Autor: Martin Slota

Zdroj: http://www.zones.sk

Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú

č

ely a akéko

ľ

vek verejné

publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.

1/3

MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY

M

ATURITNÝ OKRUH

14:

D

ERIVÁCIE

1. príklad (150/Pr. 2)

Zadanie: Nájdite valec s povrchom

2

cm

100

, ktorý má najvä

č

ší objem.

Riešenie:

r

r

v

rv

r

S

π

π

π

π

2

2

100

2

2

2

2

−

=

⇒

+

=

( )

∞

∈

−

=

−

=

=

,

0

50

2

2

100

3

2

2

2

r

r

r

r

r

r

v

r

V

π

π

π

π

π

( )

2

3

50

'

r

r

V

π

−

=

( )

π

3

50

0

'

=

⇔

=

r

r

V

( )

⇒

<

−

=

0

6

''

r

r

V

π

v bode

π

3

50

=

r

je lokálne maximum. Ke

ď

že funkcia

V

rastie na intervale








π

3

50

,

0

a klesá na intervale








∞

,

3

50

π

, je v bode

π

3

50

=

r

aj globálne maximum.

r

v

2

6

20

3

50

2

3

50

2

100

=

=

−

=

π

π

π

π

π

Spomedzi všetkých valcov s povrchom

2

cm

100

má najvä

č

ší objem valec s polomerom

π

3

50

=

r

a výškou

r

v

2

=

.

2. príklad (153/8)

Zadanie: Nájdite globálne extrémy funkcie

x

x

y

f

2

:

=

na intervale

(

2

,

0

.

Riešenie:

Platí:

x

e

x

ln

=

.

( )

x

x

x

x

e

e

y

f

ln

2

2

ln

:

=

=

( )

(

)

(

)

1

ln

2

1

2

ln

2

'

ln

2

'

2

2

ln

2

+

⋅

=













+

⋅

=

⋅

=

x

x

x

x

x

x

x

x

e

x

f

x

x

x

x

Ke

ď

že

x

x

2

je pre

(

2

,

0

∈

x

vždy kladné

⇒

( )

1

1

ln

0

1

ln

0

'

−

=

⇔

−

=

⇔

=

+

⇔

=

e

x

x

x

x

f

Lokálne (na danom intervale aj globálne) minimum je v bode

































e

e

e

2

1

,

1

.

Globálne maximum môže by

ť

bu

ď

v bode

( )

[

]

2

,

2 f

alebo ve

ľ

mi blízko k

0

.

e

1

+

–

0

2

Autor: Martin Slota

Zdroj: http://www.zones.sk

Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú

č

ely a akéko

ľ

vek verejné

publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.

2/3

MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY

M

ATURITNÝ OKRUH

14:

D

ERIVÁCIE

( )

( )

⇒









=

=

=

=

=

∞

−

⋅

⋅

→

→

+

+

1

lim

lim

16

2

2

0

2

ln

2

0

2

0

4

e

e

x

f

x

x

x

x

x

globálne maximum je v bode

[ ]

16

,

2

.

3. príklad (153/11)

Zadanie: Pod akým uhlom pretína graf funkcie













+

=

3

1

ln

:

x

y

f

os x?

Riešenie:

⇒















=

⇔

=

+

⇔

=













+

0

1

3

1

0

3

1

ln

x

x

x

bod, v ktorom graf funkcie

f

pretína os x je

[ ]

0

,

0

.

( )

x

x

x

x

f

+

=

+

⋅

=

+

⋅

=

3

1

3

3

3

1

3

1

1

3

1

'

( )

°

=

=

⇒















=

=

=

=

30

6

tg

3

3

3

1

0

'

π

ϕ

ϕ

k

f

Graf funkcie

f

pretína os x pod uhlom

°

=

30

ϕ

.

4. príklad (154/13)

Zadanie: V karteziánskej súradnicovej sústave je nakreslený graf funkcie

3

,

3

:

2

−

∈

=

x

y

f

. Ozna

č

me

A

bod

[ ]

9

,

0

. Nájdite na grafe funkcie

f

body

C

B,

také, že

ABC

je rovnoramenný trojuholník so

základ

ň

ou

BC

rovnobežnou s osou x a obsah trojuholníka

ABC

je maximálny možný.

Riešenie:

[

] [

]

C

C

B

B

y

x

C

y

x

B

,

,

,

BC

je rovnobežné s osou x

y

y

y

C

B

=

=

⇒

(

ABC

∆

je rovnoramenný

)

⇒

=

∧

=

∧

0

A

C

B

x

y

y

x

x

x

x

x

C

B

C

B

=

=

⇒

−

=

⇒

2

x

y

=

(

)

(

)

3

2

9

9

2

9

2

2

x

x

x

x

y

x

v

a

S

a

−

=

−

⋅

=

−

⋅

=

⋅

=

( )

2

3

9

'

x

x

S

−

=

( )

3

3

0

'

2

=

⇔

=

⇔

=

x

x

x

S

( )

⇒

−

=

x

x

S

6

''

v bode

3

=

x

je lokálne (na danom intervale aj globálne) maximum.

( )

3

3

2

=

=

y

Súradnice bodov

C

B,

takých, že obsah trojuholníka

ABC

je maximálny možný sú

[ ]

3

,

3

B

a

[

]

3

,

3

−

C

.

y

x

A

B

C

f

a

v

a

Autor: Martin Slota

Zdroj: http://www.zones.sk

Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú

č

ely a akéko

ľ

vek verejné

publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.

3/3

MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY

M

ATURITNÝ OKRUH

14:

D

ERIVÁCIE

5. príklad (154/25)

Zadanie: Dokážte, že ak má funkcia

f

na intervale

( )

b

a

,

ohrani

č

enú deriváciu, je na tomto intervale

ohrani

č

ená.

Dôkaz (priamy):

Nech funkcia

f

má na

( )

b

a

,

ohrani

č

enú deriváciu. Potom

( ) ( )

k

x

f

b

a

x

R

k

≤

∈

∀

∈

∃

+

'

;

,

.

Platí:

b

a

b

a

+

≤

+

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) (

)

( )

=

+

−

⋅

=

+

−

≤

+

−

=

∈

∀

0

0

v.

Lagr.

0

0

0

0

0

'

;

,

,

x

f

x

x

c

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

b

a

x

x

( ) (

)

( )

0

0

'

x

f

x

x

c

f

+

−

⋅

=

, kde

c

je medzi

0

, x

x

,

č

iže

( )

b

a

c

,

∈

.

( )

( )

(

)

( )

( ) (

)

( )

( )

⇒

∈

+

−

⋅

<

+

−

⋅

≤

⇒

∈

∧

−

<

−

∧

≤

+

+

R

x

f

b

a

k

x

f

x

x

c

f

x

f

R

x

f

b

a

x

x

k

c

f

0

0

0

0

0

'

'

⇒

funkcia

f

je ohrani

č

ená na intervale

( )

b

a,

Č

BTD.