Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 10
Zadania zamknięte
Numer
Poprawna
Wskazówki do rozwiązania zadania
zadania odpowiedź
1.
A.
,
0 2 x = 8 ⇒ x = 4 ,
0 40 − 8 = 32
2.
D.
2⋅4
,
0 06
1000 ⋅ 1 +
4
3.
B.
40
−30
10
2 2
2
W =
=
7 7
7
4.
D.
a = 32log 4
3
= 3log 16
3
= 16
5.
B.
W = 25 − (2 x − 3 y)2 ⇒ W = [5 − (2 x − 3 y)][5 + (2 x − 3 y)] ⇒
⇒ W = (5 − 2 x + 3 y)(5 + 2 x − 3 y) 6.
D.
x + 4 ≠ 0
2
∧ x + 6 x + 9 ≠ 0 ⇒ x ≠ −4 ∧ x ≠ −3
7.
C.
2
− x − 5 x < 0 ⇒ x(− x − 5) < 0 , zatem x = , 0 x = −5 , zaś ramiona
1
2
paraboli skierowane są do dołu.
8.
D.
− m − 3 < 0 ⇒ m > 3
−
9.
A.
Skorzystaj z zasady przesuwania wykresu funkcji wzdłuŜ osi układu współrzędnych.
10.
B.
Funkcja, której wykres przechodzi przez dane punkty, ma wzór y = 3 x −1 (rozwiąŜ odpowiedni układ równań).
11.
D.
x 2 + 4 > 0 ⇒ x ∈ R
12.
B.
KaŜda funkcja wykładnicza ma zbiór wartości ( , 0 + ∞), a wykres
danej funkcji został przesunięty wzdłuŜ osi OX .
13.
C.
2 − n > 0 ⇒ n < 14 ∧ n ∈ N+
7
14.
A.
1
r =
− ( 3 + 2)= 3 − 2 − 3 − 2 ⇒ r = 2
− 2 , zatem
3 + 2
a = 3 − 3 2 .
3
1
D.
6
1
a = 256 ⋅ − ⇒ a = 4
7
2
7
16.
B.
2 + 2 n
a = ,
2 a = 2 n ⇒ S =
n ⇒ S = n 2
1
+ n
n
n
n
2
17.
C.
Funkcja y = cos x jest dla x ∈ (
,
0 90 ) malejąca.
18.
B.
1 − cos2 x
sin 2 x
W =
=
⇒ W = sin x
sin x
sin x
19.
C.
Mniejszy kąt leŜy naprzeciwko mniejszego boku trójkąta.
20.
D.
Dwa koła są podobne, więc skala podobieństwa 2
k = 4 ⇒ k = 2 , stąd
promień większego koła jest dwa razy większy od promienia mniejszego koła.
21.
D.
1
3
a
a
, zaś punkt P spełnia równanie prostej z k = −
⇒ k = −
a
2
l
przykładu D.
22.
A.
5
2
a
k = al ⇔ −1 − 3 a = −
⇔ a =
3
9
23.
D.
AO = 7 + 9 = 4
24.
B.
l = 1 ,
2 r = 6 ⇒ P
b = 7 π
2
25.
B.
Suma oczek co najwyŜej 8 , to znaczy suma jest mniejsza lub równa
=
=
26
8 , Ω = 3 ,
6 A = 26 ⇒ P( )
A =
.
36
Zadania otwarte
Numer
Liczba
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
zadania
punktów
26.
Zapisanie większej potęgi za pomocą mniejszej: 1
27
27
2
a = 3 + 3 ⋅ 3 .
Wykazanie tezy zadania: a = 327 (1 + 9) ⇒ a = 327 ⋅10 , zatem 1
liczba jest podzielna przez 3 i przez 10 , czyli jest podzielna przez 30 .
2
Pogrupowanie wyrazów: W ( x)
2
= x ( x + 5)−16( x + 5).
1
RozłoŜenie wielomianu na czynniki:
1
W ( x) = ( 2
x −16)( x + 5) ⇒ W ( x) = ( x − 4)( x + 4)( x + 5) .
28.
Przekształcenie pierwszego wielomianu do postaci ogólnej: 1
W ( x)
1
=
= 3
x + 6 2
x + 12 x + 8 − 4 2
x + 9 ⇒ W ( x)
3
= x + 2 2
x + 12 x + 17 .
1
Przekształcenie drugiego wielomianu do postaci ogólnej: 1
W ( x) = 3
x
x
x
x
x
2
− 5 2 + − 5 + 7 2 +11 + 22 ⇒
⇒ W ( x)
3
= x + 2 2
x + 12 x + 17 , zatem wielomiany są równe.
2
29.
Zapisanie warunków koniecznych do wyznaczenia dziedziny 1
funkcji: 2
x ≥ 0
2
∧ x ≤ 0 .
Wyznaczenie dziedziny i zbioru wartości funkcji: 1
D = { }
0 ,
1
−
D
= { }
0 .
30.
3
9
4
1
cosα =
⇒ sinα = 1−
⇒ sinα =
5
25
5
3
4
16
1
tgα =
∧ sinα = ⇒ cosα =
– sprzeczność z treścią
4
5
15
zadania.
31.
Wprowadzenie oznaczeń:
1
x, y, z – szukane liczby, ( x, y, z) – ciąg arytmetyczny, ( x, y + ,3 z + 9) – ciąg geometryczny, x + y + z = 45 .
x + y + z = 45
1
x + z
Zapisanie układu równań: y =
.
2
( y + 3)2 = x( z + 9) Wyznaczenie liczby y : y = 15 .
1
Doprowadzenie układu do równania: 2
x − 39 x + 324 = 0 i
1
rozwiązanie równania: x = 1 ,
2 x = 27 .
1
2
Wyznaczenie trzeciej liczby i podanie odpowiedzi.: 1
3
y = 15 ∨ y = 15 .
z = 18
z = 3
32.
Wyznaczenie długości odcinka S O w zaleŜności od promienia 1
2
mniejszego okręgu : S O = 2 r , O – punkt przecięcia prostej l i 2
2
S S ).
1
2
r
2
1
= sin 30
Zapisanie układu równań: r
r
r
.
1 +
2 + 2 2
(po 1 punkcie
r r
1 +
2 = 24
za kaŜde
równanie)
Rozwiązanie układu i podanie odpowiedzi: r = 1 , 8 r = 6 .
2 (1 punkt za
1
2
metodę i 1 za
obliczenia)
33.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie 1
oznaczeń:
a, b – przyprostokątna i przeciwprostokątna podstawy graniastosłupa,
h – wysokość graniastosłupa.
Wyznaczenie przeciwprostokątnej podstawy: b = 9 2 .
1
Wyznaczenie wysokości graniastosłupa: h = 3 6 .
1
Wyznaczenie pola powierzchni bocznej graniastosłupa: 1
P
.
b = 5 (
4
6 + 3)
243 6
1
Wyznaczenie objętości graniastosłupa: V =
.
2
4