Całki oznaczone i niewłaściwe
Całki oznaczone – przykłady:
Przykład 7.1
2
x, x ∈ [ ,
0 ]
1
Obliczyć całkę ∫ f ( x) dx , jeżeli f ( x) =
:
1− x 2 , x ∈ ] ,
1 [
2
0
2
1
2
1
2
3
1
x
∫
2
f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ xdx + ∫ (1− x 2) dx = 1
1
8
1
5
2 x
+ ( x −
) = 2 + 2 − 3 − 1+ 3 = − 6
0
3
0
0
1
0
1
1
Przykład 7.2
1
sin x
x
,
∈ [ ,
0 π ] \ U{ n}
π
n∈ N
Niech f ( x) =
obliczyć całkę ∫ f ( x) dx :
2
e− x ,
x ∈ U{1
0
n }
n∈ N
{
π
π
π
x: f ( x) ≠ sin }
x ma miarę Riemanna 0 ⇒ ∫ f ( x) dx = ∫ sin xdx = − cos x = − cosπ + cos0 = 2
0
0
0
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
Pierwszy typ całek niewłaściwych:
1) funkcja f jest nieciągła w punkcie a (ciągła w ]a,b]) b
b
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx α → +
a
a
α
a ←α b
Jeżeli ta granica istnieje to powiemy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, jeżeli nie istnieje to całka jest rozbieżna.
2) funkcja nieciągła w punkcie b (ciągła w[a,b[) b
β
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx β
→ −
b
a
a
3) funkcja nieciągła w punkcie x ∈ ] a, [
b (ciągła w [ a, b] / { x ) 0}
0
b
x 0
b
α
b
∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx + lim ∫ f ( x) dx α →
x −
0
β→ x +
a
a
x
a
0
0
β
a α x β b
0
Przykład 7.3
2
dx
Obliczyć: ∫
3 x − 1
0
Zauważmy, że x =1 jest punktem nieciągłości funkcji podcałkowej, wobec tego zapisujemy: 0
2
1
2
α
2
α
2
dx
dx
dx
dx
dx
∫
lim
lim
lim
1
lim
1
3
=
3
2
3
3
2
3
1
∫ 3 +
1
∫ 3 =
1
− ∫ 3
+
1
+ ∫ 3
=
2
( x − ) +
2
( x − ) =
x −
x−
x −
x
x
α →
−
1
1
β→
−
1
→ −
1
β→ +
0
0
1
0
0
1
β
α
β
=
3
2
2
3
2
3
3
3
2
3
3
3
lim
α 1
1
lim
1
β 1
0
2
( − ) − (− ) +
2
−
−
α → −
2
2
1
[
] +
(
)
β →1
= − +
=
Wprowadzamy obliczenia pomocnicze:
3 x − 1 = t
dx
3
t
3 2 dt
=
2
2
− 1 =
=
= 3 = 3 = 3 3
1
3
−
+
x
t
∫ 1
∫
∫ tdt
t
x
C
x
t
−
2
2
(
)
3
dx = 3 t dt
Przykład 7.4
1 dx
Obliczyć: ∫
x
−1
Punkt x =0 jest punktem nieciągłości funkcji podcałkowej, zatem:
0
1
0
1
α
1
α
1
dx
dx
dx
dx
dx
∫ = ∫ + ∫ = lim
lim
lim ln
lim ln
lim lnα
ln β
− ∫
+
+ ∫
=
x
+
x
=
−
x
x
x
x
x
−
+
−[
]
α
β
α
β
−
0
0
0
0
1
−
→
→
1
0
−
→
−
→
→
1
1
0
β
β
α
β→ +
0
↓-∞ ↓ ∞
+
Korzystając z definicji Heine’go granicy funkcji, pokażemy, że powyższa granica nie istnieje: Niech:
α = − 1 → −
0
n
n
β = 1 → +0
n
n
(∗)
li [
m ln − 1 −
1
ln
= 0
n
n ]
n→ ∞
α = − 1 → −
0
n
n
1
+
β = 2 → 0
n
n
(∗∗)
lim ln − 1 −
1
ln 2 =
1
lim ln
−
1
2 ln
= lim−
1
ln
= + ∞
n
n
n
n
n
n→ ∞[
] [
]
n→ ∞
n→ ∞
z (∗) i (∗∗) ⇒ że granica nie istnieje - wniosek: całka jest rozbieżna UWAGA:
x ∈]a,b[ - punkt nieciągłości
0
x 0 −ε
b
lim ∫ f ( x)
dx + ∫ f ( x) dx
ε → +
0 a
x 0 +ε
wartość główna całki niewłaściwej
Drugi typ całek niewłaściwych:
1) f∈C[a,+∞[ (przedział całkowania jest nieograniczony)
+∞
A
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx A→+∞
a
a
a A→+∞ +∞
2) f∈C]-∞,b]
b
b
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx B→−∞
−∞
B
Przykład 7.5
Obliczyć całkę:
+∞
B
B
∫
2
2
2
2
2
xe− x = lim ∫ xe− x = lim − 1
1
lim
0
2 e− x
− B
− A
=
− 2
−
=
A→ −∞
A→ −∞
A→ −∞
( e e )
−∞
A
A
↓
↓
B→ +∞
B→ +∞
B→ +∞
0
0
Przykład 7.6
Dana jest funkcja:
,
0
x < 0
x, x ∈[ ,0 ]1
f ( x) =
Określić:
2
∫ f ( x) dx
x , x ]
∈ ,
1 ]
3
9, x ]
∈ ,
3 + ∞ [
I sposób:
Zauważamy, że f jest ciągła w R, zatem istnieje funkcja pierwotna F.
0 + C ,
x
0
< 0
1 2
2 x + C , x
1
∈[ ,
0 ]
1
=
F( x)
1
3
3 x
+ C , x ]
2
∈ ,
1 ]
3
9 + 3
∈ 3 + ∞
x
C , x ] ,
[
Tak dobieramy stałe C, aby funkcja była ciągła i wtedy ∫ f ( x) dx = F( x) + C
II sposób:
x
φ( x) = ∫ f ( t) dt gdzie: x - ustalony punkt 0
x 0
jest różniczkowalna w punktach ciągłości funkcji podcałkowej i φ’(x)=f(x) Niech x =0
0
x
φ( x) = ∫ f ( t) dt
0
1.
x<0
x
0
0
φ( x) = ∫ f ( t) dt = − ∫ f ( t) dt = − ∫ d 0 t = 0 x 0 1
0
x
x
2.
x∈[0,1]
x
x
φ
x
( x) = ∫ f ( t) dt = ∫ tdt = 1 2
1
2
2 t
= 2 x 0 x 1
0
0
0
3.
x∈]1,3]
x
1
x
φ
1
x
( x) = ∫ f ( t) dt = ∫ tdt + ∫ t 2 dt = 1 2
1
3
1
1
3
1
1
1
3
2 t
+ 3 t = 2 + 3 x − 3 = 6 + 3 x 0
0
1
0
1
0 1 x 3
4.
x>3
x
1
3
x
x
φ
x
( x) = ∫ f ( t) dt = ∫ f ( t) dt + ∫ f ( t) dt + ∫ f ( t) dt = 27
1
1
9
9
9
3 + 6 + ∫
dt =
+ 6 + t =
0
0
1
3
3
3
144 2
4 44 3
4
φ ( )
3
= 9 + 1
1
9
27
9
18
6 +
x −
= x + 6 −
123
107
6
zatem :
0 1 3 x
,
0
x < 0
1 2
2 x ,
x ∈ [ ,
0 ]
1
φ ( x) = 1 1 3
stąd : ∫ f ( x) dx = φ( x) + C
6 + 3 x , x
∈ ] ,1 ]
3
9 x − 107
6 ,
x > 3
WNIOSEK 7.1 (całkowanie przez podstawianie dla całek oznaczonych) Z: f∈C[a,b], ϕ:[α,β]→[a,b], ϕ - bijekcja ϕ ∈ C [
1 α ,β]
ϕ α
(
) = a ∧ ϕ (β ) = b
T:
b
β
∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ( t))⋅ϕ'( t) dt a
α
Uzasadnienie:
Jeżeli f pierwotna do F na [a,b], to (Foϕ)(t) – pierwotna do f(ϕ(t))⋅ ϕ’(t)
N − L
∫ f ( x) dx = F b
( ) − F( a)
a
β
N − L
∫ f (ϕ( t))⋅ϕ'( t) dt = F(ϕ(β)) − F(ϕ(α)) = F b ( ) − F( a)
α
Wniosek 7.2 (całkowanie przez części)
Z: f , g ∈ C [
1 a, b]
b
b
b
T: ∫ f '( x) g( x) dx = [ f ( x) g( x)] − ∫ f ( x) g'( x) dx a
a
a
Przykład 7.7
Obliczyć:
ex − 1 = t
ex
ln 2
− 1= t 2
1
1
∫
1
ex − d
1 x =
π
π
ex = t 2 + 1 = 2∫ t t
(
)
2
dt = 2
1
1
∫ 1− 2
= 2 −
= 2 1− 4 = 2 −
t +
( t +1) dt ( t arctgt)
2
0
0
x = ln( t 2 + 1
0
0
)
dx
2 t
= 2 dt
t +1
x
0
ln2
t
0
1
Wykład opracował: Michał Zajączkowski, gr.8