http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

fizyka1.html

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I

7. Dynamika ruchu obrotowego

ŚRODEK MASY



Każde ciało można traktować jako układ punktów materialnych.

Dlatego

pęd ciała możemy obliczyć jako sumę pędów wszystkich

punktów materialnych ciała:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak







n

i

i

i

v

m

p

1







Podstawiając wyrażenie na prędkość każdego punktu materialnego:



















n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

r

m

dt

d

dt

r

d

m

v

m

p

1

1

1











Środkiem masy albo środkiem bezwładności układu punktów materialnych

nazywamy punkt, którego położenie dane jest wzorem:







n

i

i

i

S

r

m

M

r

1

1





gdzie:







n

i

i

m

M

1

 

r

d

r

M

r

S











1

(w przypadku „ciągłym”:

, gdzie



jest gęstością ciała)

ŚRODEK MASY



Po podstawieniu do wyrażenia na pęd, otrzymamy:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





S

S

S

v

M

dt

r

d

M

r

M

dt

d

p

















Równanie ruchu środka masy układu:

wyp

S

S

F

a

M

dt

v

d

M











Środek masy układu porusza się jak punkt materialny, w którym
skupiona jest cała masa układu, i na który działa siła, równa wypadkowej
sił zewnętrznych przyłożonych do układu.



Środek ciężkości ciała to punkt przyłożenia wypadkowej sił ciężkości („ciężarów”)

wszystkich

punktów materialnych ciała. Gdy wielkość g (przyspieszenie grawitacyjne)

jest jednakowa dla wszystkich

punktów układu, mamy:

S

C

r

r







DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO



Każde ciało możemy uważać za układ n punktów materialnych,

których suma mas równa się całkowitej masie M ciała:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak







n

i

i

m

M

1



Ciało doskonale sztywne to takie ciało, w którym odległości między

dwoma dowolnymi jego punktami materialnymi nie zmieniają się w

trakcie ruchu (dalej nazwiemy je ciałem sztywnym lub bryłą sztywną).

DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO



Rozważmy ruch ciała sztywnego wokół punktu O, zwanego środkiem obrotu

ciała. Umieśćmy w tym punkcie początek układu współrzędnych. Niech

oznacza

siłę, z jaką k-ty punkt działa na punkt i-ty (siły wewnętrzne) a

wypadkową wszystkich sił zewnętrznych, przyłożonych do punktu i-tego.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

ik

F



i

F



i

k

ik

F





II zasada dynamiki Newtona dla i-tego punktu:















n

i

k

k

i

ik

i

i

F

F

v

m

dt

d

,

1







DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO



Mnożymy równanie ruchu stronami wektorowo przez :

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

i

r























n

i

k

k

i

i

ik

i

i

i

i

F

r

F

r

v

m

dt

d

r

,

1















Pochodną względem czasu z lewej strony równania możemy wyłączyć

przed znak iloczynu wektorowego

(dlaczego!?

– ćwiczenia rachunkowe):









i

i

i

i

K

dt

d

v

m

r

dt

d











nazywamy

momentem

pędu (krętem) punktu materialnego i

względem osi O.

i

K



DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO



Moment pędu (kręt) punktu materialnego i względem osi O.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





i

i

i

i

v

m

r

K













Moment siły

względem punktu O:

i

F



i

i

i

F

r

M











czyli:

„moment” oznacza (matematycznie) mnożenie lewostronne przez

wektor

położenia (promień wodzący)

i

r



DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO



Używając opisanej symboliki, możemy zapisać nasze równanie jako:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

i

n

i

k

k

ik

i

i

M

F

r

dt

K

d





















,

1



Dodajemy stronami równania wszystkich punktów materialnych ciała:





































n

i

i

n

i

n

i

k

k

ik

i

n

i

i

M

F

r

dt

K

d

1

1

,

1

1









dt

K

d

dt

K

d

n

i

i











1

M

M

n

i

i











1

0

1

,

1



























n

i

n

i

k

k

ik

i

F

r





- to moment główny sił zewnętrznych (wypadkowy)

to moment pędu ciała względem punktu O

K



(dlaczego?!

– ćwiczenia rachunkowe)

DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO



Ostatecznie:

Szybkość zmiany momentu pędu ciała obracającego się dookoła

nieruchomego

punktu

równa się wypadkowemu momentowi

(względem tego punktu) wszystkich sił zewnętrznych, przyłożonych

do

ciała – zasada dynamiki ruchu obrotowego ciała zamocowanego

w jednym, nieruchomym punkcie.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

M

dt

K

d







DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO



Załóżmy teraz, że ciało sztywne umocowane jest w dwóch punktach tak,

że może obracać się wokół nieruchomej osi przechodzącej przez te punkty

– przyjmijmy, że jest to oś „z”. Wtedy składowe „x” i „y” momentu siły

są

zrównoważone przez siły reakcji zamocowania, a obrót wokół osi „z”
odbywa

się pod działaniem składowej

momentu

sił zewnętrznych:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

M



z

M

z

z

M

dt

dK



Szybkość zmiany momentu pędu ciała względem nieruchomej osi
obrotu

równa się wypadkowemu momentowi (względem tej osi) sił

zewnętrznych działających na ciało.

z

O

K



F



r



M



DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO



Całkowity moment pędu ciała względem osi „z” jest równy sumie

momentów pędu każdego punktu materialnego:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak







n

i

iz

z

K

K

1





2

cos

cos

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

z

iz

m

v

m

v

m

r

K

K



















We współrzędnych biegunowych:

wobec tego całkowity moment pędu ciała:







n

i

i

i

z

m

K

1

2





DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO



Wielkość:

nazywamy

momentem bezwładności ciała względem osi „z”.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak







n

i

i

i

z

m

I

1

2





W przypadku granicznym ciała „rozciągłego” sumowanie zastępujemy

całkowaniem:





m

z

dm

I

0

2





Ostatecznie otrzymujemy związek między momentem pędu ciała i prędkością

kątową obrotu:



z

z

I

K



DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO



Wykorzystanie

związku:

pozwala na

wyrażenie

podstawowej zasady dynamiki ruchu obrotowego:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

z

z

M

dt

dK



 







z

z

z

z

I

dt

d

I

I

dt

d

M







Przyspieszenie kątowe ciała sztywnego obracającego się wokół
nieruchomej osi jest wprost proporcjonalne do wypadkowego
momentu (względem tej osi) wszystkich sił zewnętrznych działających
na ciało i odwrotnie proporcjonalny do momentu bezwładności ciała
względem tej osi.

z

z

I

M





m

F

a



MOMENT BEZWŁADNOŚCI



Moment

bezwładności jest więc miarą bezwładności ciała w ruchu

obrotowym

(analog

masy

jako

miary

bezwładności w ruchu

postępowym).

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Przykładowe momenty bezwładności brył:

Ciało

Położenie osi

Moment bezwładności

pusty cienkościenny walec o

masie m i promieniu R

oś symetrii

pełny walec (tarcza) o masie

m i promieniu R

oś symetrii

kula o masie m i promieniu R

oś symetrii

cienki pręt o masie m i

długości L

oś prostopadła do pręta,

przechodzi przez jego środek

2

mR

I



 

2

2

1

mR

I



 

2

5

2

mR

I







2

12

1

mR

I



TWIERDZENIE STEINERA

(TWIERDZENIE O OSIACH RÓWNOLEGŁYCH)



Załóżmy, że znamy moment bezwładności ciała względem pewnej osi

obrotu, ale

ciało obraca się względem innej osi, równoległej do niej:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

d

O

O’

m

Moment bezwładności ciała I względem dowolnej osi O równa się momentowi
bezwładności I’ tego ciała względem innej, równoległej do niej osi O’,
powiększonemu o iloczyn masy tego ciała przez kwadrat odległości między tymi
osiami:

2

' md

I

I





Wniosek: Gdy środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to moment bezwładności ciała względem tej osi
wzrasta.

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU



Z zasady dynamiki ruchu obrotowego:

wynika wprost:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

M

dt

K

d











 

 

t

const

K

dt

K

d

M





























0

0

Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomego
punktu ciała równa się zeru, to moment pędu ciała względem tego
punktu nie zmienia się w czasie.



Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał

względem dowolnego punktu nieruchomego jest stały.



Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy

zeru, to moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.

TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI



Rozważmy obrót ciała o dowolnym kształcie wokół osi przechodzącej

przez

początek układu współrzędnych.

Prędkość i-tego punktu względem początku układu:

Stąd wyrażenie na moment pędu całego ciała:

Skorzystamy z

tożsamości wektorowej:

Podstawiając, otrzymujemy:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

i

i

r

v







































n

i

i

i

i

n

i

i

i

i

r

r

m

v

m

r

K

1

1















 

 

 

b

a

c

c

a

b

c

b

a

















































n

i

i

i

i

i

r

r

r

m

K

1

2















TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI



Wszystkie punkty

mają tę samą prędkość kątową, możemy więc

zapisać powyższe równanie wektorowe jako układ trzech równań dla
poszczególnych składowych

(tu tylko dla

„x”):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak























n

i

i

i

i

n

i

i

i

x

x

r

x

m

r

m

K

1

1

2











Ponieważ:

otrzymujemy:

z

i

y

i

x

i

i

z

y

x

r







































i

i

i

z

i

i

i

y

i

i

i

x

x

z

x

m

y

x

m

x

r

m

K







2

2

(znak sumowania po i pominięty dla uproszczenia)

TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI



Podobne

równania możemy napisać dla składowych „y” i „z” i

ostatecznie

równanie,

wiążące

wektor

momentu

pędu

z

pseudowektorem

prędkości kątowej

, przyjmie

postać:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

K





















































z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

z

y

x

I

I

I

I

I

I

I

I

I

K

K

K







,

,



Macierz z prawej strony równania to tensor bezwładności a jego

elementy nazywamy współczynnikami bezwładności lub momentami
bezwładności.



Tensor

bezwładności jest symetryczny, to znaczy:

yx

xy

I

I



TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI



Wyraz

przekątny (tu np. „xx”):

jest

sumą iloczynów każdej z mas cząstkowych przez kwadrat jej

odległości od danej osi (tu „x”), więc możemy go nazwać momentem
bezwładności względem tej osi.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





















2

2

2

2

i

i

i

i

i

i

xx

z

y

m

x

r

m

I



W przypadku ciągłego rozkładu masy z gęstością

współczynniki tensora

możemy zapisać w postaci całek, na przykład:

 

r





 





dV

x

r

r

I

xx

2

2











 

xydV

r

I

xy









