2007-12-07

Budowa atomu

Co możemy powiedzieć o budowie atomu ?

Jak sporządzić jego model ? Jak opisać ruch

elektronu (elektronów) w atomie ?

Skoro elektron to cząstka materialna ...

.. to należy stworzyć jego mechaniczny model

(Newton) czyli podać jego równanie ruchu, to

Czy można sporządzić

znaczy...

mechaniczny model atomu ?

...zależność określającą zależność współrzędnych

(np. x) i pędu p od czasu...

x

...podać funkcję określającą współrzędnych (np. x) i pędu p od czasu...

x

... a zasada nieoznaczoności ?!

∆ x ⋅ ∆ p ≥ h

x

Co możemy powiedzieć o budowie atomu ?

Inaczej ...

Poruszają cy się elektron jest falą ...

λ = hp

Można go więc opisać, znajdując

e

• Sporządzenie mechanicznego modelu atomu parametry fali:

jest niemożliwe ...

- amplitudę (energię ruchu falowego)

• Mechanika klasyczna jest bezsilna ...

- długość fali

MECHANIKA FALOWA

MECHANIKA KWANTOWA

Mechanika kwantowa opiera się

Podstawowy postulat mechaniki kwantowej

na dwóch prawach

Stan układu złożonego z N cząstek określa funkcja falowa

Ψ (x , y , z , x , y , z , ........... x , y , z , t) gdzie x , y , 1

1

1

2

2

2

N

N

N

k

k

∆

z współrzędne k-tej cząstki

x ⋅ ∆ p ≥ h

k

x

W stanie stacjonarnym wyodrębnia się zależność od czasu: Zasada nieoznaczoności (Heisenberg)

Ψ (x , y , z , x , y , z , ........... x , y , z , t) =

1

1

1

2

2

2

N

N

N

Ψ (x , y , z , x , y , z , ........... x , y , z )·f(t), co oznacza, 1

1

1

2

2

2

N

N

N

że poszukiwana funkcja falowa nie zależy od czasu λ = h

pf

Dualizm korpuskularno-falowy (de Broglie)

1

2007-12-07

Dla jednej cząstki w przestrzeni

Sens fizyczny funkcji falowej

trójwymiarowej

2

Ψ

2

( x , y , z , x , y , z ,......., x , y , z ) ρ = Ψ( x, y, z) dV

N

N

N

= ρ(....)

1

1

1

2

2

2

W

ρ =

z

2

∫ Ψ x y z

=

dx

( , , ) dV

1

1 ⋅ dy 1 ⋅ dz 1 ⋅ dx 2 ⋅ dy 2 ⋅ dz ,......., dx 2

⋅ dy ⋅ dz

N

N

N

V

W - prawdopodobieństwo, że współrzędne znajdują się Całkowanie funkcji jest podobne

pomiędzy x a x +dx , y a y +dy , z a z +dz , ..........

x

1

1

1

1

1

1

1

1

1

do sumowania liczb. Wartość

x a x +dx , y a y +dy , z a z +dz N

N

N

N

N

N

N

N

N

y

całki równa 1 oznacza, że

a dx ·dy ·dz ........ dx ·dy ·dz mają sens obję toś ci w cząsteczka na pewno znajduje

1

1

1

N

N

N

przestrzeni 3N wymiarowej

się w przestrzeni

Fala de Broglie’a a funkcja falowa

Funkcja falowa

Skoro funkcja falowa ma pozwolić na

określenie prawdopodobieństwa, to nie może

• | Ψ (x , y , z ) |2 dla jednej cząstki jest kwadratem 1

1

1

być byle jaka. Musi być:

amplitudy fali de Broglie’a w danym punkcie

° ciągła,

• Ψ (x , y , z ) jest amplitudą fali dla jednej cząstki 1

1

1

° jednoznaczna,

° znikająca w nieskończoności

Takie funkcje nazywają się funkcjami klasy Q, albo funkcjami porzą dnymi

Ską d wziąć taką funkcję ? Postulaty

mechaniki kwantowej dostarczają przepisu ...

Trochę o funkcjach i ich pochodnych

Funkcje wielu zmiennych

Funkcja jednej zmiennej y=f(x);

Funkcje dwóch lub trzech zmiennych

Jej wykres da się zrobić na płaszczyźnie xy

o Funkcja dwóch zmiennych y = f(x,y)

dy

Pochodna

y' = f '( x) =

Wykres w przestrzeni trójwymiarowej

dx

o Funkcja trzech zmiennych y = f(x,y,z)

d 2 y

d  dy 

Druga pochodna

y"= f "( x) =

=





Wykres w przestrzeni czterowymiarowej

dx 2

dx  dx 

o Funkcja n zmiennych y = f(x,y,z,.....n)

Pochodne różnych funkcji:

Wykres w przestrzeni (n+1) wymiarowej

Funkcja

Pochodna

Funkcja

Pochodna

o Jak obliczyć pochodne funkcji wielu zmiennych ?

axn

naxn-1

(u+v)

u’ + v’

o Tak samo, jak funkcji jednej zmiennej, traktując sin x

cos x

u⋅v

u’⋅v+u ⋅v’

,

,

u

u ⋅ v − uv

wszystkie inne zmienne jak stałe

cos x

- sin x

2

v

v

log x

1/x

d

(

d

( f u[( x) ) df u du

] =

) ⋅

dx

du

dx

2

2007-12-07

Pochodne czą stkowe funkcji wielu zmiennych

Pochodne czą stkowe funkcji wielu zmiennych Funkcja trzech zmiennych x,y,z

Funkcja trzech zmiennych x,y,z

Drugie pochodne (po x):

Drugie pochodne (po y):

3

2

2

2

f ( x, y, z) = 4 x y + 3 xyz − 3 x y z + 5 z 2

2

∂

∂

f ( x, y, z)

f ( x, y, z)

=

2

= −

24 xy − 6 y 2 z

6 x z

2

y 2

∂

Pierwsze pochodne:

x

∂

2

2

∂

∂

f ( x, y, z)

f ( x, y, z)

2

2

=

+ −

= 12 x + 3 y −12 xyz

f

∂ ( x, y, z)

12 x

3 z 12 xyz

∂ ∂

=

x

∂ y

∂

y x

12 x 2 y + 3 yz − 6 xy 2 z 2

2

∂

x

∂

∂ f ( x, y, z)

f ( x, y, z)

2

=

2

3 y − 6 xy

= 3 x − 6 x y

f

∂ ( x, y, z)

∂ ∂

y

∂ z

∂

=

x z

4 x 3 + 3 xz − 6 x 2 yz

y

∂

Drugie pochodne (po z):

2

∂

f

∂ ( x, y, z)

f ( x, y, z)

=

=10

3 xy − 3 x 2 y 2 +10 z

2

∂ z

z

∂

2

∂ f ( x, y, z)

2

∂

=

f ( x, y, z)

3 x − 6 x 2 y

2

= 3 y − 6 xy

z

∂ y

∂

z

∂ x

∂

Przepis na funkcję falową (1)

Co to jest operator ?

W jaki sposób można otrzymać funkcję falową, która będzie zadowalająco opisywać stan układu ?

funkcja

Trzeba wykonać kolejne kroki procedury:

liczba A

 

 → liczba B

1.

Zapisać wyrażenie na energię całkowitą układu: E = E

+ E

= T + V

operator



 →

kin

pot

funkcja A

funkcja B

2.

Przekształcić wzór na energię tak, by zawierał tylko współrzędne i pędy oraz stałe (np. wyeliminować

Przykłady operatorów

operator

wynik

prędkość);

3.

Zamienić współrzędne i pędy na odpowiednie mnożenie przez stałą

a·

a·f(x)

operatory i utworzyć operator energii całkowitej mnożenie przez zmienną

x·

x·f(x)

podnoszenie do kwadratu

[ ]2

[f(x)]2

różniczkowanie

d/dx

df(x)/dx

Operatory mechaniki kwantowej

Przepis na funkcję falową (2)

Każdej wielkości odpowiada operator: 4.

Rozwiązać tzw. zagadnienie własne energii, czyli równanie Schrödingera:

Wielkość

Symbol operatora

Operator

H

ˆ Ψ = Ψ

E

x

x⋅

y

yˆ

y⋅

z

z

zˆ

⋅

E = T + V

∂

p

−

Wartość własna energii

h

x

pˆ

i

x

x

∂

(energia całkowita układu) -

∂

ˆ

ˆ

ˆ

p

pˆ

−

= +

i h

H

T

V

liczba

y

y

y

∂∂

p

pˆ

− i h

Operator energii całkowitej

z

z

z

∂

 ∂

(operator Hamiltona)

2

∂ 2

∂ 2 

p2

2

ˆ p

h 

+

+

2

2

2



 ∂ x

∂ y

∂ z 

i =

− 1

3

2007-12-07

Przepis na funkcję falową (3)

Co to są równania różniczkowe ?

Przepisem pozwalającym znaleźć funkcję

• Równanie algebraiczne:

falową w każdym przypadku jest tzw.

* zawiera jedną lub więcej niewiadomych oraz stałe równanie Schrıdingera, które jest podobne

(parametry);

do równania fali w akustyce

♦w zależności od liczby niewiadomych jest równaniem jednej, dwóch lub n niewiadomych;

Erwin Schrödinger, 1887-1961

♦w zależności od potęg, w których występują niewiadome Nobel 1933

może być 1, 2, 3, n-tego stopnia;

* rozwiązaniem są odpowiednie liczby lub zbiory liczb $

HΨ = Ψ

E

• Równanie różniczkowe

* zawiera niewiadome funkcje, ich pochodne, oraz zmienne Jest to tzw. zagadnienie własne energii:

♦może być równaniem różniczkowym funkcji jednej lub wielu zmiennych;

Funkcja falowa (zwana funkcją własną układu) poddana dość

♦w zależności od rzędu pochodnych może być równaniem skomplikowanym operacjom matematycznym, wynikającym pierwszego lub wyższych rzędów;

z klasycznego wzoru na energię układu, daje w wyniku tę samą funkcję pomnożoną przez odpowiadającą jej wartość

* rozwiązaniem są funkcje odpowiedniej liczby zmiennych energii (liczbę!)...

Atom wodoru

Atom wodoru (2) - relacje mas

we współrzędnych kartezjańskich

• Masa protonu:

z

– M = (1,67252±0,00003)10-24 g

p

• Masa elektronu:

– m = (9,10908±0,00013)10-28 g

e

r

• Relacja mas:

≈

x

– M

1836 m

p

e

• Masa zredukowana

1

M + m

1

y

j

e

µ = ( M + m ) ≈ M ;

=

≈

r

j

e

j

µ

M ⋅ m

m

r

j

e

e

Atom wodoru (3)

Energia całkowita w atomie wodoru

• Można zatem przyjąć, że:

Klasyczna energia potencjalna elektronu:

– cała masa atomu skupiona jest w jego jądrze; 2

– jądro jest nieruchome, a porusza się tylko elektron; e

1

1

− 2

2

1

−

1

V = −

⋅

ε = 8

,

8 54 ⋅10

−

C m J

0

r

4πε

• Jeśli więc na atom nie działają żadne siły

0

zewnętrzne, to:

Klasyczna energia kinetyczna elektronu:

– energia potencjalna układu jest wyłącznie skutkiem 2

oddziaływa

1

p

1

ń proton - elektron;

2

T =

m v =

=

p + p + p

e

( 2 2 2

x

y

z )

– energia kinetyczna układu jest wyłącznie skutkiem 2

2 m

2 m

ruchu elektronu

4

2007-12-07

Wyrażenie na energię, a równanie Równanie Schrödingera dla atomu wodoru (1)

Schrödingera

H

ˆ Ψ = EΨ , Ψ( x, y, z) E = T + V

2

h

h

e

2

2

2

e 2

=

h

−

∇ Ψ −

⋅ Ψ = E ⋅Ψ

T

ˆ

H

ˆ

+ V = −

∇ + V = −

∇ −

2 m

4πε r

2 m

2 m

4πε r

0

0

2

2

2

2

h  ∂ Ψ

∂ Ψ ∂ Ψ 

2

2

2

∂

∂

∂

e



+

+

 +

⋅Ψ + ⋅Ψ =

2

E

0

Jest to tzw. operator

∇ = ∆ =

+

+

2

2

2

m

∂ x

∂ y

∂

πε

2

2

2

2



z  4

r

x

∂

y

∂

z

∂

Laplace’a (laplasjan)

0

Podziałanie operatorem energii na funkcję falową

powinno dać jako wynik tę samą funkcję pomnożoną

2

2

2

r = x + y + z

przez odpowiadającą jej wartość energii.

A gdyby tak zmienić układ współrzędnych ?

Równanie Schrödingera dla atomu wodoru (2)

z

2

2

2





 ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ  2

2

m

z

M



e



M



+

+

 +

E +

⋅ Ψ = 0

2

2

2

h 



 ∂ x

∂ y

∂ z 

r



4

2

2

2

πε x + y + z

0



θ

xM

φ

x

y

NIE DA SIĘ ROZWIĄZAĆ ANALITYCZNIE !!

M

y

Czy moż na coś na to poradzić ??

Każdy punkt charakteryzują 3 współrzędne:

- w układzie kartezjańskim x , y , z

M

M

M

- w układzie współrzędnych biegunowych sferycznych: r, θ, φ

Układy współrzędnych są równoważne Równanie Schrödingera dla atomu wodoru

po zamianie układu współrzę dnych na biegunowe r =

2

x

y

z

sferyczne:

M +

2

M +

2

M

x

 z 

2

M = r ⋅ cos ϕ ⋅ sin θ

θ =



∂ 

Ψ

∂  ∂ 

Ψ

∂ 

∂ Ψ 

arcco 

s

M 

1

1

2

s

 inθ

 r

 +

sinθ

 +

 +

y

 r 

2

2

r ⋅sinθ 

∂ r 

∂ r  ∂θ 

∂θ  sinθ ∂ϕ

M = r ⋅ sin ϕ ⋅ sin θ







y



x

2

M



m 

e



M = r ⋅ cosθ

ϕ = arcco

2



s

+

E +

Ψ =





0

2

2



 x

y

2

M +

M 

h



4πε ⋅ r 

z

0

z

M

M

r

θ

x

Prawda, jak się uprościło ???

M

φ

x

yM

NIE UCZYĆ SIĘ NA PAMIĘĆ !!!

y

Obejrzeć i zapomnieć ...

5

2007-12-07

Rozwiązanie równania Schrödingera dla

Równanie Schrödingera dla atomu wodoru (4)

atomu wodoru (1)

Ψ(x,y,z)= Ψ(r, θ, φ)

|R(r)|2dr

prawdopodobieństwo radialne, że

Ψ(r, θ, φ) = R(r)·Y(θ, φ) elektron znajduje się pomiędzy r a r + dr

Rozdzielenie zmiennych w równaniu

|Y(θ, φ)|2

prawdopodobieństwo ką towe, że

różniczkowym oznacza rozdział na kilka

elektron znajduje się w kierunku

osobnych równań.

pomiędzy θ a θ +dθ oraz φ a φ +dφ

Warunek konieczny:

Każde z tych prawdopodobieństw można wyznaczyć

Ψ(r, θ, φ) jest funkcją

R(r) orazY(θ, φ)

osobno z funkcji radialnej i funkcji ką towej oraz porządną

przedstawić na wykresie dwuwymiarowym (część

są także funkcjami klasy Q

radialna) oraz trójwymiarowym (część kątowa) Warunki dla funkcji klasy Q (1)

Warunki dla funkcji klasy Q (2)

r

♠

r

r

Aby rozwiązania równania Schrödingera w części

M = m × v × r

radialnej i kątowej były funkcjami porządnymi, muszą

* Moment pędu elektronu może przybierać tylko być spełnione pewne warunki

pewne wartości:

∗ w szczególności - energia całkowita (elektronu) może przybierać tylko pewne wartości:

M =

4

h l( l + )

1

m

π e

const

E

e

= −

= −

2

2

2

2ε h n

n

gdzie l = 0,1,2, ..... ,(n-1)

0

POBOCZNA LICZBA KWANTOWA

ORBITALNA LICZBA KWANTOWA

gdzie n = 1,2,3, ...

GŁÓWNA LICZBA KWANTOWA

Warunki dla funkcji klasy Q (3)

Warunki dla funkcji klasy Q (3)

* Moment pędu może mieć tylko pewne orientacje w

z

z

z

przestrzeni, tj. jego składowa w wybranym

+2ħ

kierunku (osi z) może przybierać tylko pewne wartości:

+ħ

+ħ

M z = m ⋅ h

-ħ

-ħ

gdzie m = -l, -l + 1,....,0,....l - 1, l

MAGNETYCZNA LICZBA KWANTOWA

-2ħ

l=0,

l=0,

l=0,

m=0

m=-1,0,+1

m=-2,-1,0,+1,+2

6

2007-12-07

Liczby kwantowe

n

l

m

Ψ

1

0

0

1 funkcja

2

0

0

1+3

1

-1,0,+1

funkcje

3

0

0

1+3+5

1

-1, 0,+1

funkcji

2

-2, -1, 0,+1,+2

4

0

0

1

-1, 0,+1

1+3+5+7

2

-2, -1, 0,+1,+2

funkcji

3

-3, -2, -1, 0,+1,+2,+3

Liczby kwantowe i kwantowanie pewnych wielkości pojawiają się jako warunek, aby funkcje falowe były klasy Q

7