Różnica pierwszego rzędu dla funkcji dyskretnej, określonej jako
f(nTP) = f(t)│ dla t = nTP
dana jest wzorem (tzw. różnica „do przodu”)
∆ f(nTp) = 1/Tp { f [(n + 1)TP] - f [nTP] }.
Przyjmując dla dalszych rozważań Tp = 1, otrzymamy
∆ f(n) = f (n + 1) - f (n).
Różnicę n-tego rzędu definiujemy jako
∆ Kf(n) = ∆ K-1f (n + 1) - ∆ K-1f (n) .
Różnicę k-tego rzędu możemy wyrazić za pomocą sumy próbek sygnału w postaci
∆ kf(n) = Σ r (k)
i
f ( n + i ),
gdzie współczynniki r (k)
i
(przy próbkach przesuniętych (n+i) we wzorze na
k-tą różnicę) dane są wzorem na symbol Newtona (z modyfikacją znaku)
r (k)
i
= (-1)k-i k!/[(k-i)! i!] .
Wartości r (k)
i
łatwo określić budując tzw. trójką t Pascala i modyfikując w nim znaki dla nieparzystych wartości (k-i).
Tabela współczynników ri
k \ i
0
1
2
3
4
5
0
1
1
-1
1
2
1
-2
1
3
-1
3
-3
1
4
1
-4
6
-4
1
5
-1
5
-10
10
-5
1
A zatem, dla równania różnicowego w ogólnej postaci
Σ ci ∆ iy(n) = Σ di ∆ iu(n) otrzymujemy równanie algebraiczne, będące kombinacją liniową ważonych
próbek sygnału wejściowego i wyjściowego, w postaci
Σ a iy(n + i) = Σ bi u(n + i).
Przykład 1: Rozwiązać równanie różnicowe:
2∆ 3y(n) + 4∆ 2y(n) + 3∆ y(n) + y(n) = u(n)
dla zerowych warunków początkowych i u(n) = 1(n).
K \ i
0
1
2
3
ak
0
1
2
3
0
1
1
1
1
-1
1
3
-3
3
2
1
-2
1
4
4
-8
4
3
-1
3
-3
1
2
-2
6
-6
2
ai = Σ
0
1
-2
2
y(n+1) - 2 y(n+2) + 2y(n+3) = u(n)
Wprowadzając nowy argument n := n + 3, otrzymujemy
y(n) = 0,5u(n-3) + y(n-1) – 0,5y(n-2).
Wartości kilku pierwszych próbek wyjścia obliczono w poniższej tabeli n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u(n-3)
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
y(n-2)
0
0
0
0,0
0,0
0,500 1,00 1,250 1,250 1,125 1,000
y(n-1)
0
0
0
0,0
0,5
1,000 1,25 1,250 1,125 1,000 0,938
y(n)
0
0
0
0,5
1,0
1,250 1,25 1,125 1,000 0,938 0,938
oraz przedstawiono na rys.1.
Rys. 1. Odpowiedź skokowa obiektu z przykładu 1
1,4
1,2
1
) 0,8
u(n)
(nh 0,6
y(n)
0,4
0,2
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
n - 1
Uwagi.
Dla rzeczywistych układów przyczynowych równanie wiążące próbki
wyjściowe z wejściowymi przy pominięciu zakłóceń opisuje model ARMA
(A uto-Regressive Moving Average - model autoregresyjny z ruchomą
ś rednią) w postaci
y(n) + a1y(n-1) + a2 y(n-2) + ··· + anA y(n-nA) = b1 u(n-1) +··· + bnB u(n-nB).
Wprowadzając symbol q-1 oznaczający opóźnienia w czasie o jeden pomiar (takt) oraz przyjmując oznaczenie t na czas dyskretny (!) równanie modelu ARMA przyjmuje postać
A(q -1) yt = B(q -1) ut ,
(1)
gdzie wielomiany A i B mają postać
A(q -1)= 1+ a1 q -1+ a2 q -2+ ··· +anA q –nA,
(2a)
B(q -1)= b1 q -1+ b2 q -2+ ··· +bnB q –nB.
(2b)
Ogólnie równanie (1) zapisuje się w postaci
A(q -1) yt = B(q -1) ut-d ,
(3)
lub
y(t) = yt = u(t-d) B(q -1)/ A(q -1)
(4)
gdzie wielomian B przyjmuje teraz postać
B(q -1)= b0 + b1 q -1+ b2 q -2+ ··· +bnB q –nB.
(5)
a opóźnienie układu dyskretnego spełnia warunek d ≥ 1.
Trochę o regresji, autoregresji i oznaczaniach
Regresją nazywamy funkcyjną zależność zmiennej losowej od innej zmiennej z dokładnością do błędu losowego o wartości oczekiwanej równej
zero. W zapisie formalnym zależność przybiera postać
Y = f( X) + ε,
gdzie Y - zmienna losowa, f(X) - funkcja regresji, X - dowolna zmienna (lub ich zespół), ε - zaburzenie losowe przy założeniu E(ε )=0.
Regresja określa zależność pomiędzy X i Y. Wyznaczanie postaci funkcji regresji nazywamy analizą regresji. Estymatory poszczególnych parametrów równania otrzymywane są przy użyciu odpowiednich metod
statystycznych, takich jak np. metoda najmniejszych kwadratów. Mówiąc o
autoregresji mamy na myśli zależność wartości y(n) od ich poprzednich wartości, czyli od y(n-1), y(n-2),…, y(n-nA), gdzie n oznacza numer (chwilę) pomiaru. W analizie i identyfikacji obiektów dyskretnych przyjęło się obecnie, że „czas dyskretny”, tzn. określony przez chwile próbkowania nTp oznacza się też małą literą t, która oznacza teraz czas dyskretny.
Nazwa „ruchoma średnia” odnosi się do ważonego uśredniania próbek
wejściowych ograniczonych przesuwającym się okienkiem czasowym
umieszczonym w chwili ( n-1) o szerokości nB próbek.
Symbol opóźnienia q -1 używany jest dla odróżnienia przesunięcia w dziedzinie czasu od operatora zespolonego z -1 w zapisie transmitancji obiektów G(z -1) lub G(z), którą zapisuje się za pomocą wielomianów o tej samej postaci, tzn.
G(z -1)= B(z -1) / A(z -1) .
Wartości współczynników ai oraz bi zależą od okresu próbkowania przebiegów ciągłych. Zera wielomianu A to bieguny transmitancji układu dyskretnego, których wartości decydują o stabilności układu.