CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI RZECZYWISTEJ JEDNEJZMIENNEJ
Funkcję f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x tzn. dla x takich, że 0
x − x < a, a > 0 nazywamy ciągłą w x gdy funkcja f posiada w x skończoną granicę 0
0
0
oraz lim f ( x) = f ( x )
0
x→ x 0
Funkcję f będzie określona i ograniczona w pewnym otoczeniu ( x − a, x + a a > 0
0
),
0
punktu x , oraz niech funkcja f będzie nieciągła w x
0
0
Mówimy, że f ma NIECIĄGŁOŚĆ 1-GO RODZAJU jeżeli istnieje skończona granica
jednostronna lim f ( x) , lim f ( x) przy czym, jeżeli f ma granicę lim f ( x) , to x
+
→ 0
x
x
−
→ 0
x
x→ x 0
nieciągłość funkcji f w x nazywamy USUWALNĄ, a jeżeli nie istnieje granica lim f ( x) 0
x→ x 0
to nieciągłość tą nazywamy NIEUSUWALNĄ.
Mówimy, że funkcja f ma w x NIECIĄGŁOŚĆ 2-GO RODZAJU jeżeli nie istnieje 0
choćby jedna z granica jednostronnych.
Twierdzenie 1
Jeżeli funkcja f , g są ciągłe w x , to funkcja f ± g , f ⋅ g są też ciągłe w x .
0
0
f
Jeżeli ponad to g( x) ≠ 0 to
jest funkcją ciągłą w x .
g
0
TWIERDZENIE O CIĄGŁOŚCI SUPERPOZYCJI FUNKCJI CIĄGŁYCH
Jeżeli funkcja wewnętrzna g jest ciągła w x , a funkcja f jest ciągła g( x ) = µ to funkcja 0
0
0
złożona f o g = f ( g) jest ciągła w x .
0
Niech funkcja f będzie określona dla x ∈< x , x + a > , a > 0
0
0
Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w x jeżeli
0
∀ ∃ ∀ [ x ≤ x < δ ⇒ f ( x) − f ( x ) < ε
0
0
]
ε >0 δ >0 ∈
x D
f
Niech funkcja f będzie określona dla x ∈< x − a, x > , a > 0
0
0
Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w x jeżeli
0
∀ ∃ ∀ [ x − δ < x ≤ x ⇒ f ( x) − f ( x ) < ε
0
0
0
]
ε >0 δ >0 ∈
x D
f
Mówimy, że funkcja f <
: a, b >→ ℜ jest ciągła na przedział domknięty < a, b > jeżeli funkcja f jest ciągła w każdym punkcie x ∈
oraz prawostronnie ciągła w x = a
0
( a, b)
0
1
0
Mówimy, że funkcja f : X → ℜ gdzie X jest przedziałem ograniczonym lub nieograniczonym osi rzeczywistej, jest jednostronnie ciągła na X jeżeli
∀
∃
∀ [ x −
' x'' < δ ⇒ f ( x') − f ( x'') < ε ]
ε
>0 δ =δ (ε )>0 x', x' ∈
' X
Każda funkcja jednostronnie ciągła na X jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału x' = x ∈ X . Istnieją funkcje ciągłe, które nie są jednostajnie ciągłe.
0
WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH NA PRZEDZIALE DOMKNIĘTYM
Zakładamy, że funkcja f : a, b → ℜ jest ciągła na a, b 1) Funkcja f jest jednostajnie ciągła na a, b
2) Funkcja f jest ograniczona na a, b , tzn.
∃
∀
f ( x) ≤ M
M >0 x∈ a, b
3) Funkcja f osiąga swoje kresy, tzn. istnieją takie Punty x , x ∈ a, b , że: 1
2
inf f ( x) = f ( x ) sup f ( x) = f ( x ) 1
2
x∈ a, b
x∈ a, b
4) Jeżeli f ( a) − f ( b) < 0 to istnieje taki punkt c ∈ a, b , że f ( c) = 0
5) Twierdzenie o własnościach Darbouxl
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale I (niekoniecznie domkniętym) oraz przyjmuje w punktach x , x ∈ I x < x dwie różne wartości y = f ( x ) y = f ( x ) to funkcja f 1
2
1
2
1
1
2
2
w przedziale x , x
przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między y , y tj.
1
2
1
2
∀
∃
y = f ( x )
0
0
y ∈ y , y
x ∈ x ,
0
1
2
0
1 x 2
Wniosek
Wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym a, b wypełnia przedział domknięty inf f ( x), sup f ( x)
x∈ a, b
x∈ a, b
6) Jeżeli funkcja f jest funkcją różnowartościową, ciągłą na przedziale domkniętym
a, b to funkcja odwrotna f jest ciągła na przedział
inf f ( x), sup f ( x)
1
−
x∈ a, b
x∈ a, b
2