Macierze nieosobliwe Macierze nieosobliwe definiujemy tylko dla macierzy kwadratowych.
Definicja 1.
Macierz nazywamy macierz A
ą nieosobliwą, jeżeli istnieje macierz B
n× n
n× n
taka że: A⋅ B = B⋅ A = I Twierdzenie 1.
Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to macierz B z definicji 1 jest jedyna.
Definicja 2.
Jeżeli macierz A jest nieosobliwa, to jedyną macierz B z definicji 1
nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy A-1. O macierzy A mówimy też, że jest macierzą odwracalną.
Definicja 3.
Macierz, która nie jest macierzą nieosobliwą, jest nieodwracalna i osobliwa.
Twierdzenie 2.
Z: ( X , K,+,⋅) przestrzenie wektorowe nad
cia
(
łem K z ustalonymi bazami
Y , K, +,⋅)
dim X = dim Y = n M
f
- macierz odwzorowania
f : X → Y - odwzorowanie liniowe T: f- odwzorowanie izomorficzne jest mac
⇔ M
ierzą nieosobliwą.
f
Ponadto:
(
−
M
= M
f ) 1
1
f −
Przykład 1.
Znaleźć macierz odwrotną.
1
−
0
1
( 3
\ ,\, +,⋅)
( 3
\ ,\, +,⋅)
1
1 0
=
−
A
X
Y
0
1
1
A = M f
B = ( e , e , e
- baza kanoniczna
1
2
3 )
3
\ ∋ x = ( x , x , x = x , x , x
→ y = y , y , y = y , y , y 1
2
3 )
[ 1 2 3]
(
B
1
2
3 )
[ 1 2 3] B
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 2
Część 7 – Macierze nieosobliwe
−1 0 1 x y
1
1
1
1 0 x y
−
=
2
2
0
1
1 x y
3 3
− x + x = y 1
3
1
x − x = y 1
2
2
x + x = y 2
3
3
1
1
1
x = − y + y + y 1
1
2
2
2
2 3
1
1
1
x = − y − y + y 2
1
2
2
2
2 3
1
1
1
x =
y + y + y
3
1
2
3
2
2
2
1
1
1
−
2
2
2
x
y
1
1
1
1 1
x
= −
−
⋅ y
2
2
2
2 2
x
y
3
3
1
1
1
2
2
2
1
A−
1
1
1
−
2 2 2
−
1
1 1
A 1
= −
−
2
2 2
1
1
1
2
2
2
WNIOSEK:
1) A- macierz nieosobliwa, to A-1 też jest macierzą nieosobliwą i (A-1)-1=A 2) A,B –macierze nieosobliwe, to A·B też macierz nieosobliwa i (A·B)-1= B-1·A-1
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 2
Część 7 – Macierze nieosobliwe