Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
Obliczanie i wyrażanie niepewności pomiaru
Skrót
opracował: Jan Kurzyk
1. Obliczanie niepewności standardowej metodą A
Załóżmy, że wykonaliśmy serię ≥ 5 pomiarów wielkości i otrzymaliśmy wyniki , , … , .
Jako estymatę (oszacowanie) wartości wielkości mierzonej przyjmujemy średnią arytmetyczną wyników pomiaru:
1
̅ =
.
Niepewność standardową wynikającą z zaobserwowanego rozrzutu statystycznego wyników pomiaru liczymy ze wzoru1:
∑
− ̅
=
− 1
.
2. Obliczanie niepewności standardowej metodą B
2.1. Opis ogólny
a) Oceniamy granice przedziału (granicznego), w którym według naszej wiedzy mieszczą się aktualne i ewentualne przyszłe wyniki pomiarów. Niech Δ oznacza połowę szerokości przedziału granicznego.
b) Środek przedziału granicznego jest (najczęściej) estymatą wartości wielkości mierzonej.
c) Przyjmujemy uproszczony rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiaru na przedziale granicznym. Najczęściej jest to rozkład prostokątny lub trójkątny symetryczny, zależnie od sytuacji. Rozkład prostokątny przyjmujemy, jeśli według nas każdy wynik pomiaru w przedziale granicznym jest równie prawdopodobny, a rozkład trójkątny wtedy, gdy prawdopodobieństwo wyników w pobliżu środka przedziału jest największe i spada do zera w miarę zbliżania się do granic przedziału.
d) Dla rozkładu prostokątnego, niepewność standardowa wyznaczona metodą B wynosi Δ
=
.
√3
e) Dla rozkładu trójkątnego, niepewność standardowa wyznaczona metodą B wynosi Δ
=
.
√6
2.2. Obliczanie niepewności standardowej wynikającej z dokładności przyrządu pomiarowego 2.2.1. Proste analogowe przyrządy pomiarowe (np. przymiar kreskowy) W tym przypadku szacujemy naszą zdolność odczytu wyniku pomiaru ze skali przyrządu, np. 1/2, 1/4, 1/5 najmniejszej działki przyrządu. Stanowi to jednocześnie połowę szerokości przedziału granicznego. Następnie postępujemy jak opisano w punkcie 2.1.
2.2.2. Proste analogowe elektryczne przyrządy pomiarowe (np. woltomierz analogowy) Na niepewność pomiaru składają się dwa czynniki: niepewność odczytu położenia wskazówki i niepewność wynikająca z wzorcowania przyrządu przez producenta. Pierwszy wkład do niepewności obliczamy tak jak opisano w punkcie 2.2.1. Oznaczmy ten składnik niepewności 1 Jest to estymata odchylenia standardowego średniej arytmetycznej.
2
. Drugi obliczamy na podstawie znajomości tzw. klasy przyrządu ! i zakresu pracy przyrządu ". Niepewność standardową związaną z tym czynnikiem liczymy ze wzoru
! ∙ "
#$%&% =
100 ∙ √3
Oba wkłady do niepewności sumujemy zgodnie z regułą składana niepewności standardowych i ostatecznie niepewność pomiaru analogowym, elektrycznym przyrządem pomiarowym wynosi (patrz punkt 2.3):
= * &#%$% + #$%&%.
2.2.3. Cyfrowe przyrządy pomiarowe.
Korzystając ze wzoru podanego przez producenta przyrządu, obliczamy połowę szerokości przedziału granicznego. Wzór podawany przez producenta zależy od: funkcji przyrządu (np. pomiar napięcia stałego DC V) i zakresu przyrządu w momencie pomiaru (np.
2000 mV). Wzór może mieć postać:
± 0.05%rdg + 3dgt
lub
±0.5% of rdg ± 2D
Symbol rdg oznacza odczytaną z wyświetlacza wartość wielkości mierzonej. Symbol dgt lub D
oznacza rozdzielczość przyrządu, czyli wartość odpowiadającą ostatniej pozycji na wyświetlaczu.
Rozdzielczość przyrządu zależy od zakresu na jakim pracuje przyrząd w momencie pomiaru. Np.
jeśli wyświetlacz przyrządu może wyświetlać 4 cyfry, to na zakresie 2000 mV – dgt=1 mV, a jeśli może wyświetlać 5 cyfr, to na zakresie 2000 mV – dgt=0,1 mV).
Sposób wykorzystania wzorów producenta pokazuje poniższy przykład.
Wykonano pomiar cyfrowym miernikiem ustawionym na funkcję pomiaru oporności elektrycznej i pracującym na zakresie 2000 Ω. Rozdzielczość przyrządu na tym zakresie wynosi 1 Ω. Z wyświetlacza przyrządu odczytano wynik pomiaru: 1562 Ω. Załóżmy, że w warunkach wykonywania pomiaru wzór na dokładność pomiaru podany przez producenta ma postać
±0.8% of rdg ± 2D. Wobec tego połowa szerokości przedziału granicznego wynosi: 0,8
Δ7 = 100 ∙ 1562 Ω+ 2 ∙ 1 Ω ≈ 14,496 Ω.
Na przedziale granicznym zakładamy prostokątny prawdopodobieństwa, a zatem niepewność standardowa pomiaru oporności 7 wynosi
14,496 Ω
7 =
≈ 8,4 Ω.
√3
2.3. Sumowanie składników niepewności
Jeżeli policzyliśmy już wszystkie składniki niepewności, to musimy je zsumować.
Sumowanie niepewności standardowych wykonujemy sumując kwadraty tych niepewności, a następnie pierwiastkując otrzymaną sumę. Jeśli np. obliczyliśmy metodą A niepewność uwzględniającą rozrzut statystyczny wartości mierzonych oraz metodą B, niepewność wynikającą z dokładności użytego przyrządu i są to jedyne składniki niepewności, to ostatecznie niepewność standardowa pomiaru wyniesie
3
+
.
Pomiary pośrednie
Niech wielkość fizyczna <, mierzona pośrednio, jest powiązana z innymi wielkościami fizycznymi , , … , = związkiem
< = > , , … , = .
Wykonujemy pomiary wielkości
, , … , = znajdujemy estymaty ich wartości ̅ , ̅ ,… , ̅= oraz niepewności standardowe tych estymat
,
, …
= .
Estymatę wartości wielkości < znajdujemy wstawiając do powyższego związku estymaty wartości wielkości , , … , =:
<? = > ̅ , ̅ , … , ̅= .
Niepewność standardową pomiaru, nazywaną złożona niepewnością standardową wyliczamy ze wzoru2:
=
@ < = A
B
,
gdzie B , są tzw. współczynnikami wrażliwości, które są równe
D>
B ≡ D E
.
F̅G,F̅H,…,F̅I
Przypadki szczególne
a)
< = > , , … , = = J
+ J
+ JK K + ⋯ =
J .
Wówczas B = J , a zatem
=
< = A
J
,
b)
< = > , , … ,
NI
= = M ∙ NG ∙ NH ∙ … ∙ = = M O NP.
Wówczas B = < NP, a zatem
FP
< = |<| ∙ RS
T + RS
T + ⋯ + RS
=
=
T .
=
2 Zakładamy, że wszystkie wielkości , , … , = są niezależne (nieskorelowane).
4
W szczególnych przypadkach, zwłaszcza wtedy, gdy od wyniku pomiaru zależy zdrowie lub bezpieczeństwo ludzi, lub koszty popełnienia błędu są duże z innych powodów, konieczne jest podawanie niepewności określającej przedział obejmujący znaczną (większą niż w przypadku niepewności standardowej) część uzyskiwanych w wyniku pomiaru wartości. Taką niepewność nazywamy niepewnością rozszerzoną i oznaczamy dużą literą U. Niepewność rozszerzoną liczymy mnożąc niepewność standardową przez współczynnik rozszerzenia !: U
= ! ∙
.
Współczynnik rozszerzenia zawiera się zwykle w granicach od 2 do 3. Najczęściej przyjmuje się ! = 2.
W przypadku, gdy rozkład naszej zmiennej losowej jest rozkładem Gaussa, niepewność rozszerzona ze współczynnik rozszerzenia równym 2 określa przedział, w który obejmuje ok. 95% wszystkich wyników pomiarów.
Zaokrąglanie wyników pomiaru
Zaokrąglanie wyniku pomiaru zaczynamy od zaokrąglenia niepewności pomiaru. Niepewność pomiaru zaokrąglamy zawsze do drugiej cyfry znaczącej, czyli drugiej cyfry (licząc od lewej strony) różnej od zera. Następnie zaokrąglamy estymatę wartości wielkości mierzonej. Zaokrąglamy ją do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrągliliśmy niepewność.
UWAGA: Jeżeli po zaokrągleniu niepewności, jej drugą cyfrą znaczącą jest zero, to należy ją zapisać.
Podobnie jest z zaokrągleniem wartości mierzonej. Jeśli jej ostatnią cyfrą (lub ostatnimi cyframi) jest zero, to należy ją (należy je) zapisać.
Zapis wyników pomiaru
Zapisując wynik pomiaru musimy podać zarówno estymatę wartości wielkości mierzonej, jak i niepewność pomiaru. Obowiązkowo musimy podać jednostki, w jakich podajemy obie wartości.
Wynik pomiaru nie musi być podawany w jednostkach podstawowych układu SI. Jeśli czytelniejszy będzie zapis w jednostkach wtórnych np. w g/cm3 zamiast w kg/m3 albo w μm zamiast w m, to powinniśmy użyć jednostek wtórnych.
Jeśli podawaną miarą niepewności pomiaru jest niepewność standardowa, to możemy podać wynik pomiaru w postaci:
V = 9,88 m⁄s , V = 0,35 m⁄s
lub w tzw. postaci skróconej
V = 9,88 35 m⁄s .
Cyfry zapisane w nawiasie, w skróconej postaci zapisu, są dwiema cyframi niepewności. Pozycje dziesiętne tych cyfr odpowiadają pozycjom dziesiętnym ostatnich cyfr wartości wielkości mierzonej podanej przed nawiasem. W nawiasie nie umieszczamy przecinka. Jeśli np. mamy wynik: Z = 533,8 m, Z = 1,2 m,
to zapis skrócony będzie miał postać:
533,8 12 m.
UWAGA: W zapisie skróconym w nawiasie znajdują się zawsze dwie cyfry, przy czym pierwsza z nich nie może być zerem (jest to konsekwencja reguły zaokrąglania niepewności).
Jeśli podawaną miarą niepewności pomiaru jest niepewność rozszerzona, to możemy podać wynik pomiaru w postaci:
5
V = 9,88 m⁄s , U V = 0,70 m⁄s , ! = 2
lub w tzw. postaci
V = 9,88 ± 0,70 m⁄s , ! = 2.
UWAGI:
1) Zapis skrócony z zapisem dwóch cyfr niepewności w nawiasach stosujemy tylko dla niepewności standardowej.
2) Zapis z użyciem symbolu ± stosujemy tylko dla niepewności rozszerzonej.
3) Zgodnie z Rozporządzeniem Rady Ministrów z dnia 30 listopada 2006 r. w sprawie legalnych jednostek miar:
a. przy zapisywaniu wartości wielkości należy zostawić odstęp między wartością liczbową a oznaczeniem jednostki miary. Wyjątkiem są oznaczenia jednostki miary kąta: stopnia, minuty i sekundy.
b. nazwę jednostki miary pisze się małą literą, jeżeli ogólne reguły pisowni polskiej nie stanowią inaczej. Np. gram, metr, sekunda, niuton, tesla, amper, ale w skrótach g, m, s, N, T, A.
c. w druku jednostki piszemy czcionką prostą.
d. nazwy jednostek miar odmienia się zgodnie z zasadami deklinacji polskiej, np.
100 gramów, a nie 100 gram.
Oprócz niepewności standardowej lub rozszerzonej dobrze jest podać również bezwymiarową miarę niepewności, np. standardową niepewność względną procentową wynoszącą:
∙ 100.
Przykłady zaokrągleń i zapisów wyniku
Wartość
Niepewność pomiaru
zmierzona
Wartość zmierzona
Zapis wyniku w wersji
przed
przed
po zaokrągleniu
skróconej
zaokrągleniem
po zaokrągleniu
zaokrągleniem
7,34553 V
0,02876 V
0,029 V
7,346 V
U = 7,346 29 V
1356,033 mT
18,761 mT
19 mT
1356 mT
] = 1356 19 mT
1000,023 kg/m3
0,9952 kg/m3
1,0 kg/m3
1000,0 kg/m3
_ = 1000,0 10 kg/mK
0,0880134 mm
0,0035872 mm
0,0036 mm
0,0880 mm
b = 0,0880 36 mm
342753,22 Pa
1388,201 Pa
14 hPa
3428 hPa
c = 3428 14 hPa
34,999 Hz
0,22345 Hz
0,22 Hz
35,00 Hz
> = 35,00 22 Hz
6