otrzymujemy: 3 q
q
b = −
d =
3
5
(7.13)
3
4 h
h
Pamiętając, że
3
3
bh
h
A = b ⋅ h = h I =
=
(7.14)
12
12
Otrzymujemy wzory na składowe naprężenia: q 2 2 2
σ =
⋅ x − y ⋅ y
x
2 I
3
q y 3
h 2
h 3
σ =
⋅
−
⋅ y −
y
2 I
(7.15)
3
4
12
q h 2
2
τ =
− y ⋅ x
xy
2 I
4
Sprawdzenie warunku brzegowego 4’ (7.7) poprzez podstawienie do niego funkcji (7.15):
+ h / 2
x = l
τ ⋅ dy = + ql
xy
∫− h/2
q h 2
2
τ =
− y ⋅ x
xy
2 I
4
6 ql + h/2 h 2
2
⋅
⋅
− y ⋅ l ⋅ dy = ql 3
∫
h
4
− h / 2
6 ql + h/2 h 2
6 ql + h/2
(7.16)
⋅
⋅
⋅ dy −
⋅
⋅ y 2 ⋅ dy = ql
3
∫ 4
3
∫
h
h
− h / 2
− h / 2
h / 2
h / 2
6 ql h 2
3
⋅
6
3
⋅ (
y)
ql
y
−
⋅
= ql
h
4
h 3
3
− h / 2
− h/2
6 ql h 3
6 ql h 3
⋅
−
⋅
= ql
h 3
4
h 3 3 ⋅ 4
ql = ql
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk ,Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 5
ROZWIĄZANIE ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM FUNKCJI BIHARMONICZNEJ
Sprawdzenie warunku brzegowego 4” (7.7) poprzez podstawienie do niego funkcji (7.15)
+ h / 2
x = − l
τ ⋅ dy = − ql
xy
∫− h/2
q h 2
2
τ =
− y ⋅ x
xy
2 I
4
6 ql + h/2 h 2
2
⋅
⋅
− y ⋅
3
(− l)⋅ dy = − ql
∫
h
4
− h / 2
6 ql + h/2 h 2
6 ql + h/2
(7.17)
−
⋅
⋅
⋅ dy +
⋅
⋅ y 2 ⋅ dy = − ql
3
∫ 4
3
∫
h
h
− h / 2
− h / 2
h / 2
h / 2
6 ql h 2
3
−
⋅
6
3
⋅(
y)
ql
y
+
⋅
= − ql
h
4
h 3
3
− h / 2
− h/2
6 ql h 3
6 ql h 3
−
⋅
+
⋅
= − ql
h 3
4
h 3 3⋅ 4
− ql = − ql
Sprawdzenie warunku brzegowego 5 (7.7) poprzez podstawienie do niego funkcji (7.15)
+ h / 2
x = ± l
σ dy
x ⋅
= 0
∫− h/2
q 2 2 2
σ
x
y
y
x =
⋅
−
⋅
2 I
3
+ h / 2 6 ql 2 2 2
⋅ l − y
⋅ y ⋅ dy = 0
∫ 3 h
− h
3
/ 2
6
+ h / 2
+ h
ql
2
6
/ 2
ql
2 3
⋅
l ⋅ y ⋅ dy −
⋅
y ⋅ dy = 0
(7.18)
3
h
∫
3
h
∫ 3
− h / 2
− h / 2
h / 2
h / 2
6 3
2
ql
y
6 ql 2
4
y
⋅
−
⋅
⋅
= 0
3
h
2
3
h
3 4
− h/2
− h/2
h / 2
3
2
2
4
4
3
ql
h
h
ql h
h
⋅ − − −
⋅ − −
= 0
3
h
2
2
3
h
2
2
− h/2
0 = 0
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk ,Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 6
ROZWIĄZANIE ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM FUNKCJI BIHARMONICZNEJ
Sprawdzenie warunku brzegowego 6 (7.7) poprzez podstawienie do niego funkcji (7.15):
+ h / 2
x = ± l
σ x ⋅ y ⋅ dy = 0
∫− h/2
q
2
2
2
σ x =
⋅ x −
y
⋅ y
2 I
3
+
(7.19)
h / 2
q
2
2
2
2
⋅
⋅ x −
y ⋅ y ⋅ dy = 0
I
∫
2
− h
3
/ 2
2
3
5
q
l h
h
⋅
−
≠ 0
2
I
12
120
Warunek 6 jest niespełniony. Należy tak zmodyfikować funkcję biharmoniczną, aby nie zakłócić warunków poprzednich:
F( x, y) = F( x, y) 3
+ d y
(7.20)
3
Modyfikacja nie zakłóci warunków poprzednich ponieważ bilaplasjan z funkcji d3y3 = 0
2
2
∂ F
∂
σ x =
+
d y
2
2 (
, 3
3
)
∂ y
∂ y
q 2 2 2
σ
σ
x =
⋅ x − y
⋅ y + ⋅ d y
(7.21)
2 I
3
3
+ h / 2σ ⋅ d ydy = 0
3
∫− h/2
Sprawdzenie warunku brzegowego 6
+ h / 2 q 2 2 2 2
⋅ l − y ⋅ y + σ ⋅ d y dy 3
=
∫
0
2 I
3
− h / 2
2
σ x = − q ⋅ ( 2 l − 2
x )
q 2
2
h
⋅ y −
⋅
⋅ y −
⋅
y
(7.22)
2 I
2 I 3
10
q
2
2
h
d
l
3 = −
−
12 I
10
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk ,Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 7
ROZWIĄZANIE ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM FUNKCJI BIHARMONICZNEJ
Końcowe zależności na składowe naprężenia: M ( x)
σ = −
⋅ y
x
I
σ =
1
0
M
=
⋅ 2 − 2
y
( x)
q ( l
x )
2
T ⋅ S y
τ = −
T
= −
xy
( x) qx
I ⋅ b
(7.23)
M
q 2
h 2
2
σ = −
⋅ y −
⋅
⋅ y −
⋅ y
x
I
2 I
3
10
T ( x)⋅ S y
τ = −
xy
I ⋅ b
Dokładne rozwiązanie różni się nieznacznie od rozwiązań proponowanych przez wytrzymałość materiałów:
Belka
σ
q 2
h 2
σ
τ
2
q
x
⋅
⋅ y −
⋅ y
y
xy
2 I
3
10
Rys.3
Tabelka różnic między rozwiązaniami dokładnymi a tymi proponowanymi przez wytrzymałość materiałów ze względu na stosunek h/l w skrajnych włóknach: h
η %
l
0,1
0,3
0,25
1,7
0,5
6,7
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk ,Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 8
ROZWIĄZANIE ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM FUNKCJI BIHARMONICZNEJ
Odkształcenia wynoszą odpowiednio:
1
ε
σ νσ
x =
⋅( x − y ) ∂
= u
E
∂ x
1
ε
σ νσ
y =
⋅( y − x ) ∂
= v
E
∂ y
1
ε
τ
xy =
⋅( xy )
G
2
(7.24)
q
2
2
2
2
3
2
3
3
ε
ν
x = −
⋅ ( l − x )
h
y
h
h
⋅ y + ⋅ y −
⋅ y + ⋅ − ⋅ y −
2 EI
3
10
3
4
12
q
y 3 h 2
h 3
2
2
2
2
2
ε
ν
y =
⋅
−
⋅ y −
− ⋅
h
( l − x )
⋅ y + ⋅ y −
⋅ y
2 EI 3
4
12
3
10
Przemieszczenie poziome:
u(
3
2
q
x
h
x, y)
2
2
3
= ε dx
x
= −
⋅
∫
l x −
⋅ y +
⋅ y −
⋅ y ⋅ x +
2
EI
3
3
10
3
2
3
y
h
h
(7.25)
+ν ⋅
−
⋅ y −
⋅
x + f x
3
4
12
1
u( ,
0 y) = 0
Stała w przypadku funkcji jest funkcją zerową f ( y)= 0
1
Przemieszczenie pionowe:
4
2
3
v( x, y)
q
y
h
2
h
= ε dy =
⋅
−
⋅ y −
⋅ y −
y
∫
2 EI 12
8
12
(7.26)
−ν ⋅ (
2
4
2
l 2 − x 2 ) y
y
h
⋅
+
−
⋅ y 2 + f x 1
2
6
20
Sposób na wyznaczenie f 1( y) ε
τ
xy =
1 ⋅( ) 1 ∂ u ∂ v
= ⋅ +
2 G
xy
2 ∂ y ∂ x
(7.27)
df x
q
h
x
1 ( )
8
2
3
2
=
⋅ +ν ⋅ ⋅ x + l x −
dx
2 EI 5
4
3
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk ,Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 9
ROZWIĄZANIE ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM FUNKCJI BIHARMONICZNEJ
Równanie zwyczajne:
q
4 ν h
l ⋅ x
x
f x =
⋅ + ⋅
⋅ x +
−
+ f
1 ( )
2
2
2
4
2
0
(7.28)
2 EI 5 2 4
2
12
Rys. 4
Zakładamy, że punkty 1 i 2 się nie przemieszczą v( l 0
, ) = 0
(7.29)
v(− l 0
, ) = 0
Co oznacza podparcie belki w tych środkowych punktach.
Warunki (7.29) podstawiamy do (7.28)
ql 2 5
4 ν h 2
ν
2
ql
5 4
3 h 2
h
f 0 = −
⋅
⋅ l + + ⋅
= −
⋅
1+ ⋅
⋅
(7.28)
2
+
2 EI 12
3 2 4
24 EI 5 l 5 2
1 4
4 2 4
4 3
wplyw silT
Dla porównania, wykorzystuąc uproszczone wzory w wytrzymałości materiałów otrzymalibyśmy:
5
q ⋅ ( l
2 )4
5 q ⋅ l 4
f = −
⋅
= −
⋅
(7.29)
0
384
EI
24
EI
Człon, który wystąpił dodatkowo jest wpływem działania siły poprzecznej, której wytrzymałość materiałów nie uwzględnia.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk ,Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper