RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B
Lista nr 1
1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u(t) na okładkach kondensatora
w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C, jeśli w chwili
zamknięcia obwodu na okładkach kondensatora zgromadzone były ładunki elektryczne Q
0
i
−Q
0
(Q
0
> 0).
2. W hali o objętości 200 m
3
powietrze zawiera 0, 15% dwutlenku węgla. Wentylator podaje w
ciągu minuty 20 m
3
powietrza zawierającego 0, 04% CO
2
. Ułożyć równanie różniczkowe na
zależność stężenia dwutlenku węgla w hali od czasu.
3. Dwa stulitrowe zbiorniki, jeden zawierający 20% wodny roztwór soli, a drugi czystą wodę,
połączono układem dwóch pomp. W pewnej chwili włączono pompy pracujące w przeciw-
nych kierunkach z prędkością 10 l/min. Ułożyć równanie różniczkowe na zależność stężenia
roztworu w pierwszym zbiorniku od czasu.
4. Ciało o masie m jest umocowane do sprężyny o współczynniku sprężystości k, i zanurzone
w lepkiej cieczy o współczynniku tłumienia p. Znaleźć równanie różniczkowe opisujące ruch
ciała.
Lista nr 2
1. Funkcja y = y(t) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego
y
0
= t
2
+ y
2
,
y(1) = 2.
Obliczyć y
0
(1), y
00
(1) i y
000
(1).
2. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych:
a) y
0
= −
y
t
,
b) y
0
= 1 +
1
y
,
c) y
0
= 1 +
1
y
2
,
d) y
0
= −2ty,
e) y
0
= e
t−y
.
3. Za pomocą odpowiednich podstawień znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań róż-
niczkowych:
a) y
0
= (t + y)
2
, b) y
0
= t + y + 1, c) y
0
=
1
t + y − 1
,
d) y
0
= e
t+y
− 1.
4. Znaleźć rozwiązania następujących zagadnień początkowych (i podać dziedziny tych rozwią-
zań):
a) y
0
= 1 + y
2
,
y(0) = 0,
b) y
0
= −y
2
,
y(0) = 1,c) y
0
= y cos t,
y(0) = 1,
d) y
0
tg t = y,
y(π/2) = 1,
e) (1 + y
2
) − tyy
0
= 0,
y(1) = 0.
5. Znaleźć rozwiązania równań różniczkowych z zadań 1.1 i 1.2.
6. Znaleźć krzywą o tej własności, że w dowolnym jej punkcie współczynnik kierunkowy stycznej
jest równy stosunkowi rzędnej do odciętej punktu styczności wziętej ze znakiem przeciwnym.
7. Znaleźć krzywą o tej własności, że odcinek stycznej do niej, zawarty między osiami układu
współrzędnych, jest dzielony na połowy przez punkt styczności.
8. Zmiana liczebności N pewnych populacji organizmów żywych w czasie opisywana jest rów-
naniem logistycznym
dN
dt
= αN (K − N ),
gdzie α i K są stałymi dodatnimi.
a) Znaleźć rozwiązanie ogólne równania logistycznego.
b) Zbadać monotoniczność
i asymptoty (przy t → ∞) rozwiązań równania logistycznego odpowiadających warunkom
początkowym N (0) > 0.
(Wsk.: Rozpatrzyć trzy przypadki: N (0) ∈ (0, K), N (0) = K,
N (0) > K).
9. Według prawa Newtona szybkość ochładzania się ciała w powietrzu jest proporcjonalna do
różnicy temperatur ciała i powietrza. Wiadomo, że temperatura ciała w ciągu pierwszych 20
minut spadła od 100
◦
C do 60
◦
C, przy czym temperatura powietrza jest stała i równa 20
◦
C.
W jakim czasie temperatura ciała obniży się do 22
◦
C ? Do 20
◦
C ?
10. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych:
a) ty
0
= y +
p
y
2
− t
2
,
b) y
0
=
t − y
t − 2y
,
c) y
0
= 2
y + 2
t + y − 1
2
,
d) y
2
y
0
+ t
2
= 1,e) y
0
√
1 − t
2
= 1 + y
2
.
11. Znaleźć krzywą o tej własności, że styczna poprowadzona w dowolnym jej punkcie przecina
oś odciętych w punkcie, którego odległość od początku układu współrzędnych jest dwa razy
większa od odciętej punktu styczności.
12. Napisać równania różniczkowe podanych rodzin krzywych oraz równania różniczkowe ich
trajektorii ortogonalnych:
a) y = Ct
2
,b) t
2
− y
2
= C
2
, c) t
2
− y
2
= Ct,d) t
2
+ y
2
= 2Ct.
13. Znaleźć rozwiązania następujących zagadnień początkowych (i podać dziedziny tych rozwią-
zań):
a) ty
0
= y ln
y
t
,
y(1) = 1,
b) (
√
ty − t)y
0
+ y = 0,
y(1) = 0,c) (y +
p
t
2
+ y
2
) − ty
0
= 0,
y(1) = 0.
14. Znaleźć kształt zwierciadła skupiającego w jednym punkcie padające nań promienie równo-
ległe.
(Wsk.: patrz np. N. M. Matwiejew, Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych, wyd.
drugie, PWN, Warszawa, 1976, str. 82–84, lub J. Muszyński i A. D. Myszkis, Równania
różniczkowe zwyczajne, PWN, 1984, str. 14–15)
Lista nr 3
1. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych liniowych: a) y
0
+ 2y = e
−t
,
b) y
0
− 2ty = 2te
t
2
,
c) y
0
cos t − y sin t = 2t,
d) y
0
− y tg t =
1
cos
3
t
.
2. Znaleźć rozwiązania następujących zagadnień początkowych dla równań różniczkowych linio-
wych (i podać dziedziny tych rozwiązań):
a) y
0
− y = 1,
y(2) = 3,
b) ty
0
+ y = t + 1,
y(1) = 0,
c) t
2
+ ty
0
= y,
y(1) = 0,d) y
0
cos t + y sin t = 1,
y(0) = 1,
e) y
0
+ y cos t = cos t,
y(0) = 1,
f) ty
0
= t − y,
y(0) = 0.
3. Znaleźć rozwiązania równania różniczkowego z zadania 1.3.
4. Obwód elektryczny o indukcyjności L i oporze R jest zasilany źródłem stałej siły elektro-
motorycznej E. Nie rozwiązując równania różniczkowego wykazać, że natężenie i(t) prądu
płynącego w obwodzie dąży do E/R przy t → ∞.
5. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań Bernoulliego:
a) y
0
+ 2ty = 2ty
2
,
b) y
0
− 2ye
t
= 2t
√
ye
t
,
c) y
0
+
y
t
=
1
y
.
6. Znaleźć rozwiązania następujących zagadnień początkowych dla równań Bernoulliego:
a) ty
0
+ y = y
2
ln t,
y(1) = 1,
b) y
0
− 2ye
t
= 2t
√
y,
y(0) = 0.
7. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) (2ty
3
+ y)y
0
+ 2y
2
− 4 = 0,
b) (t
2
y
3
+ ty)y
0
= 1.
Wsk.: Szukać rozwiązań w postaci t = t(y).
8. Znaleźć krzywą przechodzącą przez punkt (1, 1), dla której pole trójkąta utworzonego przez
oś poziomą, styczną i wektor wodzący punktu styczności jest stałe i równe 1/2.
Wsk.: Szukać rozwiązań w postaci t = t(y).
9. Za pomocą podstawienia z = ty znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego
ty
2
(ty
0
+ y) = a
2
.
10. Za pomocą podstawienia z = sin(ty) znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego
y
0
=
sin
2
(ty)
t
2
cos(ty)
−
y
t
.
Lista nr 4
1. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych drugiego rzędu:
a) (1 + t
2
)y
00
+ (y
0
)
2
+ 1 = 0,
b) ty
00
= y
0
ln
y
0
t
,
c) (t ln t)y
00
− y
0
= 0.
2. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych drugiego rzędu: a) yy
00
= (y
0
)
3
,
b) 1 + (y
0
)
2
= 2yy
00
,
c) 2yy
00
+ (y
0
)
2
+ (y
0
)
4
= 0.
3. Znaleźć rozwiązania następujących zagadnień początkowych dla równań różniczkowych dru-
giego rzędu (i podać dziedziny tych rozwiązań): a) 2yy
00
− 3(y
0
)
2
= 4y
2
,
y(0) = 1,
y
0
(0) = 0,
b) 3y
0
y
00
= e
y
,
y(−3) = 0,
y
0
(−3) = 1.
4. Znaleźć równanie ruchu spadającego swobodnie ciała o masie m z uwzględnieniem oporu
powietrza wyrażającego się wzorem G = kv
2
, gdzie k jest stałą dodatnią, a v prędkością
ruchu. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
5. Z haka ześlizguje się wiszący na nim łańcuch. W chwili początkowej z jednej strony haka
zwisa 10 m łańcucha, a z drugiej 8 m. Nie uwzględniając oporów ruchu, znaleźć w ciągu
jakiego czasu cały łańcuch ześlizgnie się z haka.
Wsk.: Patrz G. I. Zaporożec, Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT,
Warszawa, 1976, zad. 1169, str. 515–516.
6. Znaleźć rozwiązanie zagadnienia początkowego
(y
00
)
2
= 4(y
0
− 1),
y(0) = 0,
y
0
(0) = 2.
7. Przy pomocy podstawienia y
0
= yz znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego dru-
giego rzędu
tyy
00
− t(y
0
)
2
− yy
0
= 0.
8. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego drugiego rzędu
y
00
y
0
−
2yy
0
1 + y
2
= 0.
Wsk.: Zauważyć, że w obu ułamkach po lewej stronie licznik jest pochodną mianownika.
Lista nr 5
1. Wykazać, że funkcje y
1
(t) = t
i
y
2
(t) = t
2
nie mogą stanowić układu fundamentalnego
żadnego równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu określonego na całej prostej R.
Wsk.: Obliczyć wrońskian tego układu funkcji.
2. Sprawdzić, czy dane funkcje tworzą układ fundamentalny rozwiązań następujących równań
różniczkowych liniowych jednorodnych:
a) y
1
(t) = cos t, y
2
(t) = sin t,
y
00
+ y = 0,
b) y
1
(t) = e
t
, y
2
(t) = e
−t
,
y
00
− y = 0,
c) y
1
(t) = t, y
2
(t) = t ln t,
t
2
y
00
− ty
0
+ y = 0,
d) y
1
(t) = t, y
2
(t) = t
2
− 1,
(t
2
+ 1)y
00
− 2ty
0
+ 2y = 0,
e) y
1
(t) = t, y
2
(t) =
√
1 − t
2
,
(1 − t
2
)y
00
− ty
0
+ y = 0,
f) y
1
(t) = t, y
2
(t) = t
2
, y
3
(t) = e
t
,
(t
2
− 2t + 2)y
000
− t
2
y
00
+ 2ty
0
− 2y = 0.
3. Znaleźć rozwiązania szczególne równań z zadania 2 spełniające warunki początkowe:
a) y(0) = y
0
(0) = 1,
b) y(0) = 0, y
0
(0) = 2
c) y(1) = 0, y
0
(1) = 1,
d) y(0) = 2, y
0
(0) = 1,
e) y(0) = 0, y
0
(0) = 1,
f) y(0) = 0, y
0
(0) = 1, y
00
(0) = 1.
4. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu,
jeśli znane są pewne ich rozwiązania szczególne:
a) ty
00
+ 2y
0
+ ty = 0,
y
1
(t) =
sin t
t
,
b) (1 − t
2
)y
00
− ty
0
+
1
4
y = 0,
y
1
(t) =
√
1 + t,
c) y
00
+ 2ty
0
− 2y = 0,
y
1
(t) =?.
5. Przy pomocy odpowiednich podstawień znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań
różniczkowych liniowych:
a) y
00
+
2
t
y
0
= 0,
b) ty
000
+ y
00
= 3t
2
.
6. Dla podanych równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu znaleźć rozwiązanie szczególne
będące wielomianem, a następnie znaleźć rozwiązanie ogólne: a) (t − 1)y
00
− (t + 1)y
0
+ 2y = 0,
b) (t
2
− 3t)y
00
+ (6 − t
2
)y
0
+ (3t − 6)y = 0.
7. Znaleźć rozwiązanie szczególne równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu
t
2
y
00
+ 4ty
0
+ 2y = 0
w postaci t
k
, gdzie k jest liczbą całkowitą, a następnie znaleźć rozwiązanie ogólne.
8. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu:
a) y
00
−
2
t
y
0
+
2
t
2
y = 2,
b) y
00
+ 2ty
0
+ 2y = 2t.
9. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu
y
00
+ (1 − t)y
0
+ y = 1,
jeśli wiadomo, że funkcje y
1
(t) = 1 i y
2
(t) = t są jego rozwiązaniami szczególnymi.
10. Przy pomocy metody uzmienniania stałych znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań
różniczkowych liniowych niejednorodnych:
a) y
00
+ y = tg t
(patrz zad. 5.2.),
b) y
00
− y =
1
t
(patrz zad. 5.2.b),
c) t
2
y
00
− ty
0
+ y = 6t ln t
(patrz zad. 5.2.c),
d) ty
00
+ 2y
0
+ ty = 1
(patrz zad. 5.4.a).
Lista nr 6
1. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych liniowych o stałych współ-
czynnikach:
a) y
00
− 6y
0
+ 8y = 0,
b) y
(5)
− 10y
000
+ 9y
0
= 0,
c) y
000
+ y
00
= 0,d) y
(4)
+ 8y
00
+ 16y = 0,
e) y
000
− 6y
00
+ 12y
0
− 8y = 0.
W
przykładzie e) odgadnąć najpierw jeden pierwiastek równania charakterystycznego.
2. Przy pomocy metody uzmienniania stałych znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań
różniczkowych liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach:
a) y
00
+ y = tg t,
b) y
00
− y
0
=
1
t
,
c) y
00
+ y
0
=
1
cos t
,d) y
00
− 2y
0
+ y =
e
t
t
,
e) y
00
+ 4y =
1
cos 2t
,
f) y
00
− y
0
=
1
1 + e
t
.
3. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych Eulera: a) t
2
y
00
− 3ty
0
+ 3y = 0,
b) t
2
y
00
+ ty
0
− y = 0,
c) ty
00
− y
0
= 0,
d) t
2
y
00
− ty
0
+ y = 0.
4. Przy pomocy podstawienia y = e
t
2
/2
z znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego
y
00
− 2ty
0
+ t
2
y = 0.
5. Przy pomocy metody przewidywań znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań linio-
wych niejednorodnych o stałych współczynnikach:
a) y
00
+ y
0
− 2y = 6t
2
,
b) y
00
+ 6y
0
+ 9y = 10 sin t, c) y
00
+ 4y = 5e
t
+ 2t,
d) y
00
+ y = 4 sin t, e) y
00
+ y
0
= 3,
f) y
00
− y = cos
2
t,
g) y
00
− 4y
0
= 2cos
2
4t,
h) y
00
− 2y
0
+ 2y = e
t
sin
2
t
2
.
6. Znaleźć natężenie prądu i = i(t) w obwodzie zawierającym połączone szeregowo indukcyjność
L, oporność R, pojemność C, oraz siłę elektromotoryczną u(t) = E sin(ωt + φ)
(E > 0,
ν > 0, φ – stałe).
7. Obwód zawiera połączone szeregowo indukcyjność L, pojemność C i siłę elektromotoryczną
u(t) = E sin(ωt), gdzie E > 0 i ω =
p1/LC. Wykazać, że napięcie na okładkach kondensa-
tora staje się nieograniczone, gdy t → ∞.
8. Ciało o masie 1 g umocowane do sprężyny o współczynniku sprężystości 2 g/s
2
jest zanurzone
w lepkiej cieczy o współczynniku tłumienia 3 g/s. W chwili t
0
= 0 odciągamy ciało w dół
o 0,5 cm i swobodnie puszczamy. Wykazać, że ciało będzie zbliżało się z dołu do położenia
równowagi, gdy t → ∞.
9. Ciało o masie 1 g umocowane do sprężyny o współczynniku sprężystości 1 g/s
2
jest zanurzone
w lepkiej cieczy o współczynniku tłumienia 2 g/s. W chwili t
0
= 0 odciągamy ciało w dół
o 0,25 cm i nadajemy mu prędkość 1 cm/s do góry. Wykazać, że ciało przekroczy raz swoje
położenie równowagi, i będzie zbliżało się doń z góry, gdy t → ∞.
Lista nr 7
1. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących układów równań różniczkowych:
a)
y
0
= y sin t
z
0
= ye
cos t
,
b)
y
0
+
2y
t
= 0
z
0
=
1 +
2
t
y + z
rozwiązując najpierw pierwsze równanie, i podstawiając wyliczone rozwiązanie do drugiego.
2. Przy pomocy metody eliminacji znaleźć rozwiązanie ogólne następujących układów równań
różniczkowych:
a)
y
0
= ay + z
z
0
= −y + az,
b)
( y
0
= z
2
+ sin t
z
0
=
y
2z
3. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych
y
0
= −
z
t
z
0
= −
y
t
dodając i odejmując równania stronami.
4. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych
y
0
= z − v
z
0
= y
2
+ z
v
0
= y
2
+ v
odejmując drugie równanie od pierwszego i dodając trzecie.
5. Przy pomocy metody eliminacji znaleźć rozwiązanie szczególne układu równań różniczkowych
y
00
= y
2
+ z
z
0
= −2yy
0
+ y
spełniające warunki początkowe y(0) = 1, y
0
(0) = 1, z(0) = 0.
6. Korzystając z twierdzenia Picarda o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia po-
czątkowego uzasadnić, że przez każdy punkt (t
0
, y
0
) ∈ R
2
przechodzi dokładnie jedna krzywa
całkowa równania różniczkowego
y
0
=
ty + 1
t
2
+ 1
.
7. a) Sprawdzić, że funkcje y
1
, y
2
: R → R, y
1
(t) = 0, y
2
(t) = t
3
, są rozwiązaniami zagadnienia
początkowego
(∗)
y
0
= 3y
2/3
,
y(0) = 0.
b) Które z założeń twierdzenia Picarda o istnieniu i jednoznaczności nie jest w tym przypadku
spełnione ?
c)
∗
Czy istnieją jeszcze inne rozwiązania zagadnienia początkowego (∗) ?
Lista nr 8
W zadaniach 8.1, 8.3 i 8.4 H(t) oznacza funkcję Heaviside’a.
1. Korzystając z definicji znaleźć transformaty Laplace’a następujących funkcji:
a) H(t)e
at
,
b) H(t) sin at,
c) H(t) cos at.
2. Korzystając z definicji znaleźć transformatę Laplace’a funkcji
f (t) =
0
dla
t ¬ 0
t
dla
0 < t ¬ 1
2 − t
dla
1 < t ¬ 2
0
dla
t > 2
.
3. Znaleźć transformaty Laplace’a następujących funkcji:
a) H(t)t
2
,
b) H(t)t
n
,
c) H(t)at,
d) H(t)at,
e) H(t)(t + a)
2
,
f) H(t)t sin at,
g) H(t)e
t−1
.
4. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji
f (t) = AH(t) sgn(sin
2πt
T
),
gdzie A > 0 i T > 0.
5. Znaleźć odwrotne transformaty Laplace’a następujących funkcji:a)
1
s
2
− a
2
,
b)
1
s
3
− 1
,
c)
s + 1
s
2
+ 2s
,
d)
5s + 3
(s − 1)(s
2
+ 2s + 5)
,
e)
s
2
s
4
− 1
,
f)
1
(s
2
+ a
2
) + (s
2
+ b
2
)
,
g)
1
(s
2
+ 1)
2
,
h)
e
−as
s
2
.
Lista nr 9
1. Wykorzystując transformację Laplace’a znaleźć rozwiązania zagadnień początkowych: a) y
0
+ y = sin t,
y(0) = 0,
b) y
00
+ y = 0,
y(0) = 0, y
0
(0) = 1,
c) y
00
− y
0
− y = 0,
y(0) = 1, y(0) = −1,
d) y
000
+ y
00
+ y
0
= te
t
,
y(0) = y
0
(0) = y
00
(0) = 0.
2. Obliczyć następujące sploty:
a) t
2
∗ 1,
b) cos at ∗ cos bt, gdzie a 6= b,
c) cos at ∗ cos at,
d) cosh t ∗ cos t,
e) e
at
∗ e
bt
, gdzie a 6= b,
f) e
at
∗ e
at
.
Zakłada się, że wszystkie funkcje przyjmują wartość zero dla t < 0.
3. Przedstawić rozwiązanie zagadnienia początkowego
y
000
+ 2y
00
+ y
0
= f (t),
u(0) = u
0
(0) = u
00
(0) = 0
w postaci splotu.
Lista nr 10
1. Przy pomocy metody wektorów własnych znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różnicz-
kowych liniowych jednorodnych y
0
= Ay:
a) A =
6
−3
2
1
,
b) A =
−2
1
−4
3
,
c) A =
−3
2
−1
−1
, d) A =
3
2
4
2
0
2
4
2
3
, e) A =
7
−1
6
−10
4
−12
−2
1
−1
, f) A =
1
−5
0
1
−3
0
0
0
1
,
g) A =
1
0
0
3
1
−2
2
2
1
.
2. Znaleźć rozwiązanie szczególne układu równań różniczkowych liniowych jednorodnych y
0
=
Ay spełniające warunek początkowy y(0) = y
0
:
a) A =
1
1
4
1
,
y
0
=
2
3
,
b) A =
1
−3
−2
2
,
y
0
=
0
5
, c) A =
1
−1
5
−3
,
y
0
=
1
2
, d) A =
3
−2
4
−1
,
y
0
=
1
5
,
e) A =
3
1
−1
1
3
−1
3
3
−1
,
y
0
=
1
−2
−1
,
f) A =
1
−3
2
0
−1
0
0
−1
−2
,
y
0
=
−2
0
3
,
g) A =
−3
0
2
1
−1
0
−2
−1
0
,
y
0
=
0
−1
−2
.
3. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych liniowych jednorodnych
y
0
=
−1
−1
0
0
−1
0
0
0
−2
y
sprowadzając go do równania różniczkowego liniowego
jednorodnego trzeciego rzędu.