Algebra z elementami równań różniczkowych
Dr Marian Gewert
Wykład 01
Równania różniczkowe zwyczajne
V =V S =S śątźą V śątźą=s ' śątźą S ' śątźą=V
- równanie różniczkowe.
0 0
Przez rząd pochodnej określa się rząd równania.
a=a0 S ' ' śąt źą=a0 /
+"
S ' śątźą=V / S ' śątźą dt= V dt
+" +" +"
0 0
S ' ' śątźą dt= a0 dt S ' śątźą=a0tƒÄ…C1 /
+" +" +"
S śąt źą=V tƒÄ…C C "! S śąt0źą=S0
0
1
S śąt0źą=V t0ƒÄ…C =S C =S =V t0 sśątźą= a0 t2ƒÄ…C1 tƒÄ…C2
0 0 0 0
2
S śąt źą=V tƒÄ…S -V t0=V śąt-t0źąƒÄ…S0
0 0 0 0
S śąt0źą=S V śąt0źą=S ' śąt0źą=V
0 0
W rozwiązaniu równania rzędu pierwszego mamy 1 stałą dowolną, w równaniu rzędu drugiego  2
stałe dowolne itd.
Rozpad pierwiastka promieniotwórczego:
mśąt źą - masa pierwiastka w chwili t
m ' śątźą=-kmśąt źą , ką0 mśąt źąą0
ln#"C#" - nie jest ograniczeniem bo przebiega
ln
m'
m'=-km =-k /
+"
wszystkie liczby rzeczywiste
m
m ' śątźą
dt=-k dt ln#"mśąt źą#"=-ktƒÄ…ln#"C#"
+" +"
mśąt źą
ln#"mśątźą#"=ln e-ktƒÄ…ln#"C#" C`"0
ln#"mśątźą#"=ln#"C#"e-kt #"mśątźą#"=#"C#"e-kt
mśąt źą=Ce-kt C`"0
mśątźą=Ce-kt C "!
m '=-km mśą0 źą=m0
mśątźą=Ce-kt mśą0źą=C=m0
mśątźą=m0 e-kt
Definicja:
śąRźą y ' = f śąt , yźą
Równanie postaci nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym w postaci
normalnej, rzędu pierwszego.
Definicja:
y= yśąt źą śąa ,bźą y' śątźą= f śąt , yśątźąźą
Funkcję nazywamy rozwiązaniem (R) na przedziale jeżeli
t"śąa , bźą
dla .
Uwaga:
´Ä…śąt , y źą=0
Rozwiązanie równania (R) w postaci (uwikłanej) nazywamy całką równania (R). Np.
y2ƒÄ…ey ln t=0
yśąt0źą= y0 nazywamy
y ' = f śąt , yźą
Równanie różniczkowe oraz warunek (początkowy)
zagadnieniem poczÄ…tkowym.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Definicja:
śąS źą y' =g śąt źąh śą yźą
Równanie postaci nazywamy równaniem różniczkowym o rozdzielonych
zmiennych
Uwaga:
h śą y0źą=0 yśątźąa" y0
Niech wtedy jest rozwiązaniem równania (S).
y' śątźąa"0 g śąt źąh śą y śątźąźą= g śątźą h śąy0źą=0
y' =etƒÄ… y=et ey jest równaniem o rozdzielonych zmiennych.
y' =sinśątyźą
nie jest równaniem o rozdzielonych zmiennych.
Założenia:
g śąt źą śąa ,bźą h śą yźą
" Niech będzie funkcją ciągłą na przedziale a funkcją ciągłą na
śąc , d źą h śą yźą`"0 y"śąc , d źą
przedziale i dla .
y= y śąt źą y' śątźą=g śąt źąhśą yśątźąźą
" Niech będzie rozwiązaniem równania (S), czyli .
y ' śątźą y ' śątźą
=g śąt źą dt= g śątźą dt
Zatem a całkując mamy
+" +"
hśą y śąt źąźą h śą y śątźąźą
y ' śątźą
dy
dy dy
y śąt źą= y
dt= = śą y źą
= g śąt źądtƒÄ…C
+" +"
stÄ…d +" +" gdzie +" zawiera
[ ]
hśą yśątźąźą h
y' śątźądt=dy hśą yźą h śą yźą
wszystkie możliwe rozwiązania i nazywa się całką równania, a to już jest jakaś funkcja
+"g śątźą dt
C
pierwotna dlatego dodajemy .
dy
= g śąt źądtƒÄ…C
Warunek +" +" określa wszystkie całki równania (S) przy powyższych
hśą yźą
założeniach.
ALGORYTM ROZWI
ZYWANIA RÓWNANIA (S)
dy dy dy
y' =g śąt źąh śą yźą =g śąt źąh śą yźą = g śątźą dt / = g śątźą dtƒÄ…C
+" +" +"
dt hśą yźą h śą yźą
y' = y-1 gśąt źąa"1 h śą yźą= y-1
Scałkować równanie:
dy dy
y' = y-1 = y-1 =dt / h śą yźą=0 Ô! y =1 y' śąt źą=1
+"
dt y -1
dy
= dt ln#"y-1#"=tƒÄ…ln#"C#"
+" +"
y
Jeżeli jest
y-1
ln
przedstawiony jako to
y-1=Cet C `"0 yśąt źą=aƒÄ…Cet , C`"0
C tez może być
y śątźąa"1
Ô! y śątźą=1ƒÄ…Cet , C "!
ln
przedstawione jako dla
yśątźą=1ƒÄ…Cet , C`"0
ułatwienia obliczeń.
1-t 1 dy 1-t
y '= g śątźą=1-t hśą yźą= =
yƒÄ…1 yƒÄ…1 dt yƒÄ…1
śą1ƒÄ… yźą dy=śą1-tźądt / śą1ƒÄ… yźą dy= śą1-tźą dt
+" +" +"
1 1
śą1ƒÄ… yźą2=- śą1-t źą2ƒÄ…C
2 2
Rodzina okręgów
śą yƒÄ…1źą2ƒÄ…śąt-1źą2=C Śą
2
y' = , yśą1źą=2
Zadanie: Rozwiązać zagadnienie początkowe: .
ty2
dy 1 2 1
= y2 dy= dt / y3=2lntƒÄ…C y3=6ln tƒÄ…C yśątźą=3 6 ln tƒÄ…C
ćą
+"
dt t 3
ty2
3
y śą1źą=3 C=2 C=8 y śąt źą= 6lntƒÄ…8 , tÄ…0
ćą ćą
Równania liniowe
Definicja:
śą Lźą y 'ƒÄ… pśąt źą y=q śąt źą
Równanie postaci nazywamy równaniem liniowym.
q śątźąa"0 q śątźą`"0
Jeżeli to równanie (L) nazywamy liniowym jednorodnym. Jeżeli natomiast to
równanie (L) nazywamy liniowym niejednorodnym.
Równania liniowe jednorodne
pśątźą q śątźą śąa , bźą
Niech funkcje i są funkcjami ciągłymi na przedziale .
śą LJ źą y 'ƒÄ… pśąt źą y=0 y'=- pśąt źą y Ô! g śątźą= p śątźą , h śą yźą= y
Rozwiązaniem każdego równania (LJ) jest 0 oraz:
dy dy
y' =- p śątźą y =- p śątźą y =- p śątźądt /
+"
dt y
ln#"y#"=- p śątźądtƒÄ…ln#"C#", C`"0
+"
yśąt źą=Ce-+" pśąt źądt , C`"0'" yśąt źą=0
yśąt źą=Ce-+" p śątźą dt , C "!
Zagadnienie poczÄ…tkowym jest:
dy
y' - y=0 y '= y =dt ln#"y#"=tƒÄ…ln#"C#" y=Cet , C"! pśąt źądt= Pśąt źą y śąt źą=Ce-P śąt źą
+"
y
y0
yśąt0źą= y0 t0"śąa , bźą yśąt0źą=Ce-P śąt0źą- y0 C =
0
e-P śąt źą
0
y śąt źą= y0 e-śąP śątźą-P śąt źąźą