oraz procentów na ułamki
Przedmowa
Opracowanie to jest napisane z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozumieją o co chodzi w procentach. Prawie wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione „na chłopski rozum” z zachowaniem poprawności matematycznej. To jest tylko część opracowania o procentach i promilach. Pełną wersję znajdziesz tutaj:
http://matematyka.strefa.pl/procenty_i_promile.pdf
Spis tematów
1. Pojęcie procentu ........................................................................................................................................................... 2
— Zamiana ułamków zwykłych i dziesiętnych na procenty ....................................................................................... 2
— Zamiana procentów na ułamki dziesiętne i zwykłe ............................................................................................... 5
Wersja z dnia: 03.05.2011
www.matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 1
Jest tu zrozumiale wyjaśniona zamiana liczby na procent oraz procentów na ułamki. Rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego wykonania wraz z odpowiedziami. Sprawdzian z matematyki stanie się łatwizną. To jest darmowy e-book pdf. Download go.
Definicja:
Procent — inny zapis ułamka zwykłego o mianowniku 100.
Procent zapisuje się przy użyciu symbolu %.
Zamiana ułamków zwykłych i dziesiętnych na procenty
Procent sprawia, że zamiast pisać możesz napisać 17%. Jeśli pod kreską ułamkową jest liczba 100, to możesz ją
zamienić na symbol %, a przed tym symbolem napisać liczbę która była nad kreską ułamkową. Innymi słowy:
— zamiast pisać możesz napisać 23%
— zamiast pisać możesz napisać 427%
— zamiast pisać , możesz napisać 1,8%
— zamiast pisać , możesz napisać 0,49%
Łatwe, prawda? No to teraz spróbuj samodzielnie wykonać poniższe ćwiczenie.
Ćwiczenie: Zamień podane ułamki na procenty.
a)
b)
c) ,
d) ,
e)
[Odp. a) 79%, b) 324%, c) 15,8%, d) 0,6%, e) 100%.]
No dobra, a co będzie, jeśli ułamek nie będzie mieć w mianowniku liczby 100? Da się zamienić na procent? Tak, da się zamienić, ale trzeba go będzie najpierw doprowadzić do mianownika 100 i dopiero potem zamienić go na procent, tak jak to był robione wyżej.
Przypuśćmy, że masz ułamek i chcesz go zamienić na procent. Ponieważ nie ma on w mianowniku (pod kreską
ułamkową) liczby 100, więc zastanawiasz się, przez ile trzeba pomnożyć liczbę 25 by otrzymać 100. Tą liczbą jest oczywiście 4, więc liczbę nad kreską tj. 8 mnożysz przez 4 i liczbę pod kreską tj. 25 także mnożysz przez 4.
8
8 ∙ 4
32
=
=
= 32%
25
25
ᇣ ∙
ᇤ 4
ᇥ
100
ݎݖݏݖ݁ݎݖܽ݊݅݁
ݑłܽ݉݇ܽ
Ćwiczenie: Wykonując poprawne rozszerzenie danego ułamka, zapisz go za pomocą procentu.
a)
b)
c)
d)
e)
[Podpowiedź. Przez ile trzeba pomnożyć liczbę pod kreską, by otrzymać 100? Odp. a) 16%, b) 90%, c) 35%, d) 60%, e) 50%.]
Czasami może zdarzyć się i tak, że dany ułamek pod kreską ułamkową może mieć liczbę większą od 100. Wówczas musisz się zastanowić przez ile trzeba ją podzielić by otrzymać liczbę 100 i przez tyle samo podzielić liczbę która jest w liczniku. Jako przykład niech posłuży ułamek . Aby z liczby 200 otrzymać liczbę 100, musisz ją podzielić przez 2.
Zatem liczbę 14 także musisz podzielić przez 2. Masz więc:
14
14 ∶ 2
7
=
=
= 7%
200
200
ᇣᇧ ∶
ᇤᇧ2
ᇥ 100
ݏ݇ݎܽܿܽ݊݅݁
ݑłܽ݉݇ܽ
Wersja z dnia: 03.05.2011
www.matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 2
Jest tu zrozumiale wyjaśniona zamiana liczby na procent oraz procentów na ułamki. Rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego wykonania wraz z odpowiedziami. Sprawdzian z matematyki stanie się łatwizną. To jest darmowy e-book pdf. Download go.
19
19 ∶ 5
3,8
=
=
= 3,8%
500
500
ᇣᇧ ∶
ᇤᇧ5
ᇥ 100
ݏ݇ݎܽܿܽ݊݅݁
ݑłܽ݉݇ܽ
Ćwiczenie: Wykonując poprawne skracanie danego ułamka, zapisz go za pomocą procentu.
a)
b)
c)
d)
e)
[Podpowiedzi. Przez ile trzeba podzielić liczbę pod kreską, by otrzymać 100? Co się robi z przecinkiem jeśli liczbę trzeba podzielić przez 10? Aby liczbę 1 podzielić przez 5 wystarczy wykonać działanie: 1 ∶ 5 = భ = మ = 0,2. Odp. a) 4%, b) 1%, c) 2%, d) 32,9%, e) 0,2%.]
ఱ
భబ
W niektórych przypadkach liczby która jest w mianowniku nie da się zamienić na liczbę 100 metodami opisanymi wyżej. Przykładem takiego ułamka jest choćby . Ani rozszerzanie go, ani skracanie nie da pod kreską liczby 100.
Można jednak wykonać coś takiego:
24
24 ∶ 8
3
3 ∙ 25
75
=
=
=
=
= 75%
64
64
ᇣ ∶
ᇤ 8
ᇥ
4
4 ∙
ᇣ 25
ᇤᇥ
100
ݏ݇ݎܽܿܽ݊݅݁
ݎݖݏݖ݁ݎݖܽ݊݅݁
ݑłܽ݉݇ܽ
ݑłܽ݉݇ܽ
Ćwiczenie: Wykonując poprawne skracanie i rozszerzanie danego ułamka, zapisz go za pomocą procentu.
a)
b)
c)
d)
e)
[Podpowiedzi: c) Najpierw rozszerz ten ułamek przez 4, a potem skróć go przez 10, e) Najpierw rozszerz ten ułamek przez 25, a potem skróć go przez 20.
Odp. a) 40%, b) 25%, c) 1,2%, d) 120%, e) 1,25%.]
To ćwiczenie już było trochę trudniejsze od poprzednich, zgadza się? Nie masz jednak co się nim przejmować, bo za-raz podam jeden uniwersalny sposób który pozwoli każdy ułamek zamienić na procent bez konieczności zastana-wiania się, przez ile trzeba go rozszerzyć lub skrócić. Nim jednak to zrobię, zauważ, że na początku tego tematu pisa-
łem m.in. że:
23 = 23%
100
czyli po zamianie powyższego ułamka zwykłego na dziesiętny, masz taki zapis: 0,23 = 23%
Wniosek 1: Przecinek został przesunięty o 2 miejsca w prawo i został dopisany symbol %.
Wniosek 2: Powyższa zamiana ułamka dziesiętnego na procent, jest równoważna wykonaniu działania: 0,23 ⋅ 100% = 23%
Zapamiętaj:
Aby zamienić ułamek dziesiętny na procent,
wystarczy przesunąć w nim przecinek
o 2 miejsca w prawo
i dopisać symbol %.
Ćwiczenie: Zamień podane liczby na procenty wykonując odpowiednie przesunięcie przecinka.
a) 0,26
b) 1,47
c) 14
d) 0,(83)
e) – 0,16
f) – 2,01
g) 12,8
h) 0,0008
[Odp. a) 26%, b) 147%, c) 1400%, d) 83,(83)%, e) –16%, f) –201%, g) 1280%, h) 0,08%.]
Wersja z dnia: 03.05.2011
www.matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 3
Jest tu zrozumiale wyjaśniona zamiana liczby na procent oraz procentów na ułamki. Rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego wykonania wraz z odpowiedziami. Sprawdzian z matematyki stanie się łatwizną. To jest darmowy e-book pdf. Download go.
Wniosek 3: Skoro ułamek dziesiętny jest tylko inną postacią ułamka zwykłego, więc przy zamianie ułamków zwykłych na procenty, również można wykonać mnożenie przez 100%.
Zapamiętaj:
Aby zamienić ułamek zwykły na procent,
wystarczy pomnożyć go przez 100%.
Przykłady:
23
427
1,8
0,49
⋅ 100% = 23%
⋅ 100% = 427%
⋅ 100% = 1,8%
⋅ 100% = 0,49%
100
100
100
100
16
9
3
150
⋅ 100% = 40%
⋅ 100% = 25%
⋅ 100% = 1,2%
⋅ 100% = 120%
40
36
250
125
Pisząc to opracowanie zakładam, że umiesz mnożyć ułamek zwykły przez liczbę naturalną (w tym przypadku przez 100) oraz, że pamiętasz, że przy takim mnożeniu można skracać mianownik danego ułamka z liczbą która jest za ułamkiem, czyli w tym przypadku z liczbą 100.
Taki sposób zamieniania ułamków na procenty, jest bardzo często wykorzystywany w chemii przy obliczaniu tzw. stężenia procentowego roztworów.
Spostrzeżenie: Tą metodą można zamieniać na procenty nawet te ułamki zwykłe, które mają mianownik nie dający się przekształcić za pomocą mnożenia lub dzielenia na liczbę 100.
Przykłady:
1
100
1
100
⋅ 100% =
% = 33 %
⋅ 100% =
% = 14 %
3
3
7
7
Ćwiczenie: Zamień podany ułamek na procent, mnożąc go przez 100%.
a)
b)
c)
d)
e)
ଷ
ଶ
[Odp. a) 60%, b) 160%, c)
%, d)
%, e) 62,5%.]
ଵସ
ଷ
W oparciu o to co już wiesz, wyucz się na pamięć, że:
1
1
= 1%
= 25%
1 = 100%
100
4
1
1
= 10%
= 50%
2 = 200%
10
2
1
3
= 20%
= 75%
10 = 1000%
5
4
1
2
3
= 33 %
= 66 %
= 100%
3
3
3
Wersja z dnia: 03.05.2011
www.matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 4
Jest tu zrozumiale wyjaśniona zamiana liczby na procent oraz procentów na ułamki. Rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego wykonania wraz z odpowiedziami. Sprawdzian z matematyki stanie się łatwizną. To jest darmowy e-book pdf. Download go.
Zamiana procentów na ułamki dziesiętne i zwykłe
To o czym będę mówić w tym podtemacie jest czynnością odwrotną do tych omówionych poprzednio. Otóż do tej pory zamienialiśmy ułamki na procenty, a teraz będziemy zamieniać procenty na ułamki.
Poprzednio pokazywałem, że:
0,23 = 23%
a teraz będę pokazywać, że:
23% = 0,23
Wniosek:
Aby zamienić procent na ułamek dziesiętny,
wystarczy przesunąć w nim przecinek
o 2 miejsca w lewo
i skreślić symbol %.
Ponieważ powyższe przesuwanie przecinka o 2 miejsca w lewo jest równoważne dzieleniu przez 100, więc poprawny jest również zapis:
23
ᇣ %
ᇧᇧ ∶
ᇧ 100
ᇤᇧᇧ %
ᇧᇥ = 0,23
% ę
ą
Ćwiczenie: Zamień podane procenty na liczbę. [Podpowiedź. Przesuń przecinek o 2 miejsca w lewo i skreśl symbol %.]
a) 26%
b) 1,47%
c) 14%
d) 0,83%
e) 0,06%
f) 2,01%
g) 12,8%
h) 0,0008%
[Odp. a) 0,26, b) 0,0147, c) 0,14, d) 0,0083, e) 0,0006, f) 0,0201, g) 0,128 h) 0,000008.]
Skoro ułamek dziesiętny jest tylko inną postacią ułamka zwykłego, więc przy zamianie procentów na ułamki zwykłe, również można wykonać dzielenie przez 100%.
Zapamiętaj:
Aby zamienić procent na ułamek zwykły,
wystarczy podzielić go przez 100
i skreślić symbol %.
Jest to równoważne podzieleniu danego procentu przez 100%.
Przykłady:
28
14
7
1
1
1
1
31
1
31
28
ᇣ %
ᇧᇧ ∶
ᇧ 100
ᇤᇧᇧ %
ᇧᇥ =
=
=
% ∶ 100% =
⋅
=
5 % ∶ 100% =
⋅
=
100
50
25
4
ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ 4 100 400
ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
6
100
600
% ę
% ę
ą
% ę
ą
ą
Ćwiczenie: Zamień podane procenty na liczbę.
a) 47%
b) 261%
c) 0,9%
d) %
e) 8మ%
య
ଵ
ଵଷ
[Odp. a) 0,47, b) 2,61, c) 0,009, d)
, e)
.]
ଶଶ
ଵହ
Ćwiczenie: Zamień podany procent na ułamek zwykły nieskracalny i wpisz jeden ze znaków: >, <, =.
a) 60%
b) 30%
c) 3భ 310%
d) 70%
ల
Wersja z dnia: 03.05.2011
www.matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 5
Jest tu zrozumiale wyjaśniona zamiana liczby na procent oraz procentów na ułamki. Rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego wykonania wraz z odpowiedziami. Sprawdzian z matematyki stanie się łatwizną. To jest darmowy e-book pdf. Download go.
Zadanie: masy ogórków stanowi woda. Jaki to procent?
Ponieważ w treści zadania jest użyte sformułowanie „jaki to procent”, więc rozwiązanie tego zadania po-lega na zapisaniu podanego ułamka za pomocą symbolu %. Skoro procent to inny zapis ułamka o mianowniku 100, więc dany ułamek rozszerzasz do mianownika 100 (w tym przypadku liczbę która jest nad kreską ułamkową mnożysz przez 4 i liczbę pod kreską również mnożysz przez 4). Masz więc: 24 ⋅ 4
96
=
= 96%
25 ⋅ 4
100
Odp.: Woda w ogórkach stanowi 96% ich masy.
ଶସ
Ponieważ zamiana liczby na procenty odbywa się poprzez pomnożenie jej przez 100%, więc powyższe zadanie można też było rozwiązać w taki sposób:
⋅ 100% = 96%.
ଶହ
W myślach skróciłem liczbę 25 z liczbą 100 przez 25.
Ćwiczenie: W stu gramach masła jest osiemdziesiąt jeden gramów tłuszczu. Ile procent masy tego masła stanowi tłuszcz? [Podpowiedź. Zapisz za pomocą ułamka zwykłego jaką częścią tego masła jest tłuszcz, a potem zamień napisany ułamek na procenty. Odp.: 81%.]
Ćwiczenie: W stu gramach margaryny jest sześćdziesiąt osiem gramów tłuszczu. Ile procent masy tej margaryny stanowi tłuszcz? [Podpowiedź. Zapisz za pomocą ułamka zwykłego jaką częścią masy tej margaryny jest masa tłuszczu, a potem zamień napisany ułamek na procenty. Odp.: 68%.]
Ćwiczenie: Margaryna niskotłuszczowa o masie 450 g zawiera tylko 90 g tłuszczu. Ile procent masy tej margaryny stanowi tłuszcz? [Podpowiedź. Zapisz za pomocą ułamka zwykłego jaką częścią masy tej margaryny jest masa tłuszczu, a potem zamień napisany ułamek na procenty. Odp.: 68%.]
Wersja z dnia: 03.05.2011
www.matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 6
Jest tu zrozumiale wyjaśniona zamiana liczby na procent oraz procentów na ułamki. Rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego wykonania wraz z odpowiedziami. Sprawdzian z matematyki stanie się łatwizną. To jest darmowy e-book pdf. Download go.