Area

de un Paralelepipedo

formado por 3 vectores R

3

Se busca demostrar que el volumen de el paralelepipedo formado por 3 vectores en R

3

se puede

hallar resolviendo V = det(

0

@

u

G

u

G

:

v

G

u

G

:w

G

u

G

:

v

G

v

G

2

v

G

:

w

G

u

G

:w

G

v

G

:

w

G

w

G

2

1

A

)

v

u

u

u

t

partiendo unicamente de las 3 componentes

respectivas de cada vector.

Volumen paralelepipedo= det

u

G

:u

G

u

G

:v

G

u

G

:v

G

v

G

: v

G

s

A= L . h

- Ecuacion

del area

de un paralelogramo

A=

v

G

:

h

-

u

y

v

sonvectores

R

3

,

h

es la altura del

h=

k

u

G

k

:

Sen

paralelogramo,

eselanguloentre

u

G

y

v

G

A

2

=

v

G

k

2

:

h

2

- A

2

=L

2

:

h

2

A

2

=

v

G

k

2

:

u

G

k

2

:

(Sen

)

2

A

2

=

v

G

2

:

u

G

2

:

S en

2

-

a

G

k

2

=

a

G

:a

G

=

a

G

2

donde

a

G

es un vector

=

v

G

2

:

u

G

2

:

S e

n

2

=

v

G

2

:

u

G

2

:

(1

?

Cos

2

)

- Sen

2

+Cos

2

=1

=

v

G

2

:

u

G

2

?

(Cos

)

2

:

u

2

:

v

2

- (Cos)

2

=Cos

2

=

v

G

2

:

u

G

2

?

(

u

G

:

v

G

k

u

G

k

:

k

v

G

k

)

2

:u

G

2

:v

G

2

- Cos=

a

G

: b

G

a

G

:

b

G

donde

a

G

y

b

G

sonvectores

=

v

G

2

:

u

G

2

?

(

(u

G

:

v

G

)

2

(u

G

:

v

G

)

2

):u

G

2

:v

G

2

-

a

G

k

2

=

a

G

:a

G

=

a

G

2

donde

a

G

es un vector

=

v

G

2

:

u

G

2

?

( 1):

( u

G

:v

G

)

2

(Area base)

2

= det

u

G

:u

G

u

G

:v

G

u

G

:v

G

v

G

:

v

G

- det

a

b

d

c

=

a:c

?

b:d

1

V= B . h

- Ecuacion

del volumen del paralelepipedo

V

2

= B

2

:

h

2

B

2

= det

u

G

:u

G

u

G

:v

G

u

G

:v

G

v

G

: v

G

- como se demostro en la parte posterior

h

G

=

w

G

?

(

u

G

:k

+

v

G

:l

)

-

k

y

l

son escalares

h

2

=(

w

G

?

(

u

G

:k

+

v

G

:l

))

2

-

a

G

k

2

=

a

G

: a

G

=

a

G

2

donde

a

es un vector

V

2

=det

u

G

: u

G

u

G

:v

G

u

G

:v

G

v

G

:v

G

:h

2

= det

0

@

u

G

2

u

G

:v

G

0

u

G

:v

G

v

G

2

0

0 0

h

2

1

A

= det(

0

B

@

u

G

2

u

G

:v

G

u:

G

h

G

u

G

:v

G

v

G

2

v

G

: h

G

u

:

G

h

G

v

G

: h

G

h

2

1

C

A

)

-

u

G

y

v

G

son ortogonales a

h

G

;

u:

G

h

G

=

v

G

:h

G

=0

= det(

0

@

u

G

v

G

h

1

A

.

0

@

u

G

v

G

h

1

A

t

)

= det(

0

@

u

G

v

G

w

G

?

u

G

:k

?

v

G

:l

1

A

).det(

0

@

u

G

v

G

w

G

?

u

G

:k

?

v

G

: l

1

A

t

)

- det(

A: B

)=det(

A

)

:

det(

B

)

=det(

0

@

u

G

v

G

w

G

1

A

.

0

@

1 0 0

0 1 0

?

k

?

l

1

1

A

).det(

0

@

u

G

v

G

w

G

1

A

t

:

0

@

1 0 0

0 1 0

?

k

?

l

1

1

A

t

)

- por sistema homogeneo

=det(

0

@

u

G

v

G

w

G

1

A

)

:

det(

0

@

1 0 0

0 1 0

?

k

?

l

1

1

A

)

:

det(

0

@

u

G

v

G

w

G

1

A

t

)

:

det(

0

@

1 0 0

0 1 0

?

k

?

l

1

1

A

t

)

=det(

0

@

u

G

v

G

w

G

1

A

)

:

1

:

det(

0

@

u

G

v

G

w

G

1

A

t

)

:

1

V= det(

0

@

u

G

u

G

: v

G

u

G

:w

G

u

G

:v

G

v

G

2

v

G

:w

G

u

G

: w

G

v

G

:w

G

w

G

2

1

A

)

v

u

u

u

t

* El marco teorico fue tomado de

http://descartes.cnice.mecd.es/

, enciclopedia matematica del

govierno Espanol

~ , y desarrollado por m.

2