Macierz sztywności Globalny układ
u
Lokalny układ
F
jY
jX
x
j u
współrzędnych
jX
współrzędnych
u jy Fjx
j
u jx
FjY
y
Fjy
L
y
Y
L
u
F
iY
iX
α
i u
uiy
iX
uix
F
Fix
i
iY
Lx
Fiy
X
Wektor przem ieszczeń węzłowych węzła Wektor przem ieszczeń węzłowych elementu e
początkowego i oraz końcowego j w lokalnym w lokalnym układzie współrzednych układzie współrzednych
u
ix
u
u
u'
u
ix
jx
e
i
iy
u' =
u' =
u' =
=
i
u
j
u
u'
u
iy
jy
j jx
u
jy
Wektor sił węzłowych węzła początkowego i
Wektor sił węzłowych elem entu e w lokalnym oraz końcowego j w lokalnym układzie układzie współrzednych
współrzednych
F
ix
f'
F
F
F
e
i
ix
jx
iy
f' =
f' =
f' =
=
f'
i
F
j
F
F
j
jx
iy
jy
F
jy
Związek między wektoram i sił i przem ieszczeniami węzłowymi e
e
e
K' ⋅u' = f'
Wrównania rownowagi:
ΣF = F
+ F
= 0
ΣF = F
+ F = 0
ΣM = F ⋅L = 0
x
ix
jx
y
iy
jy
i
jy
F
= F
−
F
= F
−
F
= 0
ix
jx
iy
jy
<=======
jy
F
= 0
iy
Prawo Hookeà:
σ = E⋅ε
i
j
j
N
N
N
∆L
= E⋅
N
A
L
σ =
L
∆L
A
N⋅L
∆L
∆L =
ε =
E⋅A
F
= N
−
F
= N
L
ix
∆L = u
− u
jx
jx
ix
E⋅A
E⋅A
N =
⋅∆L
N =
⋅ u − u
(
)
L
L
jx
ix
Siły wyrażone w przem ieszczeniach: E⋅A
E⋅A
F
= N
− =
⋅ u − u
(
)
F
= N =
⋅ u − u
(
)
ix
L
ix
jx
jx
L
jx
ix
Zapis macierzowy:
e
e
e
⋅
⋅
K' ⋅u' = f'
E A
E A
0 −
0
u
F
ix
ix
L
L
E⋅A
E⋅A
F
=
⋅u + 0⋅u −
⋅u + 0⋅u
u
F
ix
0
0
0
0
iy
iy
L
ix
iy
L
jy
jy
⋅
=
E⋅A
E⋅A
u
F
−
⋅
0
0
jx jx
E A
F
=
⋅ u − u
(
)
L
L
ix
ix
jx
u
F
L
0
0
0
0
jy
jy
e
e
e
K
u
f
Macierz sztywności elementu w lokalnym układzie współrzędnych:
E⋅A
E⋅A
Zapis blokowy:
0 −
0
L
L
e
0
0
0
0
e
J'
J
− '
E⋅A 1 0
K' =
=
⋅
K' =
gdzie
J'
E⋅A
E⋅A
J
− ' J'
L
0 0
−
0
0
L
L
0
0
0
0
Obrót układu współrzednych: Y
u
= u ⋅cosα − u ⋅sinα
c = cosα
iX
ix
iy
x
s = sinα
y
u
= u ⋅sinα + u ⋅cosα
iY
ix
iy
u is
x
inα
uix
u
u
u
iX
c s
−
ix
iy
u
i c
y
osα
=
⋅
α
u
s c u
iY
iy
u is
y
inα
u ic
x
osα
Macierz transformacji
u
u
c
s
−
ix
iX
R =
u' =
u =
u = R ⋅u'
i
s c
i
u
i
i
i
i
u
iy
iY
u
u
iX
ix
c
s
− 0 0
R
0
e
i
e
e
e
u
u
R =
=
⋅
iY
s
c
0 0
iy
u
R u'
0
R
=
⋅
j
u
0 0 c s
− u
jX
jx
0 0
s
c
u
u
jY
jy
Transf ormacj a wektorów sił w węźle: Transf ormacj a wektorów sił węzłowych elementu: e
e e
f = R ⋅f'
f = R ⋅f'
i
i i
Macierz sztywności elementu w globalnym układzie współrzędnych: e
e
e
K' ⋅u' = f'
związek łączący przemieszczenia i siły węzłowe w lokalnym układzie współrzędnych Lewostronne przemnożenie przez macierz obrotu elem entu e
e
e
e e
R ⋅K' ⋅u' = R ⋅f'
−
−
−
−
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
m acierz
( ) 1
e
( ) 1
e
= (
)T
= (
) 1
= (
) 1
u = R ⋅u'
R
⋅u
R
⋅R ⋅u'
u'
R
⋅u
R
R
R
ortogonalna
e
e
= (
)T e
u'
R
⋅u
e
e
e
⋅( )T e
e e
e
e e
R ⋅K'
R
⋅u = R ⋅f'
f = R ⋅f'
e
e
e
⋅( )T e
e
R ⋅K'
R
⋅u = f
e
e
e
e
=
⋅( )T
K
R ⋅K'
R
e e
e
związek łączący przemieszczenia i siły węzłowe w globalnym układzie współrzędnych K ⋅u = f
E⋅A
E⋅A
0 −
0
c
s
− 0 0
L
L
c s 0 0
c
s
− 0 0
1 0 1
−
0
c s 0 0
e
s
c
0 0
0
0
0
0
s
− c 0 0
E⋅A
s
c
0 0
0 0 0 0
s
− c 0 0
K =
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
0 0 c s
− E⋅A
E⋅A
0 0 c s
L
0 0 c s
− 1
−
0
1
0 0
0
c
s
−
0
0
0 0
s
c
L
L
0 0 s
− c
0 0 s c 0 0 0 0 0 0 s
− c
0
0
0
0
2
2
c
cs
c
−
cs
−
c
0
c
− 0
c s 0 0
2
2
e
E⋅A
s
0
s
− 0
s
− c 0 0
E⋅A
sc
s
s
− c
s
−
K =
⋅
⋅
=
⋅
L
c
−
0
c
0 0
0
c
s
L
2
2
c
−
cs
−
c
cs
s
−
0
s
0 0 0
s
− c
2
2
s
− c
s
−
sc
s
Macierz sztywności elementu w globalnym układzie współrzędnych: 2
2
c
cs
c
−
cs
−
Zapis blokowy:
2
2
e
sc
s
s
− c
s
−
K =
2
J
−
⋅
c
sc
2
2
e
J
E A
c
−
cs
−
c
cs
=
⋅
K =
gdzie
J
!
J
−
J
L
2
sc s
2
2
s
− c
s
−
sc
s
Wykorzystanie składowych wektora elem entu: 2
x
Lx
Lx
Ly Lx
y
c = cosα =
⋅
2
L =
j
L
⋅
L
L
L
⋅
Lx
Lx⋅Ly
Y
Lsinα
E A
E A
J =
⋅
=
⋅
L
Ly
L
2
3
2
s = sinα =
α
X
Ly Lx
Ly
L
L
Lx⋅Ly Ly
⋅
i
L =
L L L
X
Lcosα
2
E⋅A
Lx
Lx⋅Ly
J =
⋅
3
2
L
Lx⋅Ly Ly