ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIA ANALITYCZNA

‘

‘

EGZAMIN 14.02.2012

czas: 90 min.

Imie i nazwisko:

‘

Zad 1

Zad 2

Zad 3

Zad 4

Zad 5

Suma

Zad.1 (5 pt.) Wyznacz cześć rzeczywista i cześć urojona liczby z = 1 − 3 i . Przedstaw te liczbe

‘

‘

‘

‘

2 −i

‘

‘

w postaci trygonometrycznej. Oblicz liczbe z 6 .

‘



 

 



1

3

− 3

Zad.2 (3 pt.) Sprawdż, czy wektory  2  ,  2  ,  2 

− 1

− 2

1

tworza baze przestrzeni R3 .

‘

‘

Zad.3 (6 pt.) PrzeksztaÃlcenie liniowe F : R3 → R3 zadane jest w bazie standardowej macierza





‘

3

− 1 0

 − 1

2

1 . Uzasadnij, że F jest izomorfizmem i wyznacz macierz przeksztaÃlcenia odwrot-4

0

1





2

nego F − 1 . Wyznacz wektor v speÃlniajacy równanie F ( v) =  − 1 . Ile jest rozwiazań tego

‘

‘

1

równania?

Zad. 4 (7 pt.) Oblicz objetość graniastosÃlupa w R3 , którego podstawa jest trójkat ABC,

‘

‘

‘

a krawedziami bocznymi odcinki AA0, BB0, CC0, gdzie: A = (1 , 2 , − 1) , B = ( − 1 , 2 , 0) , C =

‘

(1 , 2 , − 2) , A0 = (2 , 1 , − 2) , B0 = (0 , 1 , − 1) , C0 = (2 , 1 , − 3) .

Zad. 5 (8 pt.) SformuÃluj warunek konieczny i wystarczajacy istnienia rozwiazania ukÃladu

‘

‘

równań liniowych. Zbadaj dla jakich wartości parametru p ukÃlad równań x + 2 y − z = 1; − 2 x + 5 y + 3 z = 2; − 4 x + y + 5 z = p ma: (a) dokÃladnie jedno rozwiazanie; (b) nie ma rozwiazań; (c) ma nieskończenie wiele rozwiazań.

‘

‘

‘

Wyznacz rozwiazania ukÃladu równań

‘

x + 2 y − z = 1; − 2 x + 5 y + 3 z = 2; − 4 x + y + 5 z = 0 .

1