Materiałów - Ćwiczenia
Zadanie 1
Belka o długości a = 240 m i ciężarze G = 500 N spoczywa na podporze stałej A i na
podporze przesuwnej C (rysunek). Na koniec B belki działa siła P = 800 N nachylona do
poziomu pod kątem α = 60o. Wyznaczyć reakcje podpór.
Zadanie 2
Ciężką kulkę B zawieszono na dwóch wiotkich, nieważkich i nierozciągliwych niciach tak,
że nić BC tworzy z pionem kąt α = 30o, nić AB zaś jest pozioma (rysunek). Obliczyć
napięcia obu nici, jeżeli ciężar kulki wynosi G = 12 N.
Zadanie 3
Ciało o masie m 1 = 20 kg ułożono na równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem
α = 30o. Do ciała w punkcie A przywiązano wiotką i lekką nić AB, przerzuconą przez
krążek C, jak na rysunku. Na końcu B nici zawieszono ciało o masie m 2. Stwierdzono,
że w chwili gdy masa tego ciała nieznacznie przekracza wartość m 2 = 12 kg, równowaga
układu zostaje naruszona i ciało m 2 zaczyna opuszczać się do dołu wciągając ciało m 1 w
górę równi. Wyznaczyć współczynnik tarcia µ między tym ciałem i równią. Tarcie na osi
krążka C pominąć.
Zadanie 4
Trójnóg składa się z trzech lekkich jednakowych przegubowych prętów połączonych w ten
sposób, że każdy z prętów nachylony jest do poziomej podstawy pod kątem α (rysunek).
Rzuty na płaszczyznę poziomą prętów AB i AC tworzą z pionową płaszczyzną symetrii
ADE kąty β. W płaszczyźnie tej umieszczono krążek K, przez który przerzucono linkę
przywiązaną w węźle A, na której końcu zamieszczono ciało o ciężarze Q. Wyznaczyć siły
w prętach trójnogu. Ciężaru własnego prętów nie uwzględniać.
Zadanie 5
Gładką belkę BD, z zamocowanym na końcu ciałem o ciężarze G = 150 N, podparto
przegubowo w punkcie A. W punkcie C belka opiera się boczną powierzchnią o krawędź
muru. W położeniu tym belka tworzy z pionem kąt α = 60o (rysunek). Wyznaczyć reakcje
w przegubie i w punkcie podparcia C, jeżeli wiemy, że AB = AC. Ciężaru własnego belki
nie uwzględniać.
1
Za pomocą kołowrotu, przedstawionego schematycznie na rysunku, podnoszony jest ciężar
Q = 1000 N. Promień bębna wynosi R = 0 , 05 m, długość ramienia korby KD = 0 , 4 m, DA = 0 , 3 m, AC = 0 , 4 m, CB = 0 , 6 m. Lina schodzi z bębna po stycznej nachylonej do poziomu pod kątem 60o. Wyznaczyć siłę P działającą na korbę i reakcje podpór A i B
jeśli ramię korby jest w położeniu poziomym.
Zadanie 7
Drzwi o szerokości b i wysokości a mogą się obracać dokoła pionowej osi AB. Do naroża
D przywiązano koniec sznura przerzuconego przez krążek stały C i obciążonego ciałem o
ciężarze Q (rysunek). W punkcie E przyłożono siłę P prostopadłą do płaszczyzny drzwi.
Obliczyć wartość siły P odpowiadającą położeniu równowagi określonemu kątem 2 α. Jakie
wtedy będą reakcje w łożysku poprzeczno-wzdłużnym A i poprzecznym B? Opory tarcia
i ciężar drzwi pominąć.
Zadanie 8
Punkt A porusza się ruchem harmonicznym prostym po osi Ox wg równania:
2 π
x = a sin
t,
τ
w którym t oznacza czas, τ okres ruchu, a amplitudę ruchu, x współrzędną określającą położenie punktu A na osi Ox, czyli wychylenie. Znaleźć amplitudę a oraz okres ruchu
punktu A wiedząc, że w położeniu x = x 1 punkt ten ma prędkość v = v 1, w położeniu x = x 2 zaś prędkość v = v 2.
Zadanie 9
Równanie ruchu punktu A, poruszającego się po linii prostej, ma postać:
x = −t 3 + 8 t 2 + 12 t,
przy czym odcięta x wyrażona jest w metrach, czas t zaś w sekundach. Przeprowadzić
analizę ruchu tego punktu, a mianowicie:
1. znaleźć prędkość i przyspieszenie,
2. określić czas tk w którym prędkość punktu A spadnie do zera oraz drogę przebytą
w tym czasie,
3. obliczyć, jaką największą prędkość miał punkt A w przedziale czasu tk − t 0.
2
Punkt A porusza się w płaszczyźnie Oxy według równań:
x = 2 + 4 cos 2 t,
y = 1 + 5 sin 2 t,
gdzie t oznacza czas wyrażony w sekundach, x i y zaś współrzędne w centymetrach. Znaleźć równanie toru oraz prędkość i przyspieszenie.
Zadanie 11
Ruch punktu A poruszającego się po płaszczyźnie Oxy, określony jest równaniami we
współrzędnych biegunowych:
r = 4 t + π [cm] ,
ϕ = 2 t.
Znaleźć równanie toru, po jakim porusza się punkt oraz prędkość i przyspieszenie, jeżeli
czas t podany jest w sekundach.
Zadanie 12
h
i
Koło będące w ruchu obrotowym i wykonujące n = 300
obr
zaczęło hamować tak, że po
min
25 obrotach koło to zatrzymało się. Oblicz przyspieszenie i czas hamowania przy założeniu,
że podczas hamowania przyspieszenie (opóźnienie) kątowe było stałe.
Zadanie 13
h
i
Mechanizm korbowy składa się z korby OA o długości r wykonującej n = 120
obr
i
min
korbowodu AB o długości l połączonego przegubowo z korbą. Wyznaczyć prędkość końca
B korbowodu, jeżeli koniec ten ślizga się w prowadnicy poziomej, jak przedstawiono na
rysunku.
Zadanie 14
Tarcza o promieniu a obraca się w swej płaszczyźnie ze stałą prędkością kątową ω 0 wo-
kół punktu A leżącego na jej obwodzie. Wzdłuż obwodu tarczy porusza się punkt B ze
stałą co do wartości prędkością względną ~
w (rysunek). Znaleźć prędkość i przyspieszenie
bezwzględne punktu B, jako funkcję kąta ϕ.
3
Tarcza kołowa obraca się ze stałą prędkością kątową ω 0 wokół osi przechodzącej przez
jej środek i prostopadłej do niej. Wzdłuż jednej ze średnic porusza się punkt A ze stałą
prędkością w względem tarczy. Znaleźć prędkość bezwzględną punktu A oraz tor tego
punktu w układzie bezwzględnym. W chwili początkowej punkt A znajduje się w środku
tarczy.
Zadanie 16
Punkt materialny o masie m wyrzucono z punktu A pionowo w górę z prędkością począt-
kową v 0. W tym samym czasie inny punkt materialny o takiej samej masie m wyrzucono
z punktu O, położonego na tym samym poziomie co punkt A, w odległości równej a od
niego, z prędkością początkową nv 0, nachyloną pod kątem α do poziomu. Określić przy
jakiej wartości współczynnika n może nastąpić zderzenie obydwu wyrzuconych punktów
materialnych oraz na jakiej wysokości h to nastąpi.
Zadanie 17
Określić położenie środka ciężkości jednorodnej figury płaskiej przedstawionej na rysunku.
Wymiary figury podane są w centymetrach.
Zadanie 18
Obliczyć moment bezwładności walca względem osi Oz.
Zadanie 19
Obliczyć moment bezwłasności walca kołowego o masie m, promieniu podstawy r i wyso-
kości h = 2 r względem osi u przechodzącej przez środek masy walca i tworzącej z osiami y i z odpowiednio kąty β = 45o i γ = 60o.
Zadanie 20
Po powierzchni równi pochyłej, tworzącej z pozimem kąt α, zsuwają się dwa ciała o masach
m 1 i m 2 (rysunek). Znaleźć siłę wzajemnego nacisku tych ciał oraz przyspieszenie, z jakim
odbywa się ich ruch, wiedząc, że współczynniki tarcia wynoszą odpowiednio µ 1 i µ 2, przy
czym µ 1 < µ 2.
4
Silnik elektryczny o mocy N = 40 kW napędza bęben linowy wciągarki, nadając mu
h
i
n = 190
obr . Obliczyć średnicę D bębna przyjmując, że siła obwodowa napięcia liny
min
P = 8000 N, a sprawność mechanizmu wynosi η = 0 , 8.
Zadanie 22
Gładki tor ABCDE tworzy w punkcie C pionową pętlę o promieniu r. Z jakiej minimalnej
wysokości h powinien zacząć się ruch punktu materialnego, aby przebył on cały tor, nigdzie
się od niego nie odrywając?
Zadanie 23
Punkt materialny 1 o masie M , znajdujący się na poziomej płycie (rysunek), połączony
jest nierozciągliwą nitką, która przerzucona jest przez gładki narożnik A. Współczynnik
tarcia między punktem a płytą wynosi µ. Na drugim końcu nitki zawieszony jest punkt
materialny o masie m, który opada pod wpływem sił ciężkości wprawiając w ruch punkt
1. Obliczyć przyspieszenia poruszających się punktów i napięcie liny.
Zadanie 24
Wzdłuż brzegu rzeki płynie łódka o masie m 1 = 120 kg z prędkością v 0 = 5 km . W pewnej
h
chwili do łódki wskoczył człowiek o masie m 2 = 65 kg. Obliczyć, jaką prędkość będzie
miała łódka tuż po wskoczeniu do niej człowieka. Przyjąć, że w chwili wskakiwania do
łódki prędkość środka masy człowieka miała kierunek pionowy.
Zadanie 25
Jednorodny łańcuch o długości l leży ułożony w stos na brzegu gładkiego stołu. Znaleźć
prędkość z jaką zjedzie ostatnie ogniwo łańcucha, gdy pozwolimy mu zsuwać się.
Zadanie 26
Jednorodny pełny krążek o promieniu r i masie M osadzony jest na gładkiej ośce. Krążek
opasuje nieważka i nierozciągliwa nitka, której jeden koniec przyczepiony jest do krążka, a
na drugim końcu zawieszono ciężarek o masie m (rysunek). Obliczyć przyspieszenie kątowe
krążka.
Zadanie 27
Jednorodny walec o masie M i promieniu r toczy się bez poślizgu po płaszczyźnie poziomej
napędzany sznurem przerzuconym przez lekki krążek B i obciążonym ciałem A o masie
5
m. Wyznaczyć prędkość kątową walca jako funkcję pionowego przesunięcia ciała A. Opór toczenia walca i tarcie na osi krążka pominąć. W chwili początkowej prędkość środka walca
była równa zeru.
Zadanie 28
Na rysunku przedstawiony jest schemat wciągarki ręcznej. Znaleźć wartość siły P , jaką
należy przyłożyć prostopadle do dźwigni, aby podnieść ciało o ciężarze G, jeżeli długość
dźwigni wynosi l, promienie kół zębatych odpowiednio: r 1, r 2, r 3, a promień bębna, na który nawija się lina, wynosi r.
Zadanie 29
Ułożyć równanie dynamiczne wahadła matematycznego.
Zadanie 30
Na końcach nierozciągliwej liny przerzuconej przez dwa stałe gładkie krążki A i B zostały
zawieszone dwa ciężary P i Q. Ciężar P leży na gładkiej równi pochyłej tworzącej kąt α
z poziomem. Między krążkami A i B został zawieszony krążek C z zawieszonym ciężarem
G. Mając dany ciężar P wyznaczyć ciężary G i Q, aby zachodziła równowaga.
Zadanie 31
Cztery jednorodne pręty o jednakowej długości l i ciężarze G są połączone przegubami i
zawieszone w węźle A. Do węzłów B i C przyłożone są dwie równe co do wartości poziome
siły P . Znaleźć wartość kąta α w położeniu równowagi.
Zadanie 32
Ułożyć równanie ruchu wahadła składającego się z punktu materialnego o masie m zawie-
szonego na nici nawiniętej na nieruchomy walec o promieniu r. Długość zwisającej części
nici w położeniu równowagi wynosi l. Masę nici pominąć.
Zadanie 33
Po nieruchomym kole o promieniu R, leżącym w płaszczyźnie poziomej, toczy się bez
poślizgu jednorodna tarcza o promieniu r i masie m, poruszana korbą OA, obracająca się
wokół nieruchomego punktu O. Do korby przyłożona jest para sił o momencie M . Obliczyć
przyspieszenie korby. Korbę traktujemy jak pręt jednorodny o masie m 1.
6