RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B

Lista nr 1

1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u(t) na okładkach kondensatora

w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C, jeśli w chwili
zamknięcia obwodu na okładkach kondensatora zgromadzone były ładunki elektryczne Q

0

i

−Q

0

(Q

0

> 0).

2. W hali o objętości 200 m

3

powietrze zawiera 0, 15% dwutlenku węgla. Wentylator podaje w

ciągu minuty 20 m

3

powietrza zawierającego 0, 04% CO

2

. Ułożyć równanie różniczkowe na

zależność stężenia dwutlenku węgla w hali od czasu.

3. Dwa stulitrowe zbiorniki, jeden zawierający 20% wodny roztwór soli, a drugi czystą wodę,

połączono układem dwóch pomp. W pewnej chwili włączono pompy pracujące w przeciw-
nych kierunkach z prędkością 10 l/min. Ułożyć równanie różniczkowe na zależność stężenia
roztworu w pierwszym zbiorniku od czasu.

4. Ciało o masie m jest umocowane do sprężyny o współczynniku sprężystości k, i zanurzone

w lepkiej cieczy o współczynniku tłumienia p. Znaleźć równanie różniczkowe opisujące ruch
ciała.

Lista nr 2

1. Funkcja y = y(t) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego

y

0

= t

2

+ y

2

,

y(1) = 2.

Obliczyć y

0

(1), y

00

(1) i y

000

(1).

2. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych:

a) y

0

= −

y

t

,

b) y

0

= 1 +

1

y

,

c) y

0

= 1 +

1

y

2

,

d) y

0

= −2ty,

e) y

0

= e

t−y

.

3. Za pomocą odpowiednich podstawień znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań róż-

niczkowych:

a) y

0

= (t + y)

2

, b) y

0

= t + y + 1, c) y

0

=

1

t + y − 1

,

d) y

0

= e

t+y

− 1.

4. Znaleźć rozwiązania następujących zagadnień początkowych (i podać dziedziny tych rozwią-

zań):

a) y

0

= 1 + y

2

,

y(0) = 0,

b) y

0

= −y

2

,

y(0) = 1,c) y

0

= y cos t,

y(0) = 1,

d) y

0

tg t = y,

y(π/2) = 1,

e) (1 + y

2

) − tyy

0

= 0,

y(1) = 0.

5. Znaleźć rozwiązania równań różniczkowych z zadań 1.1 i 1.2.

6. Znaleźć krzywą o tej własności, że w dowolnym jej punkcie współczynnik kierunkowy stycznej

jest równy stosunkowi rzędnej do odciętej punktu styczności wziętej ze znakiem przeciwnym.

7. Znaleźć krzywą o tej własności, że odcinek stycznej do niej, zawarty między osiami układu

współrzędnych, jest dzielony na połowy przez punkt styczności.

8. Zmiana liczebności N pewnych populacji organizmów żywych w czasie opisywana jest rów-

naniem logistycznym

dN

dt

= αN (K − N ),

gdzie α i K są stałymi dodatnimi.

a) Znaleźć rozwiązanie ogólne równania logistycznego.

b) Zbadać monotoniczność

i asymptoty (przy t → ∞) rozwiązań równania logistycznego odpowiadających warunkom
początkowym N (0) > 0.

(Wsk.: Rozpatrzyć trzy przypadki: N (0) ∈ (0, K), N (0) = K,

N (0) > K).

9. Według prawa Newtona szybkość ochładzania się ciała w powietrzu jest proporcjonalna do

różnicy temperatur ciała i powietrza. Wiadomo, że temperatura ciała w ciągu pierwszych 20
minut spadła od 100

◦

C do 60

◦

C, przy czym temperatura powietrza jest stała i równa 20

◦

C.

W jakim czasie temperatura ciała obniży się do 22

◦

C ? Do 20

◦

C ?

10. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych:

a) ty

0

= y +

p

y

2

− t

2

,

b) y

0

=

t − y

t − 2y

,

c) y

0

= 2

y + 2

t + y − 1

2

,

d) y

2

y

0

+ t

2

= 1,e) y

0

√

1 − t

2

= 1 + y

2

.

11. Znaleźć krzywą o tej własności, że styczna poprowadzona w dowolnym jej punkcie przecina

oś odciętych w punkcie, którego odległość od początku układu współrzędnych jest dwa razy
większa od odciętej punktu styczności.

12. Napisać równania różniczkowe podanych rodzin krzywych oraz równania różniczkowe ich

trajektorii ortogonalnych:

a) y = Ct

2

,b) t

2

− y

2

= C

2

, c) t

2

− y

2

= Ct,d) t

2

+ y

2

= 2Ct.

13. Znaleźć rozwiązania następujących zagadnień początkowych (i podać dziedziny tych rozwią-

zań):

a) ty

0

= y ln

y

t

,

y(1) = 1,

b) (

√

ty − t)y

0

+ y = 0,

y(1) = 0,c) (y +

p

t

2

+ y

2

) − ty

0

= 0,

y(1) = 0.

14. Znaleźć kształt zwierciadła skupiającego w jednym punkcie padające nań promienie równo-

ległe.
(Wsk.: patrz np. N. M. Matwiejew, Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych, wyd.
drugie, PWN, Warszawa, 1976, str. 82–84, lub J. Muszyński i A. D. Myszkis, Równania
różniczkowe zwyczajne, PWN, 1984, str. 14–15)

Lista nr 3

1. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych liniowych: a) y

0

+ 2y = e

−t

,

b) y

0

− 2ty = 2te

t

2

,

c) y

0

cos t − y sin t = 2t,

d) y

0

− y tg t =

1

cos

3

t

.

2. Znaleźć rozwiązania następujących zagadnień początkowych dla równań różniczkowych linio-

wych (i podać dziedziny tych rozwiązań):

a) y

0

− y = 1,

y(2) = 3,

b) ty

0

+ y = t + 1,

y(1) = 0,

c) t

2

+ ty

0

= y,

y(1) = 0,d) y

0

cos t + y sin t = 1,

y(0) = 1,

e) y

0

+ y cos t = cos t,

y(0) = 1,

f) ty

0

= t − y,

y(0) = 0.

3. Znaleźć rozwiązania równania różniczkowego z zadania 1.3.

4. Obwód elektryczny o indukcyjności L i oporze R jest zasilany źródłem stałej siły elektro-

motorycznej E. Nie rozwiązując równania różniczkowego wykazać, że natężenie i(t) prądu
płynącego w obwodzie dąży do E/R przy t → ∞.

5. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań Bernoulliego:

a) y

0

+ 2ty = 2ty

2

,

b) y

0

− 2ye

t

= 2t

√

ye

t

,

c) y

0

+

y

t

=

1

y

.

6. Znaleźć rozwiązania następujących zagadnień początkowych dla równań Bernoulliego:

a) ty

0

+ y = y

2

ln t,

y(1) = 1,

b) y

0

− 2ye

t

= 2t

√

y,

y(0) = 0.

7. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) (2ty

3

+ y)y

0

+ 2y

2

− 4 = 0,

b) (t

2

y

3

+ ty)y

0

= 1.

Wsk.: Szukać rozwiązań w postaci t = t(y).

8. Znaleźć krzywą przechodzącą przez punkt (1, 1), dla której pole trójkąta utworzonego przez

oś poziomą, styczną i wektor wodzący punktu styczności jest stałe i równe 1/2.
Wsk.: Szukać rozwiązań w postaci t = t(y).

9. Za pomocą podstawienia z = ty znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego

ty

2

(ty

0

+ y) = a

2

.

10. Za pomocą podstawienia z = sin(ty) znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego

y

0

=

sin

2

(ty)

t

2

cos(ty)

−

y

t

.

Lista nr 4

1. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych drugiego rzędu:

a) (1 + t

2

)y

00

+ (y

0

)

2

+ 1 = 0,

b) ty

00

= y

0

ln

y

0

t

,

c) (t ln t)y

00

− y

0

= 0.

2. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych drugiego rzędu: a) yy

00

= (y

0

)

3

,

b) 1 + (y

0

)

2

= 2yy

00

,

c) 2yy

00

+ (y

0

)

2

+ (y

0

)

4

= 0.

3. Znaleźć rozwiązania następujących zagadnień początkowych dla równań różniczkowych dru-

giego rzędu (i podać dziedziny tych rozwiązań): a) 2yy

00

− 3(y

0

)

2

= 4y

2

,

y(0) = 1,

y

0

(0) = 0,

b) 3y

0

y

00

= e

y

,

y(−3) = 0,

y

0

(−3) = 1.

4. Znaleźć równanie ruchu spadającego swobodnie ciała o masie m z uwzględnieniem oporu

powietrza wyrażającego się wzorem G = kv

2

, gdzie k jest stałą dodatnią, a v prędkością

ruchu. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

5. Z haka ześlizguje się wiszący na nim łańcuch. W chwili początkowej z jednej strony haka

zwisa 10 m łańcucha, a z drugiej 8 m. Nie uwzględniając oporów ruchu, znaleźć w ciągu
jakiego czasu cały łańcuch ześlizgnie się z haka.
Wsk.: Patrz G. I. Zaporożec, Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT,
Warszawa, 1976, zad. 1169, str. 515–516.

6. Znaleźć rozwiązanie zagadnienia początkowego

(y

00

)

2

= 4(y

0

− 1),

y(0) = 0,

y

0

(0) = 2.

7. Przy pomocy podstawienia y

0

= yz znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego dru-

giego rzędu

tyy

00

− t(y

0

)

2

− yy

0

= 0.

8. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego drugiego rzędu

y

00

y

0

−

2yy

0

1 + y

2

= 0.

Wsk.: Zauważyć, że w obu ułamkach po lewej stronie licznik jest pochodną mianownika.

Lista nr 5

1. Wykazać, że funkcje y

1

(t) = t

i

y

2

(t) = t

2

nie mogą stanowić układu fundamentalnego

żadnego równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu określonego na całej prostej R.
Wsk.: Obliczyć wrońskian tego układu funkcji.

2. Sprawdzić, czy dane funkcje tworzą układ fundamentalny rozwiązań następujących równań

różniczkowych liniowych jednorodnych:

a) y

1

(t) = cos t, y

2

(t) = sin t,

y

00

+ y = 0,

b) y

1

(t) = e

t

, y

2

(t) = e

−t

,

y

00

− y = 0,

c) y

1

(t) = t, y

2

(t) = t ln t,

t

2

y

00

− ty

0

+ y = 0,

d) y

1

(t) = t, y

2

(t) = t

2

− 1,

(t

2

+ 1)y

00

− 2ty

0

+ 2y = 0,

e) y

1

(t) = t, y

2

(t) =

√

1 − t

2

,

(1 − t

2

)y

00

− ty

0

+ y = 0,

f) y

1

(t) = t, y

2

(t) = t

2

, y

3

(t) = e

t

,

(t

2

− 2t + 2)y

000

− t

2

y

00

+ 2ty

0

− 2y = 0.

3. Znaleźć rozwiązania szczególne równań z zadania 2 spełniające warunki początkowe:

a) y(0) = y

0

(0) = 1,

b) y(0) = 0, y

0

(0) = 2

c) y(1) = 0, y

0

(1) = 1,

d) y(0) = 2, y

0

(0) = 1,

e) y(0) = 0, y

0

(0) = 1,

f) y(0) = 0, y

0

(0) = 1, y

00

(0) = 1.

4. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu,

jeśli znane są pewne ich rozwiązania szczególne:

a) ty

00

+ 2y

0

+ ty = 0,

y

1

(t) =

sin t

t

,

b) (1 − t

2

)y

00

− ty

0

+

1
4

y = 0,

y

1

(t) =

√

1 + t,

c) y

00

+ 2ty

0

− 2y = 0,

y

1

(t) =?.

5. Przy pomocy odpowiednich podstawień znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań

różniczkowych liniowych:

a) y

00

+

2

t

y

0

= 0,

b) ty

000

+ y

00

= 3t

2

.

6. Dla podanych równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu znaleźć rozwiązanie szczególne

będące wielomianem, a następnie znaleźć rozwiązanie ogólne: a) (t − 1)y

00

− (t + 1)y

0

+ 2y = 0,

b) (t

2

− 3t)y

00

+ (6 − t

2

)y

0

+ (3t − 6)y = 0.

7. Znaleźć rozwiązanie szczególne równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu

t

2

y

00

+ 4ty

0

+ 2y = 0

w postaci t

k

, gdzie k jest liczbą całkowitą, a następnie znaleźć rozwiązanie ogólne.

8. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu:

a) y

00

−

2

t

y

0

+

2

t

2

y = 2,

b) y

00

+ 2ty

0

+ 2y = 2t.

9. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu

y

00

+ (1 − t)y

0

+ y = 1,

jeśli wiadomo, że funkcje y

1

(t) = 1 i y

2

(t) = t są jego rozwiązaniami szczególnymi.

10. Przy pomocy metody uzmienniania stałych znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań

różniczkowych liniowych niejednorodnych:

a) y

00

+ y = tg t

(patrz zad. 5.2.),

b) y

00

− y =

1

t

(patrz zad. 5.2.b),

c) t

2

y

00

− ty

0

+ y = 6t ln t

(patrz zad. 5.2.c),

d) ty

00

+ 2y

0

+ ty = 1

(patrz zad. 5.4.a).

Lista nr 6

1. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych liniowych o stałych współ-

czynnikach:

a) y

00

− 6y

0

+ 8y = 0,

b) y

(5)

− 10y

000

+ 9y

0

= 0,

c) y

000

+ y

00

= 0,d) y

(4)

+ 8y

00

+ 16y = 0,

e) y

000

− 6y

00

+ 12y

0

− 8y = 0.

W

przykładzie e) odgadnąć najpierw jeden pierwiastek równania charakterystycznego.

2. Przy pomocy metody uzmienniania stałych znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań

różniczkowych liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach:

a) y

00

+ y = tg t,

b) y

00

− y

0

=

1

t

,

c) y

00

+ y

0

=

1

cos t

,d) y

00

− 2y

0

+ y =

e

t

t

,

e) y

00

+ 4y =

1

cos 2t

,

f) y

00

− y

0

=

1

1 + e

t

.

3. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych Eulera: a) t

2

y

00

− 3ty

0

+ 3y = 0,

b) t

2

y

00

+ ty

0

− y = 0,

c) ty

00

− y

0

= 0,

d) t

2

y

00

− ty

0

+ y = 0.

4. Przy pomocy podstawienia y = e

t

2

/2

z znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego

y

00

− 2ty

0

+ t

2

y = 0.

5. Przy pomocy metody przewidywań znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań linio-

wych niejednorodnych o stałych współczynnikach:

a) y

00

+ y

0

− 2y = 6t

2

,

b) y

00

+ 6y

0

+ 9y = 10 sin t, c) y

00

+ 4y = 5e

t

+ 2t,

d) y

00

+ y = 4 sin t, e) y

00

+ y

0

= 3,

f) y

00

− y = cos

2

t,

g) y

00

− 4y

0

= 2cos

2

4t,

h) y

00

− 2y

0

+ 2y = e

t

sin

2

t

2

.

6. Znaleźć natężenie prądu i = i(t) w obwodzie zawierającym połączone szeregowo indukcyjność

L, oporność R, pojemność C, oraz siłę elektromotoryczną u(t) = E sin(ωt + φ)

(E > 0,

ν > 0, φ – stałe).

7. Obwód zawiera połączone szeregowo indukcyjność L, pojemność C i siłę elektromotoryczną

u(t) = E sin(ωt), gdzie E > 0 i ω =

p1/LC. Wykazać, że napięcie na okładkach kondensa-

tora staje się nieograniczone, gdy t → ∞.

8. Ciało o masie 1 g umocowane do sprężyny o współczynniku sprężystości 2 g/s

2

jest zanurzone

w lepkiej cieczy o współczynniku tłumienia 3 g/s. W chwili t

0

= 0 odciągamy ciało w dół

o 0,5 cm i swobodnie puszczamy. Wykazać, że ciało będzie zbliżało się z dołu do położenia
równowagi, gdy t → ∞.

9. Ciało o masie 1 g umocowane do sprężyny o współczynniku sprężystości 1 g/s

2

jest zanurzone

w lepkiej cieczy o współczynniku tłumienia 2 g/s. W chwili t

0

= 0 odciągamy ciało w dół

o 0,25 cm i nadajemy mu prędkość 1 cm/s do góry. Wykazać, że ciało przekroczy raz swoje
położenie równowagi, i będzie zbliżało się doń z góry, gdy t → ∞.

Lista nr 7

1. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących układów równań różniczkowych:

a)

y

0

= y sin t

z

0

= ye

cos t

,

b)















y

0

+

2y

t

= 0

z

0

=

1 +

2

t

y + z

rozwiązując najpierw pierwsze równanie, i podstawiając wyliczone rozwiązanie do drugiego.

2. Przy pomocy metody eliminacji znaleźć rozwiązanie ogólne następujących układów równań

różniczkowych:

a)

y

0

= ay + z

z

0

= −y + az,

b)

( y

0

= z

2

+ sin t

z

0

=

y

2z

3. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych







y

0

= −

z

t

z

0

= −

y

t

dodając i odejmując równania stronami.

4. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych







y

0

= z − v

z

0

= y

2

+ z

v

0

= y

2

+ v

odejmując drugie równanie od pierwszego i dodając trzecie.

5. Przy pomocy metody eliminacji znaleźć rozwiązanie szczególne układu równań różniczkowych

y

00

= y

2

+ z

z

0

= −2yy

0

+ y

spełniające warunki początkowe y(0) = 1, y

0

(0) = 1, z(0) = 0.

6. Korzystając z twierdzenia Picarda o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia po-

czątkowego uzasadnić, że przez każdy punkt (t

0

, y

0

) ∈ R

2

przechodzi dokładnie jedna krzywa

całkowa równania różniczkowego

y

0

=

ty + 1

t

2

+ 1

.

7. a) Sprawdzić, że funkcje y

1

, y

2

: R → R, y

1

(t) = 0, y

2

(t) = t

3

, są rozwiązaniami zagadnienia

początkowego

(∗)

y

0

= 3y

2/3

,

y(0) = 0.

b) Które z założeń twierdzenia Picarda o istnieniu i jednoznaczności nie jest w tym przypadku
spełnione ?

c)

∗

Czy istnieją jeszcze inne rozwiązania zagadnienia początkowego (∗) ?

Lista nr 8

W zadaniach 8.1, 8.3 i 8.4 H(t) oznacza funkcję Heaviside’a.

1. Korzystając z definicji znaleźć transformaty Laplace’a następujących funkcji:

a) H(t)e

at

,

b) H(t) sin at,

c) H(t) cos at.

2. Korzystając z definicji znaleźć transformatę Laplace’a funkcji

f (t) =



















0

dla

t ¬ 0

t

dla

0 < t ¬ 1

2 − t

dla

1 < t ¬ 2

0

dla

t > 2

.

3. Znaleźć transformaty Laplace’a następujących funkcji:

a) H(t)t

2

,

b) H(t)t

n

,

c) H(t)at,

d) H(t)at,

e) H(t)(t + a)

2

,

f) H(t)t sin at,

g) H(t)e

t−1

.

4. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji

f (t) = AH(t) sgn(sin

2πt

T

),

gdzie A > 0 i T > 0.

5. Znaleźć odwrotne transformaty Laplace’a następujących funkcji:a)

1

s

2

− a

2

,

b)

1

s

3

− 1

,

c)

s + 1

s

2

+ 2s

,

d)

5s + 3

(s − 1)(s

2

+ 2s + 5)

,

e)

s

2

s

4

− 1

,

f)

1

(s

2

+ a

2

) + (s

2

+ b

2

)

,

g)

1

(s

2

+ 1)

2

,

h)

e

−as

s

2

.

Lista nr 9

1. Wykorzystując transformację Laplace’a znaleźć rozwiązania zagadnień początkowych: a) y

0

+ y = sin t,

y(0) = 0,

b) y

00

+ y = 0,

y(0) = 0, y

0

(0) = 1,

c) y

00

− y

0

− y = 0,

y(0) = 1, y(0) = −1,

d) y

000

+ y

00

+ y

0

= te

t

,

y(0) = y

0

(0) = y

00

(0) = 0.

2. Obliczyć następujące sploty:

a) t

2

∗ 1,

b) cos at ∗ cos bt, gdzie a 6= b,

c) cos at ∗ cos at,

d) cosh t ∗ cos t,

e) e

at

∗ e

bt

, gdzie a 6= b,

f) e

at

∗ e

at

.

Zakłada się, że wszystkie funkcje przyjmują wartość zero dla t < 0.

3. Przedstawić rozwiązanie zagadnienia początkowego

y

000

+ 2y

00

+ y

0

= f (t),

u(0) = u

0

(0) = u

00

(0) = 0

w postaci splotu.

Lista nr 10

1. Przy pomocy metody wektorów własnych znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różnicz-

kowych liniowych jednorodnych y

0

= Ay:

a) A =

6

−3

2

1

,

b) A =

−2

1

−4

3

,

c) A =

−3

2

−1

−1

, d) A =






3

2

4

2

0

2

4

2

3






, e) A =






7

−1

6

−10

4

−12

−2

1

−1






, f) A =






1

−5

0

1

−3

0

0

0

1






,

g) A =






1

0

0

3

1

−2

2

2

1






.

2. Znaleźć rozwiązanie szczególne układu równań różniczkowych liniowych jednorodnych y

0

=

Ay spełniające warunek początkowy y(0) = y

0

:

a) A =

1

1

4

1

,

y

0

=

2

3

,

b) A =

1

−3

−2

2

,

y

0

=

0

5

, c) A =

1

−1

5

−3

,

y

0

=

1

2

, d) A =

3

−2

4

−1

,

y

0

=

1

5

,

e) A =






3

1

−1

1

3

−1

3

3

−1






,

y

0

=






1

−2

−1






,

f) A =






1

−3

2

0

−1

0

0

−1

−2






,

y

0

=






−2

0

3






,

g) A =






−3

0

2

1

−1

0

−2

−1

0






,

y

0

=






0

−1

−2






.

3. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych liniowych jednorodnych

y

0

=






−1

−1

0

0

−1

0

0

0

−2






y

sprowadzając go do równania różniczkowego liniowego

jednorodnego trzeciego rzędu.