Laboratorium Podstaw Elektroniki

Wiaczesław Szamow

Ćwiczenie E3

BADANIE REZONANSU W OBWODZIE RLC

opr. tech. Krystyna Ługowska

Mirosław Maś

Uniwersytet Przyrodniczo - Humanistyczny

Siedlce 2011

1. Wstęp

Istnieje wiele układów fizycznych, które posiadają tzw. stan równowagi trwałej. Układ

wytrącony ze stanu równowagi trwałej wykonuje drgania, których częstotliwość fo zależy od konstrukcji tego układu. Takie układy nazywa się oscylatorami a ich drgania oscylacjami.

Wskutek tłumienia (i związanych z tym strat energetycznych) drgania zanikają. Układ można zmusić do drgań stosując zewnętrzne wymuszenie, ale wówczas układ drga z częstotliwością

f równą częstotliwości siły wymuszającej. Jeżeli częstotliwość f odbiega od częstotliwości fo drgań własnych układu, to amplituda drgań układu jest niewielka. Oczywiście amplituda drgań jest największa, gdy częstotliwość f zmian siły wymuszającej pokrywa się z częstotliwością własną układu tj. gdy f = fo. Zjawisko to nazywa się rezonansem a częstotliwość, przy której ono zachodzi nazywa się częstotliwością rezonansową. W

ćwiczeniu bada się zjawisko rezonansu zachodzącego w obwodzie RLC pod wpływem

harmonicznie zmiennego napięcia wymuszającego. W skład zestawu pomiarowego wchodzą:

1. generator funkcyjny SFG-2110

2. miernik uniwersalny MERATRONIK V 640

3. obwód RLC w obudowie

4. 2 przewody koncentryczne z wtykami BNC

Przed wykonaniem ćwiczenia sprawdź czy zestaw pomiarowy jest kompletny. Do ćwiczenia

należy przygotować następujące zagadnienia teoretyczne:

• liczby zespolone

• oporność elektryczna, prawo Ohma

• kondensator, pojemność elektryczna

• cewka, indukcyjność cewki

• napięcie harmoniczne i jego postać wskazowa

• impedancja i zawada

• zjawisko rezonansu

• dobroć obwodu

3

2. Postać wskazowa napięcia harmonicznego

Drgania w obwodzie elektrycznym polegają na okresowych zmianach napięcia i prądu

płynącego w obwodzie. Najprostszym napięciem okresowym jest napięcie harmonicznie

zmienne w czasie. Zmienia się ono w czasie jak funkcja

U ( t) = U cos

m

(ω t +ϕ)

(1)

gdzie: Um - amplituda napięcia

ω - częstość kołowa (tzw. pulsacja)

φ - kąt przesunięcia fazowego

Niech T oznacza okres powtarzania się tego napięcia. Odwrotność okresu f = 1/T nazywa się częstotliwością napięcia. W układzie SI jednostką częstotliwości jest hertz: Hz = 1/s.

Przykładowo, częstotliwość f =1kHz posiada napięcie, którego zmiany powtarzają się 1000

razy na sekundę. Ponieważ funkcja cos ma okres 2π radianów, to okres T, pulsacja ω i częstotliwość f spełniają związki

π

2

ωT = 2π , a stąd ω =

= 2 f

π

T

Przebieg napięcia harmonicznego ilustruje Rys. 1

Rys. 1

Na osi czasu napięcie (1) jest przesunięte w stosunku do funkcji cos ωt o odcinek czasu (φ/2π)T.

Gdy zasilamy napięciem harmonicznym obwód elektryczny złożony z elementów

liniowych, to wszystkie napięcia i prądy występujące w takim obwodzie są również

harmonicznie zmienne w czasie. Mają one tę samą pulsację ω , lecz mogą być przesunięte w fazie. Amplitudy i kąty przesunięć fazowych napięć i prądów harmonicznych najwygodniej

jest obliczać za pomocą liczb zespolonych. Stosując postać wykładniczą liczb zespolonych, napięcie harmoniczne da się wyrazić jako część rzeczywistą następującej funkcji zespolonej: j (ω t +ϕ )

jϕ

jω t

U t

( ) = Re U e

= Re U e e

m

m

4

Liczbę zespoloną

)

jϕ

U = U e

m

(2)

nazywa się wskazem lub amplitudą zespoloną napięcia harmonicznego. Jak widać, wskaz (2) zawiera jednocześnie informację o amplitudzie Um i kącie przesunięcia fazowego φ

napięcia (1). Geometrycznie, wskaz interpretujemy jako wektor płaszczyznowy (patrz Rys. 2) o współrzędnych Umcosφ i Umsinφ.

Rys. 2

)

ω

Całemu napięciu zespolonemu

j t

Ue

odpowiada wektor o długości Um , który obraca się

wokół początku układu współrzędnych z prędkością kątową ω. Przy wyznaczaniu wskazów napięciowych i prądowych czynnik j t

e ω jest na końcu obliczeń pomijany.

3. Opornik, kondensator i cewka

Najprostszymi elementami elektronicznymi są opornik, kondensator i cewka. W teorii

zakłada się, że są to elementy liniowe i że ich parametry nie zależą od wielkości

przykładanych napięć i prądów. Na schematach opornik, kondensator i cewkę oznacza się

odpowiednio symbolami:

Idealny opornik spełnia prawo Ohma

1

I =

U

R

5

które twierdzi, że natężenie prądu przepływającego przez opornik jest proporcjonalne do napięcia przyłożonego do opornika. Współczynnik proporcjonalności G = 1/R nazywamy przewodnością, a wielkość R opornością opornika. Oporność w układzie SI mierzy się w omach: Ω = V / A. Zależność prądu od napięcia dla oporników rzeczywistych jest liniowa tylko dla dostatecznie małych napięć (duże napięcia mogą opornik nawet uszkodzić). W

zapisie wskazowym prawo Ohma ma postać

)

)

U

I =

(3)

R

Jak widać, opornik idealny nie wprowadza przesunięcia fazowego pomiędzy prądem i

napięciem, bo jego opór R wyraża się liczbą czysto rzeczywistą. Prąd płynący przez opornik wykonuje pracę kosztem energii źródła zasilającego. Praca ta zamienia się na ciepło

rozpraszane w oporniku. Zatem opornik jest elementem stratnym.

Kondensator, w najprostszym przypadku, to układ dwóch przewodników pomiędzy

którymi umieszcza się najczęściej dielektryk. Przewodniki te nazywają się okładkami

kondensatora. Kondensator posiada zdolność gromadzenia ładunku i energii elektrycznej.

Przy tym ładunek q zgromadzony na okładkach jest proporcjonalny do napięcia U na kondensatorze:

q = CU

Stałą proporcjonalności C nazywa się pojemnością elektryczną kondensatora. Jednostką pojemności w układzie SI jest farad: F = A ⋅ s / V = Ω-1 ⋅ s. W teorii zakłada się, że pojemność idealnego kondensatora nie zależy od napięcia, a jedynie od konstrukcji samego

kondensatora. Różniczkując jego ładunek q względem czasu otrzymujemy natężenie prądu płynącego przez kondensator

dU

i = C

dt

Ponieważ prąd jest tu proporcjonalny do szybkości zmian napięcia, to kondensator dobrze

przewodzi prądy szybkozmienne, a źle prądy wolnozmienne. Różniczkując zamiast U

)

napięcie zespolone

j t

e

U ω , otrzymujemy związek jaki spełniają wskazy napięciowy i prądowy

dla kondensatora

)

)

I = jω CU

(4)

Wielkość 1/ jω C możemy traktować jako „urojoną oporność” kondensatora. Jej moduł

1

X =

c

ω

C

6

nazywa się reaktancją kondensatora. Jak widać „opór” kondensatora maleje ze wzrostem częstotliwości przykładanego napięcia. Mnożenie przez jedynkę urojoną j oznacza, że zmiany prądu wyprzedzają w fazie o kąt π/2 zmiany napięcia.

Cewkę wykonuje się np. nawijając miedziany drut na rdzeń ferrytowy. Taki element

ma, między innymi, zdolność magazynowania energii magnetycznej. Jeżeli przez cewkę

płynie prąd zmienny, to wewnątrz niej powstaje zmienne pole magnetyczne. Zmienne pole

magnetyczne, zgodnie z prawem Faraday’a, indukuje w zwojach cewki napięcie elektryczne.

Przy tym dla idealnej cewki

di

U = L

dt

Stałą proporcjonalności L nazywa się indukcyjnością własną cewki. W układzie SI indukcyjność mierzymy w henrach: H = V⋅ s/A =Ω ⋅ s. Indukcyjność cewki idealnej nie ω

zależy od natężenia prądu, a jedynie od jej konstrukcji. Różniczkując prąd zespolony

j t

Ie

ˆ

otrzymujemy wskazową postać „prawa Ohma” dla cewki

)

)

U = jω LI

(5)

Wielkość jωL można traktować jak „opór urojony” cewki dla napięć harmonicznych. Jego moduł

X = ω L

L

nazywa się reaktancją cewki. Jak widać „opór” cewki rośnie z częstotliwością, a zmiany

napięcia na cewce wyprzedzają w fazie o kąt π/2 zmiany prądu.

Zarówno idealny kondensator jak i idealna cewka są, w przeciwieństwie do opornika,

elementami bezstratnymi. Oznacza to, że pobraną podczas zasilania energię te elementy

oddają w całości podczas rozładowania. W kondensatorach i cewkach rzeczywistych

występują straty energetyczne związane chociażby z opornością ich doprowadzeń.

4. Drgania wymuszone w obwodzie RLC

Gdy dołączymy cewkę do naładowanego kondensatora, to zacznie on rozładowywać

się przez cewkę. Energia elektryczna zmagazynowana w kondensatorze zamienia się w

energię magnetyczną cewki. Z kolei tak naładowana cewka rozładowuje się przez

kondensator i jej energia magnetyczna zamienia się w energię elektryczną kondensatora, lecz teraz będzie on przeciwnie spolaryzowany. Następnie kondensator znów rozładowuje się

przez cewkę a cewka przez kondensator, na którym napięcie powraca do polaryzacji

wyjściowej. Proces ten powtarza się periodycznie. Można pokazać, że napięcie elektryczne w takim obwodzie zmienia się harmonicznie w czasie z częstotliwością

1

f =

o

π

(6)

2

LC

7

gdzie C i L oznaczają pojemność kondensatora i indukcyjność cewki. Częstotliwość fo nazywa się częstotliwością własną obwodu LC.

W obwodzie RLC (tj. złożonym z opornika, cewki i kondensatora) drgania napięcia będą zanikały z uwagi na straty energetyczne na oporności R obwodu. Aby uzupełnić straty energetyczne i otrzymać drgania o stałej amplitudzie, obwód RLC zasila się źródłem napięcia harmonicznego. W ogólności częstotliwość f tego napięcia może być różna od częstotliwości własnej fo obwodu. Jednak po upływie pewnego czasu napięcie zewnętrzne wymusi w obwodzie drgania harmoniczne o częstotliwości równej częstotliwości napięcia

zasilającego. W zapisie wskazowym obwód RLC z wymuszeniem harmonicznym ilustruje Rys. 3

Rys. 3

gdzie kondensator i cewkę reprezentują „opory urojone” 1/jωC i jωL , a U0 jest amplitudą

napięcia zasilającego. Traktując ten obwód jako dzielnik napięcia, prosto dostajemy wskaz

)

U R odpowiadający napięciu na oporniku R.

)

0

R =

R

U

0 =

U

U

1

 f

f 

R + j L

ω +

1 + jQ

o



−



j C

ω

 f

f

o



Ostatnią równość otrzymuje się wykorzystując wzór (6) , wzór ω = 2πf i wprowadzając bezwymiarową wielkość

1

L

Q =

(7)

R

C

zwaną dobrocią obwodu.

)

iθ

Wskaz U

= Ae

R

jest liczbą zespoloną, której moduł A i argument Θ są

odpowiednio amplitudą i kątem przesunięcia fazowego napięcia na oporniku R. Obliczając te wielkości dla otrzymanego wyżej wyrażenia dostajemy

8

=

U

A

o

 f



2

f



o

f

f 

t Θ

g

= Q −

2

,



(8)

0

1 + Q 

−



 f

f o 

 f

f 

0

5. Krzywa rezonansowa i dobroć obwodu

Zgodnie z (8), jeżeli częstotliwość f napięcia zasilającego znacznie odbiega od częstotliwości własnej fo obwodu, to drgania w obwodzie mają niewielką amplitudę. Jeżeli częstotliwość f zbliża się do częstotliwości fo, to drgania wzrastają. Dla f = fo amplituda drgań jest maksymalna i w obwodzie RLC zachodzi zjawisko rezonansu. Częstotliwość fo, przy której drgania są maksymalne nazywamy częstotliwością rezonansową. Przy rezonansie

kąt przesunięcia fazowego zeruje się: Θ = 0 i drgania w obwodzie mają fazę zgodną z fazą napięcia zasilającego. Wykres amplitudy drgań w funkcji częstotliwości nazywa się krzywą

rezonansową, a jej orientacyjny przebieg ilustruje Rys. 4

Rys. 4

Z elektronicznego punktu widzenia, obwód RLC jest filtrem środkowo-

przepustowym o 3dB paśmie przenoszenia ∆f jak na Rys. 4 . Im pasmo to jest węższe, tym bardziej selektywny jest obwód RLC, czyli tym bardziej taki obwód tłumi częstotliwości różne od częstotliwości rezonansowej fo. Miarą selektywności obwodu jest stosunek f

Q

o

' =

(9)

f

∆

9

3dB pasmo przenoszenia obwodu dostajemy kładąc we wzorze (8)

 f





f 0 

Q

−

= 1

±





 f

f

0



Jeżeli pasmo przenoszenia jest wąskie tj. gdy ∆f << fo , to krzywa rezonansowa w otoczeniu częstotliwości f0 jest symetryczna i można położyć

f

∆

f = f ±

0

2

gdzie znaki ± bierzemy dla górnej i dolnej częstotliwości granicznej pasma przenoszenia.

Stąd dla tych częstotliwości mamy

f

f

∆

f

1

f

∆

0

= 1±

i

=

≈ 1m

f

2 f

f

f

∆

2 f

0

0

0

1 ± 2 f 0

Przybliżenie jest uzasadnione, bo z założenia stosunek ∆f/fo <<1. Stąd dla 3dB pasma przenoszenia dostajemy

∆ f

Q

≈ 1

f 0

Oszacowanie to jest tym lepsze im większa jest dobroć układu. A zatem dobroć Q

zdefiniowana wzorem (7) i selektywność Q’ zdefiniowana wzorem (9) pokrywają się dla obwodów wysokoselektywnych ( w praktyce dla Q > 10). Generalnie, dobroć oscylatorów elektrycznych jest mniejsza od dobroci oscylatorów mechanicznych. Dlatego np.

częstotliwość generatorów wzorcowych stabilizuje się za pomocą tzw. kwarców, czyli

odpowiednio oszlifowanych kryształów kwarcu. Dobroć Q obwodu rezonansowego z

kwarcem wielokrotnie przewyższa dobroć obwodów RLC. Jednak największą dobroć mają oscylatory atomowe i cząsteczkowe. Zostało to wykorzystane, między innymi, przy

konstrukcji tzw. zegara amoniakalnego i zegara cezowego.

Wysoka dobroć obwodu oznacza fizycznie, że obwód ma małe straty energetyczne.

Zgodnie z teorią, drgania obwodu RLC po odłączeniu napięcia zasilającego zanikają wykładniczo w czasie (patrz Rys. 5).

10

Rys. 5

Dobroć obwodu jest tym większa im mniejsze są straty energetyczne. Nietrudno pokazać, że

wyrażenie

energia c

alkowit

a w o

bwodzie

Q = 2π

energia tracona w o

kresie

pokrywa się z definicją (7). Dla napięć oscylujących naturalną jednostką czasu jest okres T

oscylacji. Niech N oznacza ilość oscylacji, po których amplituda drgań w obwodzie zmniejsza się np. o 3dB, czyli

− R NT

2 L

1

e

=

2

Dla małostratnego obwodu RLC można przyjąć, że okres drgań tłumionych wynosi

T = π

2

LC , stąd:

R

R

N

NT = N

π

2

LC = π

2 L

2 L

Q

Logarytmując poprzednią równość dostajemy w przybliżeniu

2

Q = π N ≈ 9 N

(10)

ln 2

Jak widać, dobroć układu jest proporcjonalna do ilości oscylacji, które układ może wykonać bez zasilania zewnętrznego. Przykładowo, dla układów o dobroci Q ≈ 10 amplituda drgań maleje o 3dB po każdej oscylacji. Zatem obwód o takiej dobroci jest „gorszy” niż zwykła

huśtawka.

11

6. Przebieg pomiarów

Stosowany w ćwiczeniu obwód RLC składa się z wymiennego induktora o

indukcyjności 1mH, 5mH lub 20mH. kondensatora nastawnego o regulowanej pojemności

70 ÷ 1470pF i trzech oporności 222Ω, 444Ω, 672Ω, które można wybierać przełącznikiem P.

Całość umieszczono w obudowie, gdzie dwa złącza BNC służą odpowiednio do podłączenia generatora sinusoidy i woltomierza.

a. Połącz układ pomiarowy jak na Rys. 6.

Rys. 6

Przerywanym prostokątem oznaczono obwód RLC w obudowie. Woltomierz V służy do mierzenia napięcia UR na wybranej oporności. Oporności 222Ω, 444Ω, 672Ω wybiera się ustawiając przełącznik P w pozycji 1, 2 i 3 odpowiednio.

UWAGA: Generator do sieci włącza prowadzący zajęcia

b. ustaw oporność R = 222Ω, pojemność C = 1470pF i wyznacz częstotliwość rezonansową fo obwodu RLC.

c. następnie ustaw amplitudę napięcia generatora tak, aby woltomierz przy rezonansie wskazał UR = 5V. Zmierz napięcie UR zmieniając częstotliwość generatora następująco: od 10kHz do 50kHz co 5kHz;

od 50kHz do 70kHz co 2kHz;

od 70kHz do 110kHz co 5kHz,

uzyskane wyniki zapisz w Tab. 1

12

d. powtórz pomiary z punktów b i c dla oporności 444Ω i 672Ω. Wyniki umieść w Tab. 1

Napięcie UR[V] dla oporu

f [kHz]

222Ω

444Ω

672Ω

fo

10

15

…

Tab. 1

e. zmierz częstotliwość rezonansową f0 dla R=222 Ω zmieniając pojemność C w przedziale 70 ÷ 1470pF, ustawiając pokrętło odpowiednio w pozycji 0 ÷ 10. Wyniki umieść

w Tab. 2

C[pF]

70

95

140 190 270 360 480 650 860 1110 1470

cz. dośw. fo

[kHz]

cz. teor. fo

[kHz]

Tab. 2

7. Opracowanie wyników

1. oblicz częstotliwości rezonansowe f0 dla L = 5mH i pojemności jak w Tab. 2. Oszacuj błąd w przypadku pojemności 1470pF.

2. na jednym wykresie różnymi kolorami narysuj trzy krzywe rezonansowe dla R = 222Ω,

R =444Ω i R = 672Ω. Wyznacz 3dB pasma przenoszenia i selektywności Q’1, Q’2, Q’3

dla tych oporności.

3. na jednym wykresie narysuj zależność teoretyczną i doświadczalną częstotliwości

rezonansowej od pojemności. Porównaj obie krzywe i wyciągnij wnioski.

4. oblicz dobrocie Q1, Q2, Q3 ze wzoru i oszacuj błędy. Porównaj selektywności z p.3 i dobrocie z p.4 w formie tabeli.

5. wyciągnij wnioski z pomiarów i obliczeń. Elementy obwodu RLC zostały połączone w innej kolejności niż na Rys. 6 – narysuj faktyczny schemat tego obwodu.

Literatura

[1] M. Rusek, J. Pasierbiński, Elementy i układy elektroniczne w pytaniach i odpowiedziach, WNT, Warszawa 2006

[2] D.Halliday, R.Resnick, J.Walker, Kurs fizyki, PWN, tom 3, Warszawa 2003.

[3] Wprowadzenie do laboratorium Podstaw Elektroniki

13