TEORIA STEROWANIA
Materiały pomocnicze
Przekształcenie Laplace’a
1. Definicje podstawowe
Przekształcenie Laplace’a przyporządkowuje funkcji f ( t) zmiennej rzeczywistej t funkcję F ( s) zmiennej zespolonej s według wzoru zwanego całką Laplace’a Z
∞
F ( s) =
f ( t) e−st d t
(1)
−∞
Funkcja f ( t) nazywa się oryginałem, a odpowiadająca jej funkcja F ( s) – transformatą. W teorii sterowania używane jest tzw. jednostronne przekształcenie Laplace’a, w którym transforamta związana jest z oryginałem zależnością
Z
∞
F ( s) =
f ( t) e−st d t = L {f ( t) }
(2)
0
Stosując to przekształcenie zakłada się, że f ( t) = 0 dla t < 0.
2. Właściwości przekształcenia
Poniżej zostaną wyszczególnione najważniejsze właściwości przekształcenia Laplace’a.
•
Liniowość przekształcenia Laplace’a
Jeżeli a, b ∈ R i istnieją transformaty funkcji f ( t) i g( t) to: L {af( t) + bg( t) } = a L {f( t) } + b L {g( t) }
(3)
•
Twierdzienie o transformacie pochodnej
L f0( t) = s L {f( t) } − f(0+) (4)
Wzór ogólny ma postać:
L n
o
f ( n)( t) = sn L {f ( t) } − sn− 1 f (0+) − sn− 2 f 0(0+) − . . . − sf ( n− 2)(0+) − f ( n− 1)(0+) (5)
•
Twierdzienie o transformacie całki
Z t
Z
t
L
1
1
f ( τ )d τ
=
L {f( t) } +
f ( τ )d τ
(6)
0
s
s 0
t=0
•
Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej
Jeżeli L {f ( t) } = F ( s) to: L n
o
e−αtf ( t) = F ( s + α)
(7)
•
Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej
L {f( t − τ) } = e−τs L {f( t) }
(8)
•
Twierdzenie o zmianie skali
Jeżeli L {f ( t) } = F ( s) i α > 0 to: L
1
s
{f ( αt) } =
F ( )
(9)
α
α
•
Twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie zmiennej zespolonej
Jeżeli L {f ( t) } = F ( s) to: L
d F ( s)
{tf ( t) } = ( − 1) d s
(10)
L
d nF ( s)
{tnf ( t) } = ( − 1) n d sn
•
Twierdzenie o transformacie funkcji okresowej
Jeżeli dana jest funkcja okresowa f ( t) = f ( t+ T ), gdzie T jest okresem, oraz jej transformata za jeden okres L {fT ( t) } = FT ( s), to: L
F
{
T ( s)
f ( t) } =
(11)
1 − e−sT
c
⃝Krzysztof Piątek kpiatek@agh.edu.pl
1
TEORIA STEROWANIA
Materiały pomocnicze
•
Twierdzienia o wartościach granicznych
Jeżeli istnieje lim f ( t) i L {f ( t) } = F ( s) to: t→∞
lim f ( t) = lim sF ( s)
(12)
t→∞
s→ 0
Jeżeli istnieje lim f ( t) i L {f ( t) } = F ( s) to: t→ 0+
lim f ( t) = lim sF ( s)
(13)
t→ 0+
s→∞
•
Twierdzenie o transformacie splotu (tzw. twierdzenie Borela)
Jeżeli istnieją transformaty funkcji L {f ( t) } = F ( s) i L {g( t) } = G( s), to: L {f( t) ∗ g( t) } = F ( s) G( s) (14)
Gdzie operator ∗ jest operatorem splotu całkowego, zdefiniowanym następująco Z
f ∗ g =
f ( t − τ ) g( τ )d τ
(15)
3. Transformaty Laplace’a najczęściej spotykanych funkcji
oryginał f ( t)
transformata L
założenia
1
δ( t)
1
1
2
11( t)
s
tn− 1
1
3
n 6= 1
( n − 1)!
sn
n!
4
tn
n 6= 1
sn+1
1
5
e−at
a 6= 0
s + a
1
6
te−at
a 6= 0
( s + a)2
tn− 1
1
7
e−at
n 6= 0
( n − 1)!
( s + a) n
1
8
1 − e−at
1
a > 0
a
s( s + a)
1
1
9
eat − 1
a > 0
a
s( s − a)
ω
10
sin( ωt)
ω 6= 0
s 2 + ω 2
s
11
cos( ωt)
ω 6= 0
s 2 + ω 2
ω
12
sinh( ωt)
s 2 − ω 2
s
13
cosh( ωt)
s 2 − ω 2
1
1
14
(1 − cos( ωt))
ω
s( s 2 + ω 2)
c
⃝Krzysztof Piątek kpiatek@agh.edu.pl
2
TEORIA STEROWANIA
Materiały pomocnicze
3.1. Metoda rozkładu na ułamki proste
Większość transformat Laplace’a sygnałów ciągłych jest funkcjami wymiernymi tzn. da się wyróżnić w nich licznik i mianownik
L( s)
alsl + al− 1 sl− 1 + ... + a 1 s + a 0
X( s) =
=
(16)
M ( s)
bmsm + bm− 1 sm− 1 + ... + b 1 s + b 0
gdzie L( s) i M ( s) są wielomianami zmiennej s. Takie wyrażenie można rozłożyć na ułamki proste wg ogólnej zależności, mającej postać:
A 1
An
B 1
Bm
C 1
X( s) =
+ . . . +
+
+ . . . +
+ . . . +
+ . . . (17)
( s − p 1)
( s − p 1) n
s − p 2
( s − p 2) m
s 2 − c 1 s + d 1
Takie rozwinięcie pozwala dla jego kolejnych wyrazów zastosować bezpośrednio tablicę transformat i otrzymać zatem w postaci zwartej odpowiednią funkcję czasu.
Poszukiwanie transformaty odwrotnej będzie więc polegało na zbadaniu pierwiastków mianownika. Pojawiające się stałe można wyznaczyć sprowadzając prawą stronę równania (?? ) do wspólnego mianownika i następnie porównać współczynniki przy takich samych potęgach s z licznikiem L( s).
Czasami można jednak uprościć obliczenia. Rozpatrzmy tutaj następujące przypadki:
•
Pojedyncze miejsca zerowe mianownika
Transformata taka jest rozkładana w następujący sposób. Niech mianownik posiada m pierwiastków, wtedy
L( s)
A 1
A 2
Am
F ( s) =
=
+
+ . . . +
(18)
( s − p 1)( s − p 2) . . . ( s − pm) s − p 1
s − p 2
s − pm
gdzie p 1 . . . pm są miejscami zerowymi (biegunami transformaty), a A 1 . . . Am pewnymi sta-
łymi. Do ich wyznaczenia można posłużyć się następującymi zależnościami: L( s)( s − pi)
A
i =
(19)
M ( s)
s= pi
Powyższe wzory zachowują słuszność także dla p = 0. Transformatą odwrotną (oryginałem) jednego elementu (?? ) jest wg tabeli z punktu ??
L −
A
1
= Aept
(20)
s − p
•
Wielokrotne miejsca zerowe mianownika.
Bez zmniejszenia ogólności załóżmy, że mianownik M ( s) posiada jeden biegun p o krotności m. Taką transformatę rozkładamy w następujący sposób:
L( s)
A 1
A 2
Am
X( s) =
=
+
+ . . . +
(21)
( s − p) m
s − p
( s − p)2
( s − p) m
gdzie A 1 . . . Am znajdujemy z następujących wzorów: L( s)( s − p) m
A
m =
(22a)
M ( s)
s= p
d L( s)( s − p) m
A
m− 1 =
(22b)
d s
M ( s)
s= p
...
1 d i L( s)( s − p) m
A
m−i =
(22c)
i! d si
M ( s)
s= p
gdy występuje kilka wielokrotnych biegunów i transformata wygląda jak L( s)
X( s) =
(23)
( s − p 1) m 1( s − p 2) m 2 · · · ( s − pk) mk każdy biegun rozkładamy jak wyżej i sumujemy wyrazy końcowe. Transformatą odwrotną jednego składnika sumy (?? ) jest
L −
A
ti− 1
1
i
= Ai
ept
(24)
( s − p) i
( i − 1)!
c
⃝Krzysztof Piątek kpiatek@agh.edu.pl
3
TEORIA STEROWANIA
Materiały pomocnicze
•
Trójmian kwadratowy o ∆ < 0.
Załóżmy, że transformata da się zapisać w następujący sposób:
L( s)
As + B
L 1( s)
X( s) =
=
+
(25)
( s 2 + bs + c) M 1( s)
s 2 + as + b
M 1( s)
gdzie L 1( s) /M 1( s) jest iloczynem wielomianów o rzeczywistych pierwiastkach, tzn. można zastosować rozkład na ułamki proste wg powyższych zależności. Natomiast b 2 −
1
4 b 2 < 0, wiec
trójmian ten posiada pierwiastki zespolone. Wtedy należy rozłożyć część L 1( s) /M 1( s) tak jak powyżej, natomiast parametry A, B należy uzyskać metodą przyrównania współczynników.
Transformaty odwrotne ułamków składowych L 1( s) /M 1( s) znajdziemy w tabeli z punktu
?? , natomiast transformatę odwrotną
L −
As + B
1
(26)
s 2 + as + b
możemy wyznaczyć w następujący sposób.
Zapiszmy transformatę (?? ) w postaci
As + B
As + B
=
(27)
s 2 + as + b
( s + α)2 + β
gdzie: 2 a = α, b = α 2 + β, stąd wynika α = a/ 2 , β = b − α 2 / 4. Następnie możemy rozbić tą transformatę na sumę ułamków
As + B
A( s + α)
B − Aα
=
+
(28)
( s + α)2 + β
( s + α)2 + β
( s + α)2 + β
Transformaty odwrotne powyższych ułamków znajdziemy korzystając z tabeli transformat z punktu ?? , oraz stosując twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej.
L −
A( s + α)
1
= Ae−αt cos p βt
( s + α)2 + β
L −
B − Aα
B − Aα
1
=
√
e−αt sin p βt
( s + α)2 + β
β
Ostatecznie otrzymamy
L −
As + B
B − Aα
1
= e−αt
A cos p β +
√
sin p βt
(29)
s 2 + as + b
β
dla t > 0.
Przykład.
Znajdź oryginał transformaty
s + 4
X( s) =
(30)
s 2 + 4 s + 5
Pierwiastki mianownika są zespolone (∆ = 42 − 4 · 5 = − 4), ale możemy zapisać s + 4
s + 4
=
(31)
s 2 + 4 s + 5
( s + 2)2 + 1
Można wtedy skorzystać z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej. Przekształcając dalej otrzymamy
s + 4
s + 2
2
=
+
(32)
( s + 2)2 + 1
( s + 2)2 + 1
( s + 2)2 + 1
Oryginały każdego z tych ułamków będą równe
L −
s + 2
1
= e− 2 t cos t
( s + 2)2 + 1
L −
1
1
2
= 2 e− 2 t sin t
( s + 2)2 + 1
Ostatecznie otrzymamy
x( t) = e− 2 t(cos t + 2 sin t) (33)
dla t > 0.
c
⃝Krzysztof Piątek kpiatek@agh.edu.pl
4
TEORIA STEROWANIA
Materiały pomocnicze
4. Rachunek operatorowy
Jednym z możliwych zastosowań przekształcenia Laplace’a jest rozwiązywanie równań różnicz-kowych liniowych. Poniżej przedstawiono sposób postępowania:
•
Równanie różniczkowe o ogólnej postaci
d x = f( x, t)
(34)
d t
przy podanych warunkach początkowych x(0) jest równaniem w dziedzinie czasu t. Należy sprowadzić je do przestrzeni zmiennej zespolonej s przez transformowanie obu stron tego równania transformatą Laplace’a.
L d x = L {f( x, t) }
(35)
d t
•
Zakładamy istnienie transformat L {x( t) } = X( s), oraz L {f ( x, t) } = F ( s). Teraz równanie różniczkowe przekształci się do postaci
X( s) M ( s) = L( s)
(36)
gdzie X( s) jest poszukiwaną transformatą odpowiedzi, a L( s) , M ( s) są funkcjami zmiennej s. W przypadku gdy równanie różniczkowe jest liniowe o współczynnikach rzeczywistych, wtedy L( s) , M ( s) są wielomianami również o rzeczywistych współczynnikach.
•
To równanie jest równaniem algebraicznym, więc wyznaczenie X( s) jest zwykle łatwiejsze, niż rozwiązywanie równania różniczkowego. Ponieważ L( s) , M ( s) są wielomianami, wyznaczenie X( s) sprowadza się do:
L( s)
X( s) =
(37)
M ( s)
•
Otrzymaliśmy transformatę rozwiązania. Ponieważ X( s) jest funkcją wymierną zmiennej s, można otrzymać poszukiwane rozwiązanie x( t) = L − 1 {X( s) } przez rozkład na ułamki proste. Należy pamiętać, że w przypadku stosowania transformaty jednostronnej, rozwiązanie jest prawdziwe dla t > 0.
Przykład.
Należy rozwiązać równanie różniczkowe
d2 y( t)
d y( t)
+ 4
+ 3 y( t) = 2 e−t
(38)
d t 2
d t
przy warunkach początkowych y(0) = 1 , y0(0) = 0 dla t > 0.
Zastosujmy przekształcenie Laplace’a do prawej i lewej strony tego równania (
)
L d2 y( t)
d y( t)
+ 4
+ 3 y( t)
= L n2 e−t o
(39)
d t 2
d t
Transformaty kolejnych elementów będą równe
(
)
L d2 y( t) = s 2 Y ( s) − sy(0) − y0(0) = s 2 Y ( s) − s (40)
d t 2
L d y( t) = sY ( s) − y(0) = sY ( s) − 1
(41)
d t
L n
2
2 e−t o =
(42)
s + 1
W dziedzinie zmiennej zespolonej równanie to przyjmie postać
2
s 2 Y ( s) − s + 4 sY ( s) − 4 + 3 Y ( s) =
(43)
s + 1
Porządkując wyrazy dostaniemy
2
s 2 + 5 s + 6
Y ( s)( s 2 + 4 s + 3) =
+ s + 4 =
(44)
s + 1
s + 1
co prowadzi do
s 2 + 5 s + 6
Y ( s) =
(45)
( s + 1)( s 2 + 4 s + 3)
c
⃝Krzysztof Piątek kpiatek@agh.edu.pl
5
TEORIA STEROWANIA
Materiały pomocnicze
ponieważ
s 2 + 5 s + 6 = ( s + 3) ( s + 2)
(46)
s 2 + 4 s + 3 = ( s + 3) ( s + 1)
(47)
to otrzymamy
s + 2
Y ( s) =
(48)
( s + 1)2
Transformatę odwrotną takiej funkcji wymiernej znajdziemy przez rozkład na ułamki proste.
Rozkład ten będzie miał postać
s + 2
A 1
A 2
=
+
(49)
( s + 1)2
s + 1
( s + 1)2
Stałe A 1 , A 2 będą równe
s + 2
A 2 = lim
( s + 1)2 = 1
(50)
s→− 1 ( s + 1)2
d
s + 2
A 1 = lim
( s + 1)2 = 1
(51)
s→− 1 d s ( s + 1)2
i otrzymamy
s + 2
1
1
=
+
(52)
( s + 1)2
s + 1
( s + 1)2
Transformaty odwrotne każdego z tych ułamków będą równe
L −
1
1
= e−t
(53)
s + 1
L −
1
1
= te−t
(54)
( s + 1)2
Ostatecznie końcowy wynik będzie miał postać
x( t) = L − 1 {X( s) } = e−t + te−t (55)
dla t > 0.
5. Zadania
1. Znaleźć transformatę odwrotną do:
3
s + 1
s
a)
b)
c)
s 2 − s − 2
2 s 2 − s − 2
s 2 + s − 2
3
s
s
d)
e)
f)
s 2 + 6 s + 18
s 2 + s − 6
s 2 + 6 s + 18
2. Znaleźć x( t) jeżeli X( s) wynosi: 19
27 s 2 + 5 s − 8
a)
b)
s 3 − s 2 − 2 s − 12
6 s 3 + 8 s 2 − 10 s − 4
− 11 − 6 s
2 s + 4
c)
d)
s 3 + 5 s 2 + 10 s + 12
2 s 3 − 7 s 2 + 2 s + 3
9 s 3 + 36 s 2 + 24 s + 4
2 s + 4
e)
f)
9 s 5 + 6 s 4 + s 3
2 s 3 − 7 s 2 + 2 s + 3
36 s 2 − 6 s + 1
14 s 2 + 12 s + 21
g)
h)
27 s 4 − 18 s 3 + 3 s 2
4 s 4 + 4 s 3 + 37 s 2 + 36 s + 9
14 s 2 + 3
4 s 2 + 7 s + 18
i)
j)
4 s 4 + s 2
3 s 3 + 19 s 2 + 60 s + 18
4
s 2 + s + 2
16 s 2 − 4 s + 3
k)
l)
3 s 3 + 4 s 2 + 8 s
4 s 3 − 4 s 2 + s − 1
c
⃝Krzysztof Piątek kpiatek@agh.edu.pl
6
TEORIA STEROWANIA
Materiały pomocnicze
3. Stosując rachunek operatorowy rozwiąż równanie różniczkowe:
d2
a)
y( t) + 3 y( t) = 0
y(0) = 1
y0(0) = 0
d t 2
d2
d
b)
y( t) +
y( t) + 1 / 2 y( t) = 1 / 2 t y(0) = − 1
y0(0) = 1 / 2
d t 2
d t
d
c)
y( t) + 1 / 2 y( t) = sin(1 / 2 t) y(0) = 0
y0(0) = 0
d t
d2
d
d)
y( t) + 4
y( t) + 4 y( t) = 2
y(0) = 0
y0(0) = 1
d t 2
d t
d2
e)
y( t) + y( t) = 1
y(0) = 3
y0(0) = 1
d t 2
d2
d
f)
y( t) + 4
y( t) + 5 y( t) = 0
y(0) = 2
y0(0) = − 3
d t 2
d t
6. Rozwiązania zadań
2.
√
√
√
a) e 3 t − e−t cos( 3 t) + 4 / 3
3 sin( 3 t)
b) et + 1 / 2 e− 1 / 3 t + 3 e− 2 t
√
√
√
c) e− 3 t − e−t cos( 3 t) + 4 / 3
3 sin( 3 t)
d) 2 / 7 e− 1 / 2 t + 5 / 7 e 3 t − et e) 2 t 2 + te− 1 / 3 t
f) 2 / 7 e− 1 / 2 t + 5 / 7 e 3 t − et g) 1 / 3 t + te 1 / 3 t
h) 1 / 2 te− 1 / 2 t + sin(3 t) i) 3 t + sin(1 / 2 t)
j) (cos(3 t) − sin(3 t)) e− 3 t + 1 / 3 e− 1 / 3 t 1
k)
+ (cos(2 t) − sin(2 t)) e− 2 t l) 3 et + cos(1 / 2 t)
3
3.
√
a) y( t) = cos( 3 t)
b) y( t) = − 2 + t + e− 1 / 2 t cos(1 / 2 t) c) y( t) = − cos(1 / 2 t) + sin(1 / 2 t) + e− 1 / 2 t d) y( t) = 1 / 2 − 1 / 2 e− 2 t e) y( t) = 1 + 2 cos( t) + sin( t)
f) y( t) = e− 2 t sin( t) + 2 e− 2 t cos( t) c
⃝Krzysztof Piątek kpiatek@agh.edu.pl
7