CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI RZECZYWISTEJ JEDNEJZMIENNEJ

Funkcję f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x tzn. dla x takich, że 0

x − x < a, a > 0 nazywamy ciągłą w x gdy funkcja f posiada w x skończoną granicę 0

0

0

oraz lim f ( x) = f ( x )

0

x→ x 0

Funkcję f będzie określona i ograniczona w pewnym otoczeniu ( x − a, x + a a > 0

0

),

0

punktu x , oraz niech funkcja f będzie nieciągła w x

0

0

Mówimy, że f ma NIECIĄGŁOŚĆ 1-GO RODZAJU jeżeli istnieje skończona granica

jednostronna lim f ( x) , lim f ( x) przy czym, jeżeli f ma granicę lim f ( x) , to x

+

→ 0

x

x

−

→ 0

x

x→ x 0

nieciągłość funkcji f w x nazywamy USUWALNĄ, a jeżeli nie istnieje granica lim f ( x) 0

x→ x 0

to nieciągłość tą nazywamy NIEUSUWALNĄ.

Mówimy, że funkcja f ma w x NIECIĄGŁOŚĆ 2-GO RODZAJU jeżeli nie istnieje 0

choćby jedna z granica jednostronnych.

Twierdzenie 1

Jeżeli funkcja f , g są ciągłe w x , to funkcja f ± g , f ⋅ g są też ciągłe w x .

0

0

f

Jeżeli ponad to g( x) ≠ 0 to

jest funkcją ciągłą w x .

g

0

TWIERDZENIE O CIĄGŁOŚCI SUPERPOZYCJI FUNKCJI CIĄGŁYCH

Jeżeli funkcja wewnętrzna g jest ciągła w x , a funkcja f jest ciągła g( x ) = µ to funkcja 0

0

0

złożona f o g = f ( g) jest ciągła w x .

0

Niech funkcja f będzie określona dla x ∈< x , x + a > , a > 0

0

0

Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w x jeżeli

0

∀ ∃ ∀ [ x ≤ x < δ ⇒ f ( x) − f ( x ) < ε

0

0

]

ε >0 δ >0 ∈

x D

f

Niech funkcja f będzie określona dla x ∈< x − a, x > , a > 0

0

0

Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w x jeżeli

0

∀ ∃ ∀ [ x − δ < x ≤ x ⇒ f ( x) − f ( x ) < ε

0

0

0

]

ε >0 δ >0 ∈

x D

f

Mówimy, że funkcja f <

: a, b >→ ℜ jest ciągła na przedział domknięty < a, b > jeżeli funkcja f jest ciągła w każdym punkcie x ∈

oraz prawostronnie ciągła w x = a

0

( a, b)

0

1

i lewostronnie ciągła x = b

0

Mówimy, że funkcja f : X → ℜ gdzie X jest przedziałem ograniczonym lub nieograniczonym osi rzeczywistej, jest jednostronnie ciągła na X jeżeli

∀

∃

∀ [ x −

' x'' < δ ⇒ f ( x') − f ( x'') < ε ]

ε

>0 δ =δ (ε )>0 x', x' ∈

' X

Każda funkcja jednostronnie ciągła na X jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału x' = x ∈ X . Istnieją funkcje ciągłe, które nie są jednostajnie ciągłe.

0

WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH NA PRZEDZIALE DOMKNIĘTYM

Zakładamy, że funkcja f : a, b → ℜ jest ciągła na a, b 1) Funkcja f jest jednostajnie ciągła na a, b

2) Funkcja f jest ograniczona na a, b , tzn.

∃

∀

f ( x) ≤ M

M >0 x∈ a, b

3) Funkcja f osiąga swoje kresy, tzn. istnieją takie Punty x , x ∈ a, b , że: 1

2

inf f ( x) = f ( x ) sup f ( x) = f ( x ) 1

2

x∈ a, b

x∈ a, b

4) Jeżeli f ( a) − f ( b) < 0 to istnieje taki punkt c ∈ a, b , że f ( c) = 0

5) Twierdzenie o własnościach Darbouxl

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale I (niekoniecznie domkniętym) oraz przyjmuje w punktach x , x ∈ I x < x dwie różne wartości y = f ( x ) y = f ( x ) to funkcja f 1

2

1

2

1

1

2

2

w przedziale x , x

przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między y , y tj.

1

2

1

2

∀

∃

y = f ( x )

0

0

y ∈ y , y

x ∈ x ,

0

1

2

0

1 x 2

Wniosek

Wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym a, b wypełnia przedział domknięty inf f ( x), sup f ( x)

x∈ a, b

x∈ a, b

6) Jeżeli funkcja f jest funkcją różnowartościową, ciągłą na przedziale domkniętym

a, b to funkcja odwrotna f jest ciągła na przedział

inf f ( x), sup f ( x)

1

−

x∈ a, b

x∈ a, b

2