1

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY

Elektrotechnika
Studia Niestacjonarne

Semestr III

Lista Zadań Nr 18

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – c.d.

UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

Zad.1. Rozwiązać równania różniczkowe zupełne:

a)

(

)

0

2

=

−

−

dx

dy

xe

y

e

y

y

b)

(

)

0

2

2

2

=

′

+

+

y

x

y

xy

c)

0

2

2

2

2

2

=

+

−

dy

x

y

dx

x

y

x

d)

0

3

1

2

4

2

2

3

=















−

+

dy

y

x

y

dx

y

x

e)

(

)

0

2

2

2

3

2

3

=

−

+

−

dx

dy

y

x

y

xy

x

f)

(

)

(

)

0

1

=

−

+

−

dy

e

e

dt

e

y

e

y

t

y

t

g)

(

)

0

1

cos

2

cos

sin

sin

2

2

2

=

′

+

+

+

−

y

x

y

y

x

x

y

y

x

h)

(

)

0

2

ln

2

=













−

+

+

−

dy

y

y

x

dx

y

x

i)

0

sin

2

sin

2

2

=















−

+













+

dy

y

x

y

dx

x

y

x

j)

0

1

2

2

2

2

2

=

















+

+

+

−

+

dx

dy

x

y

x

y

x

y

y

x

x

k)

(

)

0

2

2

3

=

−

−

dy

y

x

dx

xy

x

l)

0

1

2

2

2

2

=

+

−

−

+

+

+

y

x

xdy

ydx

y

x

ydy

xdx

Zad.2. Znaleźć całki ogólne równań różniczkowych wyższych rzędów jednorodnych o stałych współczynnikach:

a)

0

6

5

=

+

′

−

′′

y

y

y

b)

0

2

2

=

+

′

−

′′

y

a

y

a

y

c)

0

13

4

=

+

′

−

′′

y

y

y

d)

0

=

+

′

+

′′

y

y

y

e)

0

4

4

=

−

′

+

′′

−

′′

′

y

y

y

y

f)

( )

0

9

10

4

=

+

′′

+

y

y

y

g)

( )

( )

( )

( )

0

3

3

4

5

6

7

=

+

+

+

y

y

y

y

h)

( )

0

81

18

4

=

+

′′

+

y

y

y

i)

0

5

3

4

5

=

+

′

−

′′

y

y

y

Zad.3. Znaleźć całki ogólne równań różniczkowych wyższych rzędów o stałych współczynnikach::

a)

x

e

y

y

y

x

sin

2

2

2

−

=

+

′

+

′′

b)

( )

x

e

y

y

y

y

−

=

′

+

′′

+

′′

′

+

3

3

4

c)

(

)

x

x

x

y

y

y

sin

2

cos

1

6

7

+

−

=

+

′

−

′′

d)

2

2

x

y

y

y

=

−

′

+

′′

e)

( )

4

4

sin

5

x

x

e

y

y

x

+

=

−

f)

( )

1

2

sin

2

4

5

+

+

=

′′

′

+

x

e

y

y

x

g)

x

y

y

y

sin

10

9

6

=

+

′

+

′′

h)

x

e

y

y

y

x

3

sin

10

2

=

+

′

−

′′

i)

(

)

x

e

x

y

y

y

x

2

sin

8

4

4

2

2

+

+

=

+

′

−

′′

j)

x

e

y

y

−

=

+

′′

2

k)

x

y

y

y

3

sin

4

4

=

+

′

+

′′

l)

( )

1

2

5

−

=

′′

′

+

x

y

y

m)

x

x

y

y

y

4

cos

4

10

2

+

−

=

+

′

−

′′

n)

2

3

2

6

x

e

y

y

y

x

−

=

−

′

−

′′

Zad.4. Określić postać całki szczególnej

)

(x

y

s

równania różniczkowego liniowego niejednorodnego, jeśli znane są

pierwiastki

...

,

,

2

1

r

r

odpowiedniego równania charakterystycznego oraz postać funkcji

)

(x

f

prawej strony równania.

Przykład:

(

)

x

x

e

x

f

j

r

r

j

r

r

x

cos

sin

)

(

2

3

,

2

3

3

4

3

2

1

+

=

+

=

=

−

=

=

Ponieważ

1

,

3

=

=

β

α

, sprawdzamy, czy

j

±

3

jest pierwiastkiem równania charakterystycznego?

NIE, stąd przewidywana postać

(

)

x

B

x

A

e

x

y

x

s

cos

sin

)

(

3

+

=

ń

przewidywa

metodą

z

TABELKA

patrz

→

a)

(

)

x

x

e

x

f

j

r

r

j

r

r

x

2

sin

2

cos

)

(

2

5

,

2

5

5

4

3

2

1

+

=

+

=

=

−

=

=

2

b)

x

x

x

f

r

j

r

j

r

sin

3

cos

2

)

(

1

,

,

3

2

1

+

=

=

−

=

=

c)

2

4

3

)

(

0

,

0

2

2

1

+

+

=

=

=

x

x

x

f

r

r

d)

(

)

7

6

)

(

,

1

,

2

2

1

−

=

=

=

−

x

e

x

f

r

r

x

e)

R

∈

+

+

=

−

=

=

c

b

a

c

bx

ax

x

f

r

r

,

,

,

)

(

2

,

3

2

2

1

f)

(

)

b

ax

e

x

f

r

r

x

+

=

−

=

=

−

)

(

,

1

,

1

2

1

g)

(

)

(

)

x

x

x

x

x

f

j

r

j

r

sin

8

cos

1

3

)

(

2

,

2

2

2

1

+

+

−

=

=

−

=

Zad.5. Rozwiązać równania różniczkowe przy podanych warunkach początkowych:

a)

(

)

2

)

0

(

,

2

)

0

(

3

2

2

2

=

′

=

+

+

=

+

′

+

′′

y

y

x

x

e

y

y

y

x

b)

1

)

0

(

,

1

)

0

(

,

2

)

0

(

2

2

2

=

′′

=

′

=

−

=

′

+

′′

+

′′

′

−

y

y

y

e

y

y

y

x

c)

1

)

(

,

1

)

(

2

sin

=

′

=

−

=

+

′′

π

π

y

y

x

y

y

d)

(

)

13

2

)

0

(

sin

2

cos

2

3

=

+

=

+

y

x

x

e

y

dx

dy

x

e)

( )

14

)

0

(

,

6

)

0

(

,

0

)

0

(

,

1

)

0

(

0

6

10

5

4

−

=

′′

′

=

′′

=

′

=

=

−

′

+

′′

−

y

y

y

y

y

y

y

y

Zad.6.* Metodą uzmienniania stałych znaleźć całki ogólne równań:

a)

x

y

y

1

−

=

′

+

′′

b)

x

e

y

y

y

x

sin

1

2

2

=

+

′

+

′′

c)

(

)

2

1

2

3

+

=

+

′

+

′′

x

x

y

y

y

d)

x

y

y

cos

1

=

′

+

′′

′

Zad.7. Znaleźć całkę ogólną układu równań różniczkowych:

a)












−

=

−

=

y

dt

dy

x

dt

dx

2

b)












+

+

−

=

+

=

x

z

y

dx

dz

z

y

dx

dy

sin

3

c)



















+

=

+

=

+

=

y

x

dt

dz

z

x

dt

dy

z

y

dt

dx

d)



















−

=

+

−

=

−

−

=

z

x

dt

dz

z

x

y

dt

dy

z

y

x

dt

dx

2