CAŠKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA I

ZORIENTOWANA (dla I roku studiów IIst. MiBM)

opracowanie: Agnieszka Görlich

1. Oblicz pole poraboloidy z = x 2 + y 2 odci¦tej pªaszczyznami z = 1 , z = 4.

2. Oblicz pole pªata S zadanego parametrycznie





 x = u + v

r :  y = u − v ,

 z = u

gdzie u ∈ [0 , 1], v ∈ [0 , 1].

3. Oblicz mas¦ pªata powierzchniowego S : z = 1( x 2 + y 2), z ≤ 2 o g¦sto±ci 2

ρ( x, y, z) = 5.

4. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ niezorientowan¡

∫ ∫

( x + y + z) dS,

S

gdzie S jest powierzchi¡ prostopadªo±cianu x ∈ [0 , 1], y ∈ [0 , 2], z ∈ [0 , 3].

5. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ zorientowan¡ z pola ⃗F = [ x, y 2 , z 3] po zewn¦trznej stronie powierzchni prostopadªo±cianu x ∈ [ − 1 , 1], y ∈ [ − 1 , 1], z ∈ [ − 1 , 1].

6. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ zorientowan¡

∫ ∫

xdydz + ydzdx + zdxdy,

S

gdzie S jest wewn¦trzn¡ stron¡ powierzchni x 2 + y 2 + z 2 = 16, z ≤ 0.

7. Oblicz, korzystaj¡c z twierdzenia Stokesa caªk¦

∫

( y 2 + x 2) dx + ( z 2 + x 2) dy + ( x 2 + y 2) dz.

8. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ zorientowan¡

∫ ∫

xdydz + ydzdx + zdxdy,

S

gdzie S jest wewn¦trzn¡ stron¡ powierzchni x 2 + y 2 + z 2 = 2.

∫ ∫

9. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ zorientowan¡

xdydz + zdxdy, gdzie S

S

jest powierzchni¡ x = cos u, y = sin u, z = v, u ∈ [0 , 2 π], v ∈ [ − 1 , 1].

10. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ zorientowan¡

∫ ∫

x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy,

S

gdzie S jest wewn¦trzn¡ stron¡ powierzchni czworo±ciany V graniczonego pªaszczyznami x = 0, y = 0, x + y + z = 3.

2