1

Kinematyka bryły

2

Kinematyka bryły materialnej

A

B

v

Rzuty prędkości dowolnych
dwóch punktów ciała sztywnego
na prostą przechodzącą przez te
punkty są sobie równe

A

v

v

A

′

v

′

B

B

β

α

cos

v

cos

v

B

A

⋅

=

⋅

Ruch postępowy bryły

4

Ruch postępowy bryły materialnej

A

B

B

B

A

A

ρ

= const

ρ

ρ

ρ

Niech bryła porusza się tak, że jej położenia chwilowe są równoległe
do położenia początkowego.
Taki ruch nazywać będziemy ruchem postępowym.

5

Ruch postępowy bryły materialnej

A

O

B

B

B

A

A

ρ

ρ

ρ

A

r

B

r

= const

ρ

ρ

+

=

A

B

r

r

W ruchu postępowym tor dowolnego punktu jest taki sam jak tor
innego punktu. Tory (trajektorie) punktów bryły są przesunięte
równolegle względem siebie. Mogą być krzywymi lub prostymi (ruch
prostoliniowy).

6

a

a

a

a

i

B

A

=

=

=

Prędkości wszystkich punktów bryły poruszającej się

ruchem postępowym są w danej chwili wektorami równymi.

Ruch postępowy bryły materialnej

v

v

v

v

i

B

A

=

=

=

Przyspieszenia wszystkich punktów bryły poruszającej się

ruchem postępowym są w danej chwili wektorami równymi.

2

Ruch obrotowy bryły

8

Ruch obrotowy bryły materialnej

z

Rozpatrzmy ruch bryły mającej dwa
punkty nieruchome.

W takim przypadku bryła może
jedynie obracać się dookoła osi
przechodzącej przez te dwa punkty.

Oś ta zwana jest osią obrotu.

Ciało wykonujące ruch obrotowy ma jeden
stopień swobody. Do określenia położenia
tego ciała w przestrzeni potrzebna jest tylko
jedna współrzędna.

9

Ruch obrotowy bryły materialnej

y

x

π

0

π

z

( )

t

ϕ

kąt obrotu ciała

ϕ

=

ϕ

(t) [rad]

Kąt który tworzy płaszczyzna
ruchoma

ππππ

z

nieruchomą

płaszczyzną

ππππ

0

nazywamy

kątem obrotu ciała.
Kąt ten określa położenie ciała
sztywnego w przestrzeni.
Kąt obrotu ciała będziemy
uważali

za

dodatni

jeżeli

patrząc z grotu osi obrotu ciało
obracać się będzie przeciwnie
do ruchu wskazówek zegara.

Kąt obrotu jest funkcją czasu.

10

Prędkość kątowa w ruchu obrotowym.

Pierwszą pochodną kąta obrotu względem czasu nazywamy
prędkością kątową ruchu obrotowego.

Prędkość kątowa to wektor leżący na osi obrotu ciała.

Zwrot wyznaczamy z reguły śruby prawoskrętnej biorąc pod
uwagę kierunek obrotów.

Moduł wektora prędkości kątowej wynosi:

( )













=

s

rad

t

ϕ

ω

&

11

Przyspieszenie w ruchu obrotowym

Drugą pochodną kąta obrotu nazywamy przyspieszeniem
kątowym ruchu obrotowego.

Przyspieszenie kątowe to wektor leżący na osi obrotu ciała.

Zwrot zgodny ze zwrotem wektora prędkości kątowej gdy ruch
jest przyspieszony lub zwrot przeciwny do zwrotu wektora
prędkości kątowej gdy ruch jest opóźniony.

Moduł wektora przyspieszenia kątowego wynosi:

( )













=

=

2

s

rad

t

ϕ

ω

ε

&

&

&

12

Ruch obrotowy bryły materialnej

z

y

x

π

0

π

ϕ

ε

ω

( )

t

ϕ

ϕ

=

( )

t

ϕ

ω

&

=

( )

t

ϕ

ω

ε

&

&

&

=

=

Kąt obrotu

Prędkość kątowa

Przyspieszenie kątowe

3

13

Ruch obrotowy bryły materialnej

z

A

y

x

ε

ω

A

r

A

h

Prędkość liniowa punktu bryły w
ruchu obrotowym jest równa
iloczynowi wektorowemu prędkości
kątowej ruchu obrotowego bryły
sztywnej przez promień wektor
łączący dowolny punkt na osi obrotu
bryły z rozpatrywanym punktem.

A

A

r

v

×

=

ω

(

)

A

A

A

r

,

sin

r

v

ω

ω

∠

⋅

⋅

=

A

A

h

v

⋅

=

ω

14

Prędkość punktu bryły

A

z

y

x

ε

ω

A

h

A

v

A

A

h

v

⋅

=

ω

15

Rozkład prędkości punktów

v

A













⋅

=

s

m

h

v

i

i

ω

16

Przyspieszenie punktu bryły materialnej

(

)

A

A

A

r

r

a

×

×

+

×

=

ω

ω

ε

A

A

A

v

r

a

×

+

×

=

ω

ε

(

)

A

A

A

r

dt

d

v

a

×

=

=

ω

&

Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły sztywnej
poruszającej się ruchem obrotowym jest wektorową sumą
dwóch przyspieszeń: przyspieszenia stycznego i normalnego

17

Przyspieszenie styczne punktu bryły materialnej

A

t

A

r

a

×

=

ε













⋅

=

2

A

t
A

s

m

h

a

ε

Kierunek wektora przyspieszenia stycznego jest kierunkiem
stycznym do toru rozpatrywanego punktu.

Zwrot zależy od tego czy ruch jest przyspieszony czy opóźniony.
Jeżeli jest przyspieszony to zwrot wektora przyspieszenia
stycznego

jest

zgodny

ze

zwrotem

wektora

prędkości

rozpatrywanego punktu. Jeżeli jest opóźniony to zwrot wektora
przyspieszenia stycznego jest przeciwny.

Wartość wektora

18

Przyspieszenie normalne punktu bryły

(

)

A

n

A

r

a

×

×

=

ω

ω

A

2

n
A

h

a

⋅

=

ω

Kierunek wektora przyspieszenia normalnego jest prostopadły do
kierunku wektora prędkości kątowej (prostopadły do osi obrotu) i
prostopadły do wektora prędkości liniowej rozpatrywanego punktu
czyli pokrywa się z promieniem okręgu po którym w danej chwili
porusza się rozpatrywany punkt.

Zwrot zawsze do osi obrotu.

Wartość wektora

4

19

Ruch obrotowy bryły materialnej

z

ε

ω

A

h

A

A

n

a

t

A

a

20

Rozkład przyspieszeń punktów

n

A

t

A

A

a

a

a

+

=

t

A

a

n

A

a

A

a

( ) ( )

2

n
A

2

t
A

A

a

a

a

+

=

Moduł wektora

Dla dowolnego punktu znajdującego się na promieniu możemy
napisać

4

2

i

i

h

a

ω

ε

+

=

(

)

(

)

2

A

2

2

A

A

h

h

a

⋅

+

⋅

=

ω

ε