Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Wykład 25

25. Równania Maxwella

25.1 Podstawowe równania elektromagnetyzmu

Poszukiwaliśmy zawsze podstawowego (najmniejszego) zestawu równań pozwalające-go na pełne opisanie przedmiotu zainteresowań.

W mechanice - trzy zasady dynamiki

W termodynamice - trzy zasady termodynamiki Teraz chcemy zrobić to samo dla elektromagnetyzmu.

Zacznijmy od poznanych już równań.

Nazwa

Równanie

1

prawo Gaussa dla elektryczności

∫ E d S = q /ε

0

2

prawo Gaussa dla magnetyzmu

∫ B d S = 0

φ

ε = E d l = d B

3

prawo indukcji Faradaya

∫

−

d t

r

∫ B d l = µ I 4

prawo Ampera

0

Te równania jak się okaże są niekompletne Konieczne jest wprowadzenie jeszcze jed-nego dodatkowego wyrazu do równania 4.

Pozwala on w szczególności na udowodnienie, że prędkość światła w próżni c, jest związana z czysto elektrycznymi i magnetycznymi wielkościami.

Prześledźmy powyższą tabelę z punktu widzenia symetrii.

Zwróćmy uwagę, że w tych rozważaniach stałe µ0 i ε0 nie są istotne bo możemy wybrać układ jednostek, w którym będą te stałe równe 1. Wtedy zauważamy pełną symetrię le-wych stron równań. Prawe strony NIE są symetryczne.

Przyczynę niesymetrii dla równań 1 i 2 znamy. Wiemy, że istnieją izolowane centra ła-dunku (np. elektron, proton) ale nie istnieją izolowane centra magnetyczne (pojedyncze bieguny magnetyczne - monopole). Dlatego w równaniu 1 pojawia się q, a w 2 zero.

Z tego powodu mamy w równaniu 4 prąd I = d q/d t, a nie mamy prądu monopoli (ładunków magnetycznych) w równaniu 3.

Drugi rodzaj asymetrii wiąże się z wyrazem – dφ B/d t w równaniu 3. Sens tego prawa jest następujący: zmieniają ce się pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.

Korzystając z zasad symetrii można przypuszczać, że obowiązuje zależność odwrotna: zmieniając pole elektryczne (dφ E/d t) wytwarzamy pole magnetyczne (∫ B d l) .

25.2 Indukowane pole magnetyczne

Oczywiście doświadczenie daje przykłady: w kondensatorze (cylindrycznym) pole elektryczne wzrasta (kondensator ładuje się) z prędkością d E/d t co oznacza, że do okładek dopływa ładunek.

25-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Doświadczenie pokazuje, że powstaje tam pole magnetyczne wytworzone przez zmieniają ce się pole elektryczne.

E

x

x

x

B

x x

x

x

x x

x

i

i

r

x x

x

x

x x

x

B

B

x x

x

x

x x

x

R

x

x

x

x

B

E

Trzeba to uwzględnić w naszych równaniach. Jeszcze raz rozpatrzmy cylindryczny kondensator i obliczmy z prawa Ampera pole magnetyczne w punkcie P (rysunek poniżej).

P

E

S

i

i

r

S'

Wybieramy kontur obejmujący płaską powierzchnię S, która zawiera prąd I oraz przechodzi przez punkt P (w odległości r) ( ∫ j S

d = I ). Z prawa Ampera otrzymujemy S

∫ B d l = µ I 0

kontur S

Stąd

B 2π r=µ0 I

czyli

µ I

B

0

= π

2 r

Prawo Ampera obowiązuje dla dowolnego konturu. Wybieramy więc kontur kołowy na którym rozpięta jest zakrzywiona powierzchnia S'. śaden prąd nie przechodzi przez tę powierzchnię więc tym razem kontur nie obejmuje prądu i mamy ∫ B d l = 0 co jest sprzeczne z poprzednim wynikiem. Wynika to z nieciągłości prądu, który nie płynie pomiędzy okładkami kondensatora. śeby usunąć tę niespójność Maxwell zaproponował

dodanie nowego członu do prawa Ampera.

Przez analogię do prawa indukcji Faradaya możemy napisać dφ

∫ B d l =

E

µ ε

(25.1)

0

0

d t

25-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Tak więc prawo Ampera po modyfikacji ma postać dφ

∫ B d l =

E

µ ε

µ

(25.2)

0

0

+ I

d t

0

Tak więc pole magnetyczne jest wytwarzane przez przepływ prą du ale też przez zmieniają ce się pole elektryczne.

Sprawdźmy czy stosując tę modyfikację uzyskamy teraz poprawny wynik na pole B w punkcie P (przykład powyżej). W części powierzchni krzywoliniowej S' pomiędzy okładkami kondensatora z prawa Gaussa wynika, że φ E = ESC = q/ε0

gdzie SC jest powierzchnią okładek kondensatora. Różniczkując po d t mamy dφ

1 d q

I

E =

=

d t

ε d t ε

0

0

Przypomnijmy, że

∫ B d l = µ I 0

Podstawiając za I otrzymujemy

φ

∫ B d l =

d E

µ ε

0

0

d t

czyli dodany wyraz do prawa Ampera.

25.3 Prą d przesunię cia

Z poprzedniego równania widać, że wyraz ε0dφ E/d t ma wymiar prądu. Mimo, że nie mamy tu do czynienia z ruchem ładunków, to wyraz ten nazywamy prą dem przesunię cia. Mówimy, że pole B może być wytworzone przez prąd przewodzenia I lub przez prąd przesunięcia IP.

∫ B d l = µ ( I I

(25.3)

0

P +

)

Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na zachowanie cią głoś ci prą du w przestrzeni gdzie nie jest przenoszony ładunek (np. między okładkami kondensatora).

Przykład 1

Obliczyć indukowane pole magnetyczne w ładowanym kondensatorze cylindrycznym w odległości r od osi (rysunek na stronie 2).

Z równania

φ

∫ B d l =

d E

µ ε

0

0

d t

otrzymujemy

25-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki d( Eπ r 2 )

2

E

d

B 2 r

π = µ ε

= µ ε π r

0

0

t

d

0

0

t

d

Stąd

1

d E

B =

µ ε r

, dla

r

0

0

< R

2

d t

dla r = R = 5cm oraz d E/d t = 1012 V/ms otrzymujemy B = 0.0028 Gs czyli o dwa rzędy mniej niż pole ziemskie.

Natomiast prąd przesunięcia

dφ

2 d E

I

E

= ε

= ε R

π

P

0

d t

0

d t

ma całkiem sporą wartość IP = 70 mA. Powodem, że B jest tak małe jest to, że ten prąd (umowny) jest rozłożony na bardzo dużej powierzchni okładki kondensatora podczas gdy prąd przewodzenia jest "skupiony" w przewodniku.

25.4 Równania Maxwella

Prawo

Równanie

Czego dotyczy

Doświadczenie

1

Gaussa dla

∫ E d S = q /ε ładunek i pole Przyciąganie, odpychanie

0

elektryczności

elektryczne

ładunków (1/r2).

Ładunki gromadzą się na

powierzchni metalu

2

Gaussa dla

∫ B d S = 0

pole magnetyczne

nie stwierdzono istnienia mo-

magnetyzmu

nopola magnetycznego

3

indukcji Fara-

φ

efekt elektryczny

indukowanie SEM w obwo-

∫ E d l = − d B

daya

d t

zmieniającego się

dzie przez przesuwany ma-

pola magnetycz-

gnes

nego

4

Ampera (roz-

φ efekt magnetycz- prąd w przewodniku wytwa-

∫ B d l =

d E

µ ε

szerzone przez

0

0

d t

ny zmieniającego

rza wokół pole magnetyczne

Maxwella)

+ µ I

0

się pola elek-

prędkość światła można wyli-

trycznego

czyć z pomiarów EM

1

c =

ε µ

0

0

25-4