Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Maria Małycha

Zadania na plusy

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Maria Małycha

Zadania na plusy

Zadanie 1

Zadanie 6

Iloma sposobami można ustawić dziesięć osób w

Ile można utworzyć czterokolorowych chorągiewek z

jednym rzędzie, a iloma w koło? Czy wynik ulegnie

sześciu barw, jeżeli barwy rozumiemy jako kolorowe

zmianie, jeżeli osoby tworzące koło zaczną się po-

pasy pionowe występujące obok siebie?

ruszać po okręgu tego koła trzymając się za ręce?

Zadanie 7

(Ruch po okręgu odbywa się zgodnie z ustalonym

Grupa dzieci w przedszkolu bierze udział w zabawie.

obiegiem.)

W jednej z faz zabawy dzieci łączą się w pary. Ile

Zadanie 2

dzieci brało udział w zabawie, jeżeli wiadomo, że

Podczas zawodów lekkoatletycznych w biegu na

mogły połączyć się w pary na 110 sposobów?

100 m startowało siedmiu zawodników.

Ile było

Zadanie 8

możliwych wyników ukończenia biegu, jeżeli:

Z ilu osób składa się grupa, jeżeli wiadomo, że

a) wszyscy zawodnicy ukończyli bieg,

można je posadzić w trzyosobowych ławkach na

b) jeden z zawodników nie ukończył biegu i jego

sześć sposobów?

nazwisko nie jest znane,

Zadanie 9

c) jeden z zawodników nie ukończył biegu i jego

W klasie liczącej 37 uczniów rozlosowano trzy bilety

nazwisko jest znane.

jednoosobowe do trzech różnych teatrów.

Ile jest

UWAGA: Zawodnicy nie dzielą miejsc ex aequo.

możliwych wyników losowania?

Zadanie 3

Zadanie 10

Na lekcji wychowania fizycznego nauczyciel ustawił

W sali kinowej fotele ponumerowane są od 1 do 400,

piętnastu chłopców w rzędzie polecając im wyko-

po dwadzieścia foteli w każdym rzędzie. Piętnasto-

nywać pewne ćwiczenia kolejno, przy czym uczeń,

osobowa wycieczka kupując bilety prosiła, aby były

który ćwiczenie już wykonał, przechodził na koniec.

one na miejsca w rzędzie siódmym i ósmym, żeby

Zajęcie trwało tak długo, aż wszyscy chłopcy wyko-

w siódmym rzędzie otrzymało bilety dwie trzecie

nali ćwiczenie, to znaczy uczeń stojący na początku

uczestników wycieczki i aby osoby siedzące w rzędzie

ponownie znalazł się na swoim miejscu. Czy w ten

ósmym nie siedziały za osobami w rzędzie siódmym.

sposób wyczerpano wszystkie możliwe ustawienia

(Warunek dotyczy tylko uczestników wycieczki.) Ile

tych uczniów w jednym rzędzie?

istnieje sposobów kupienia biletów spełniających

Zadanie 4

żądane warunki?

Na przystanku do autobusu wsiada grupa pasażerów Zadanie 11

składająca się z sześciu kobiet i czterech mężczyzn.

Czterech studentów zdaje egzamin. Iloma sposobami

Ile istnieje wszystkich możliwych realizacji wejścia

mogą im być wystawione noty, jeżeli wiadomo, że

pasażerów do autobusu, jeżeli pierwsze wsiadają

żaden student nie otrzyma oceny niedostatecznej?

kobiety, wszyscy wsiadają tylko tylnymi drzwiami i

Zadanie 12

wsiadanie odbywa się pojedynczo?

Iloma sposobami można umieścić w trzech szufladach

Zadanie 5

pięć koszul?

W rajdzie pieszym uczestniczy grupa młodzieży

Zadanie 13

składająca się z pięciu harcerek i czterech harcerzy.

Iloma sposobami można umieścić w czterech szufla-

Maszerują w szyku zwanym „gęsiego”. Ile istnieje

dach sześć koszul i pięć swetrów?

różnych sposobów ustawienia się, jeżeli:

Zadanie 14

a) harcerze nie mogą sąsiadować z harcerzami, a

Alfabet Morse’a zbudowany jest z dwóch różnych

harcerki z harcerkami,

elementów, kreski i kropki.

Ile znaków pisarskich

b) ustawienie w kolumnie jest dowolne.

można utworzyć z tych elementów, jeżeli każdy znak

Których możliwości jest więcej?

nie może posiadać mniej niż 3 i więcej niż 6 miejsc

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Maria Małycha

Zadania na plusy

oznaczonych kreskami lub kropkami?

środkowych tarcz, z których każda podzielona jest na

Zadanie 15

pięć sektorów z napisanymi cyframi od 1 do 5. Zamek

W konkursie literackim jury rozpatruje dziesięć

otwiera się tylko w takim położeniu, przy którym

następujących prac z czego pięć najlepszych może

cyfry tworzą określoną liczbę czterocyfrową. Oblicz

być nagrodzonych. Ile istnieje wszystkich możliwości

prawdopodobieństwo tego, że przy przypadkowym

przyznania nagród niezależnie od werdyktu jury,

ustawieniu tarcz zamek będzie można otworzyć.

jeżeli wiadomo, że każdą z nagród można przyznać

Zadanie 25

nawet kilku autorom równorzędnych co do wartości

W szafie znajduje się pięć par butów. Wyjęto z szafy

prac?

w sposób losowy cztery buty. Oblicz prawdopodo-

Zadanie 16

bieństwo, że wśród wybranych butów nie ma ani

Iloma sposobami można rozdzielić cztery zaproszenia jednej pary.

na akademię między pięć osób?

Zadanie 26

Zadanie 17

Z pięciu prętów, których długości są odpowiednio

W klasie liczącej 25 uczniów należy wybrać ośmio-

równe 1 2 3 4 5 jednostek długości wybieramy

,

,

,

,

osobową delegację, która będzie reprezentowała

losowo trzy.

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

klasę na szkolnej uroczystości. Ile istnieje sposobów

można z nich zbudować trójkąt prostokątny.

wybrania tej delegacji?

Zadanie 27

Zadanie 18

Podczas zjazdu delegacja złożona z sześciu mężczyzn

W klasie liczącej 20 chłopców należy wybrać dwie

oddała do szatni swoje płaszcze. Ze względu na dużą

sześcioosobowe drużyny do turnieju siatkówki. Ile

liczbę delegatów i wynikający stąd nieporządek nie

istnieje sposobów sformowania wspomnianych dru-

wydano delegacji płaszczy prawidłowo, ale w sposób

żyn?

losowy. Jak wielkie jest prawdopodobieństwo, że ża-

UWAGA: Uczeń może być zawodnikiem tylko w

den członek delegacji nie otrzyma swojego płaszcza?

jednej drużynie.

Zadanie 28

Zadanie 19

Cztery młode małżeństwa umówiły się, że po pracy

Z talii 52 kart losujemy bez zwracania dziesięć. Na

pójdą razem na basen, oznaczając jako miejsce

ile sposobów możemy wylosować asa kier?

spotkania kasę przy wejściu.

Z pewnych wzglę-

Zadanie 20

dów umówione osoby przychodziły pojedynczo i o

Z talii 52 kart losujemy bez zwracania trzynaście.

ustalonej godzinie były już cztery z ośmiu. Oblicz

Ile istnieje możliwych wyników losowania, w których

prawdopodobieństwo, że wśród nich jest co najmniej

wylosujemy dwa asy?

jedno małżeństwo.

Zadanie 21

Zadanie 29

Samorząd klasowy składa się z sześciu uczniów i

Trzynastotomową encyklopedię ustawiono na półce,

czterech uczennic.

Spośród członków samorządu

przy czym poszczególne tomy ustawione są obok

w sposób losowy wybrano pięcioosobową delegację.

siebie w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo,

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wybra-

że encyklopedię ustawiono w kolejności tomów, to

nych będą trzy uczennice.

znaczy od numeru najmniejszego do największego

Zadanie 22

lub od największego do najmniejszego.

Na przystanku tramwajowym czeka na tramwaj linii

Zadanie 30

31 dziesięciu pasażerów. Wiedząc, że tramwaj składa

Oblicz prawdopodobieństwo, że każda z wybranych

się z dwóch wagonów, oblicz prawdopodobieństwo sześciu osob będzie obchodziła urodziny w innym zdarzenia polegającego na tym, że do każdego

miesiącu, przy czym miesiącami urodzin mogą być

wagonu wsiądzie pięciu pasażerów.

tylko te, które mają po trzydzieści jeden dni.

Zadanie 23

Trzydziestoosobowa klasa udała się do kina.

Po-

nieważ dzieci nie miały biletów, po dojściu do kina

ustawiły się w pojedynczej kolejce do kasy, przy

czym ustawienie miało charakter losowy.

Oblicz

prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym,

że między dwojgiem ustalonych dzieci stanęło w

kolejce dokładnie dziesięć innych.

Zadanie 24

Zamek kasy pancernej składa się z czterech współ-