PRZYKŁADOWY egzamin z matematyki semestr letni, IMIR, rok I

▲ Oblicz odległość prostych: x + 1

y + 3

z + 12

y + 9

l :

=

= z − 2 ,

k :

= x + 2 =

3

2

7

2

▲ Podaj tw. zmianie zmiennych w całce podwójnej i wzór na zmianę współrzędnych prostokątnych na biegunowe.

▲

3

Podaj interpretację całki krzywoliniowej skierowanej w R jako pracy.

▲ Podaj definicję funkcji różniczkowalnej n- zmiennych. Sprawdź, czy funkcja



1

exp(−

) dla ( x, y) ≠ (

)

0

,

0

2

2

f ( x, y) =

: 

x + y

0

dla ( x, y) = ( , 0 )

0

jest różniczkowalna w (0,0).

▲

'

Podaj ogólną metodę rozwiązywania równania różniczkowego liniowego 1. rzędu y = a( x) * y + b( x) .

▲ Rozwiąż problem różniczkowy: y' ' 2

− y'+2 y = , 0

y( )

0 = ,

0

y'( )

0 = .

1

x −1

y + 1

z

▲ Napisz równanie płaszczyzny zawierającej punkt (1,2,0) oraz prostą

=

= .

2

1

2

2

2

▲

2

2

−( x + y ) Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f ( x, y) = ( x + y ) * e

.

▲

2

2

2

2

2

Oblicz objętość bryły ograniczonej stożkiem obrotowym z

= x + y i walcem x + ( y − ) 1

= 1.

▲

2

2

2

2

Oblicz

x + y dx + ln( x + x + y ) dy

∫

, gdzie C jest obieganym zgodnie z zegarem okręgiem o C

środku (0,0) i promieniu 1.