Egzamin pisemny z matematyki Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2011/2012

Cz¸

eść zadaniowa

Zad.Z1. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Wiedz¸ac, że f (x, y, z) = x sin 2y+z2ex −z cos y+5x2+3 jest potencja lem pola wektorowego ~

F wyznaczyć pole ~

F ,

sprawdzić, czy jest ono bezźród lowe oraz obliczyć R ~

F ◦ d~r, gdzie L jest lukiem o parametryzacji x(t) = ln(t + 1), L

y(t) = arcctg t, z(t) = t2 − 1, t ∈ [0, 1] zgodnej z orientacj¸a.

Zad.Z2. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczyć moment statyczny wzgl¸edem p laszczyzny OY Z luku L o parametryzacji x(t) = et, y(t) = e−t,

√

z(t) =

2t, t ∈ [0, ln 2], jeżeli g¸estość ρ(x, y, z) = x + y.

Zad.Z3. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Obliczyć krzywizn¸e i promień krzywizny oraz skr¸ecenie w punkcie t = π cykloidy o równaniu: x(t) = a(t − sin t), y(t) = a(1 − cos t), a > 0

Zad.Z4. [10p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

∞

Dany jest szereg pot¸egowy P (−1)nxn . Wyznaczyć promień zbieżności, przedzia l zbieżności, zbadać zbieżność 3n(n+1)

n=1

(określić jej rodzaj) w prawym krańcu przedzia lu zbieżności. Obliczyć sum¸e szeregu wewn¸atrz przedzia lu zbieżności oraz (o ile to możliwe) również w prawym krańcu.

Zad.Z5. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X typu ci¸ag lego





0

x ≤ 0







F (x) =

sin2 x

0 < x ≤ π .

2









1

x > π2

Obliczyć:

a) P (X ≤ π ),

3

b) wartość oczekiwan¸a EX, c) E(3X − π ).

2