Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych.
JeŜeli f ( n) = a dla n = 1, 2, ..., to ciąg zapisujemy symbolem {a n
n}, przy
czym liczbę an nazywamy n-tym wyrazem tego ciągu.
JeŜeli wartości te są liczbami rzeczywistymi, to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.
1
Metody określenia ciągów liczbowych
1. podanie kilku wyrazów ciągu
2. podanie wzoru na n-ty wyraz
3. wzór rekurencyjny.
2
Ciąg liczbowy {an} jest rosnący (niemalejący) wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ a
a
∀ a
a
n ≤
n <
n 1
+
∈
(
n 1
+ ).
n N
∈
n N
Ciąg liczbowy {an} jest malejący (nierosnący) wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ a
a
∀ a
a
n ≥
n >
n+1
∈
(
n 1
+ ).
n N
∈
n N
3
Ciąg liczbowy jest ograniczony z dołu, gdy zbiór jego wartości jest ograniczony z dołu, tzn. ∃ ∀ a ≥ M
n
M ∈
.
R n∈ N
Ciąg liczbowy jest ograniczony z góry, gdy zbiór jego wartości jest ograniczony z góry, tzn. ∃ ∀ a ≤ M
n
M ∈
.
R n∈ N
Ciąg jest ograniczony, gdy jest ograniczony z dołu i z góry, ∃ ∀ a ≤ M
n
M ∈
.
R n∈ N
4
lim
=
Liczbę g ∈ R nazywamy granicą ciągu {a a
n} i piszemy
g
n
(lub
n→∞
a
p
rzy
∀ ∃ ∀ an − g <
n → g
n → ∞ ), gdy
ε
ε >
.
0 δ n >δ
− ε < an − g < ε
g − ε < an < g + ε
lim
=
Ciąg {a
g ∈
a
n} nazywamy zbieŜnym, gdy istnieje
R takie, Ŝe
g
n
.
n→∞
czyli:
Ciąg mający granicę nazywamy zbieŜnym, ciąg niemający granicy nazywamy rozbieŜnym.
5
JeŜeli istnieją granice:
lim a = a
lim b =
n
i
b
n
,
n→∞
n→∞
to istnieją równieŜ granice:
1. lim( a ± c) = lim( a ) ± c = a ± c n
n
dla stałej c ∈ R ;
n→∞
n→∞
2. lim( c ⋅ a ) = c ⋅ a
n
dla stałej c ∈ R ;
n→∞
3. lim ( a ± b ) = a ± b n
n
;
n→∞
4. lim ( a ⋅ b ) = a ⋅ b n
n
;
n→∞
a
a
lim n = (
b ≠ 0)
5. n→∞ b
b
.
n
6
Twierdzenie (o trzech ciągach)
lim
= lim =
lim
=
JeŜeli
a
c
g
∃ ∀
≤ ≤
b
n
n
oraz
a
b
c
n
.
n→∞
n→∞
n
n
n
k∈
, to
g
N n≥ k
n→∞
Przykład
Obliczy
n
ć granicę ciągu
n
n
a = 2 + 3
n
.
n
Korzystając z tego, Ŝe lim a = 1, gdy a > 1, oraz z nierówności n→∞
n
n
n
n
n
n
n
n
3 < 2 + 3 < 3 + 3 , prawdziwej dla kaŜdego n, otrzymujemy n
n
n
n
n
3 < 2 + 3 < 3 2 .
PoniewaŜ granicą ciągów {3}, { n n
3 2 } jest liczba 3, więc ciąg {an} ma
równieŜ granicę 3.
7
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, w którym róŜnica między dowolnym wyrazem ciągu (oprócz wyrazu pierwszego), a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała. RóŜnicę tę nazywamy róŜnicą ciągu arytmetycznego.
Niech {an} będzie ciągiem arytmetycznym o róŜnicy d. Prawdziwe są zdania:
∀ a = a + ( n − )
1 d
n
1
n∈
,
N
1
∀ a
a
a
n =
( n +
)
−
n +
∈
,
n N \ }
1
{
2
1
1
∀
1
S = a 1 + a 2 + ... + a = ( a 1 + a ) ⋅ n n
n
n
.
n∈ N
2
Symbol Sn oznacza n-tą sumę częściową ciągu.
8
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, w którym stosunek dowolnego wyrazu (oprócz pierwszego) do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stały. Wartość tego stosunku nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Niech {an} będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Wtedy n 1
∀ a
a q
n =
⋅ − g
, dzie a
≠ 0
1
1
∈
,
n N
2
∀ a
a
a
n =
n − ⋅
g
, dzie a
+
≠ 0
1
1
1
∈
n
,
n N \ }
1
{
1− n
∀ Sn = a + a +
q
... + an = a ⋅
g
, dzie q
≠ 1∧ q ≠ 0
1
2
1
∈
.
n N
1− q
Symbol Sn oznacza n-tą sumę częściową ciągu geometrycznego. Ciąg
{ Sn} ma wyrazy S1=a1, S2=a1+a2, ..., Sn=a1+...+an, ... i nazywamy go ciągiem sum częściowych.
9
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego JeŜeli ciąg sum częściowych jest zbieŜny, to jego granicę nazywamy sumą nieskończonego ciągu geometrycznego i oznaczamy symbolem S,
=
czyli S
lim Sn .
n→∞
Twierdzenie
JeŜeli |q|<1, to ciąg { Sn} jest zbieŜny oraz a
S =
1
1 − q .
10
Ciąg {Sn} sum częściowych ciągu {an} nazywamy szeregiem.
Szereg liczbowy {Sn} nazywamy zbieŜnym, gdy ciąg {S n} jego sum częściowych S = a 1 + a + ...
2
+ a
n
n jest zbieŜny.
n
∞
S = lim S
a
a
n = lim ∑
k = ∑
W tym przypadku granicę
n→∞
n→∞
k nazywamy sumą
k =1
k =1
szeregu.
Szereg, który nie jest zbieŜny, nazywamy rozbieŜnym.
11
Oprocentowanie proste i składane
Oprocentowanie proste polega na tym, Ŝe po kaŜdym zakończonym okresie oszczędzania odsetki są wypłacane. Kolejne odsetki obliczane są znowu tylko od kwoty kapitału początkowego.
JeŜeli przyjmiemy oznaczenia: K0 – kapitał początkowy, r – stopa procentowa, n – liczba okresów oszczędzania, to kapitał w następnym okresie będzie równy:
K = K + K r = K 1
( + r)
1
0
0
0
12
Kapitał w okresach następnych (przy załoŜeniu, Ŝe odsetki z wcześniejszych okresów nie zostały wydane, a jedynie przelane na rachunek bieŜący, nieoprocentowany) będzie wynosił:
K = K + K r + K r = K 1
( + 2 r)
2
0
0
0
0
,
......................................................., Kn = K 1
( + nr) , g
dzi
e n ∈ N ∪ }
0
{
0
.
Oznacza to, Ŝe kapitał rośnie z roku na rok w tempie arytmetycznym o róŜnicy d = K0r.
Przykład
Oblicz wartość posiadanych pieniędzy, jeŜeli załoŜyłeś roczną, odnawialną lokatę 1000 zł, roczna stopa procentowa wynosi 5 %, czas oszczędzania wynosi 3 lata, a odsetki po kaŜdym roku przelewane są na nieoprocentowany rachunek bieŜący.
K = K 1
( + 3 r) = 1000 ⋅ 1
( + 3⋅ ,
0 0 )
5 = 1150
3
0
.
13
Oprocentowanie składane polega na tym, Ŝe po kaŜdym zakończonym okresie oszczędzania odsetki dopisywane są do kapitału, więc odsetki w następnym okresie obliczane są od większej kwoty:
K = K + K r = K 1
( + r)
1
0
0
0
2
K = K 1
( + r) = K 1
( + r) ⋅ 1
( + r) = K 1
( + r)
2
1
0
0
,
......................................................., W takim sposobie oprocentowania kwoty K0, K1, ..., Kn tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q = 1 + r, czyli: n
K = K 1
( + r)
n
0
Przykład
Oblicz wartość posiadanych pieniędzy, jeŜeli załoŜyłeś roczną, odnawialną lokatę 1000 zł, roczna stopa procentowa wynosi 5 %, czas oszczędzania wynosi 3 lata, a odsetki po kaŜdym roku dopisywane są do kwoty kapitału zdeponowanego na lokacie.
K = K 1
( + r)3 = 1000 ⋅ 1
( + ,
0 0 )
5 3 = 1157,62
3
0
.
14
Stopa procentowa podawana jest generalnie jako roczna nominalna stopa procentowa, dlatego aby obliczyć stopę procentową dla danego okresu naleŜy podzielić roczną nominalną stopę procentową przez liczbę okresów kapitalizacji w ciągu roku
r n⋅ m
K
= K 1
(
)
n⋅
0
+
m
m
.
Przykład
Oblicz ile otrzymasz pieniędzy po roku oszczędzania, jeŜeli załoŜyłeś lokatę 10000 zł, o oprocentowaniu rocznym 8%, kapitalizowaną kwartalnie.
,
0 08
K ⋅ = 10000 1
( +
)1⋅4 = 10000 ⋅ ,
1 0824321 = 10824 3
, 2
1 4
4
15
W przypadku granicznym, gdy liczba okresów kapitalizacji zmierza do nieskończoności ( m → ∞ ), otrzymujemy model kapitalizacji ciągłej.
Po t latach wartość lokaty K0 będzie wynosić: r t
⋅
m
r
r
1
t⋅ m
r t
K = lim K 1
(
)
lim 1
0
+
= K
0 ⋅
+
= K 0 ⋅ e ⋅
t
m→∞
m
m
,
r
gdzie e jest podstawą logarytmu naturalnego, korzystając ze wzoru n
1
lim 1 +
= e
n →∞
n
.
16
Udzielony kredyt w wysokości L naleŜy spłacić płatnościami P1, P2, ..., Pn na końcu okresów (lat, kwartałów, miesięcy). Wartości obecne obu strumieni muszą być sobie równe. JeŜeli stopa procentowa kredytu za jeden okres wynosi r, to
P
P
P
1
2
n
L =
+
+ ...+
2
n
1 + r
1
( + r)
1
( + r) ,
= n
P
L
∑
k
czyli
k
k =1 1
( + r) .
Aby ustalić plan spłaty kredytu naleŜy zdecydować czy stałe mają być raty kapitałowe, czy kwoty płatności.
17
Spłata kredytu w równych kwotach płatności Spłata kredytu w równych kwotach płatności następuje wtedy, gdy suma raty kapitałowej za dany okres i odsetek za ten sam okres jest taka sama w kaŜdym okresie, tzn.
P = Kk +Rk, dla kaŜdego k = 1, 2, ..., n, gdzie n oznacza liczbę okresów płatności, Kk – spłatę kapitału, Rk – odsetki.
JeŜeli kwota kredytu równa jest L, to spłatę kredytu gwarantuje równość
= n
P
L
∑
k
k =1 1
( + r) .
Składniki powyŜszej sumy tworzą ciąg geometryczny o wyrazie P
1
a
q =
1 =
pierwszym
1+ r oraz ilorazie
1+ r .
18
Zgodnie ze wzorem na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego n
1
1−
P
1+ r
L =
⋅
1+ r
− 1
1
,
1+ r
a po przekształceniach
(1+ r) n −1
L = P ⋅
n
r ⋅ 1
( + r) .
Mając daną kwotę kredytu, stopę procentową oraz liczbę płatności, moŜna ustalić wysokość płatności
r ⋅ (1+ r) n
P = L ⋅ 1(+ r) n −1 .
19