Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Zadania dla poziomu rozszerzonego są wyróżnione kursywą.

Z

Z

A

A

D

D

A

A

N

N

I

I

A

A

D

D

O

O

P

P

O

O

W

W

T

T

A

A

R

R

Z

Z

A

A

N

N

I

I

A

A

P

P

R

R

Z

Z

E

E

D

D

M

M

A

A

T

T

U

U

R

R

Ą

Ą

Zestaw IX Rachunek prawdopodobieństwa

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie

!

5

2

=











 n

Zadanie 2.
Z cyfr 0, 1, 2, …, 9 układamy takie liczby czterocyfrowe, że w każdej z tych liczb cyfra dziesiątek
jest taka sama jak cyfra setek. Ile takich liczb można ułożyć, jeśli cyfry w nich mogą się powtarzać?

Zadanie 3.
Nauczyciel matematyki przygotował zestaw 30 zadań z rachunku prawdopodobieństwa, wśród któ-
rych jest 20 zadań z poziomu podstawowego i 10 z poziomu rozszerzonego. Z tych zadań nauczy-
ciel układa pięciozadaniowe sprawdziany tak, aby w każdym sprawdzianie były 3 zadania z pozio-
mu podstawowego i 2 zadania z rozszerzonego. Ile sprawdzianów nauczyciel może ułożyć, jeśli
dwa sprawdziany różniące się choćby jednym zadaniem są uznawane za różne, a kolejność zadań
w sprawdzianie nie jest istotna?

Zadanie 4.
W urnie są dwie kule białe – mała i duża oraz trzy kule czarne – mała, średnia i duża. Mała kula
biała i mała kula czarna mają taki sam promień i również taki sam promień mają kule: duża biała i
duża czarna. Z urny wyciągamy losowo równocześnie dwie kule. Wymień wszystkie zdarzenia
elementarne

a)

tworzące zbiór

Ω

,

b)

sprzyjające zdarzeniu A: wylosowane dwie kule mają różną wielkość.

Następnie oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.

Zadanie 5.
Zdarzenia A oraz B są podzbiorami tej samej przestrzeni

Ω

, przy czym P(A) = 0,76; P(B

′

) = 0,38

i

82

,

0

)

(

=

∪

B

A

P

. Oblicz:

a)

)

(

B

A

P

∩

,

b)

)

'

'

(

B

A

P

∪

.

Zadanie 6.
Uzasadnij, że jeśli każdą z trzech danych liczb dodatnich zwiększymy o p%, to otrzymamy trzy
nowe liczby, których średnia jest o p% większa od średniej danych liczb. Jak można uogólnić to
twierdzenie?

Zadanie 8.
Z pełnej talii kart zawierającej 52 karty losujemy kolejno i bez zwracania dwie karty. Oblicz praw-
dopodobieństwo tego, że druga wylosowana karta jest dziesiątką pod warunkiem, że pierwsza wy-
losowana karta jest waletem.

Zadanie 9.
Do pierwszych klas pewnego liceum przyjęto uczniów tylko z trzech gimnazjów:

3

2

1

i

,

G

G

G

. Licz-

by uczniów przyjętych z tych gimnazjów są odpowiednio w stosunku 2 : 3 : 3, a wśród nich dziew-
częta stanowią odpowiednio 62,5%, 75% i 50%. Z listy przyjętych uczniów losujemy jedną osobę.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowaliśmy dziewczynkę.

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Zadanie 7.
Entuzjasta grzybobrania był, w sezonie 2003 roku, aż 20 razy na grzybach. Poniższy diagram
przedstawia rezultaty tych 20 wypraw na grzyby.

Oblicz:

a)

ś

rednią liczbę kilogramów grzybów przypadającą na jedno grzybobranie,

b)

odchylenie standardowe liczby kilogramów grzybów.

Zadanie 10.
Pewien koszykarz trafia piłką do kosza z prawdopodobieństwem 0,8. Koszykarz ten ma wykonać
trzy rzuty karne. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwa razy trafi piłką do kosza.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0 kg

1 kg

2 kg

3 kg

Liczba kilogramów
zebranych grzybów

C

z

ę

st

o

ść

(

li

cz

b

a

g

rz

y

b

o

b

ra

ń

)

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Odpowiedzi:

1.

n = 16

2.

900

3.

51300

4.

a) Zbiór

Ω

tworzą wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru pięciu kul. Takich podzbiorów

jest 10
b) Zbiór A tworzą wszystkie dwuelementowe podzbiory kul o różnych promieniach. Takich
podzbiorów jest 8; P(A) =

5

4

5.

a) 0,56 b) 0,44

6.

Twierdzenie jest prawdziwe dla n liczb dodatnich ( n = 2, 3, 4,…)

7.

a) 1,15 b) ok. 0,73

8.

51

4

9.

8

5

10.

0,896