1
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Elektrotechnika
Studia Niestacjonarne
Semestr III
Lista Zadań Nr 18
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – c.d.
UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
Zad.1. Rozwiązać równania różniczkowe zupełne:
a)
(
)
0
2
=
−
−
dx
dy
xe
y
e
y
y
b)
(
)
0
2
2
2
=
′
+
+
y
x
y
xy
c)
0
2
2
2
2
2
=
+
−
dy
x
y
dx
x
y
x
d)
0
3
1
2
4
2
2
3
=
−
+
dy
y
x
y
dx
y
x
e)
(
)
0
2
2
2
3
2
3
=
−
+
−
dx
dy
y
x
y
xy
x
f)
(
)
(
)
0
1
=
−
+
−
dy
e
e
dt
e
y
e
y
t
y
t
g)
(
)
0
1
cos
2
cos
sin
sin
2
2
2
=
′
+
+
+
−
y
x
y
y
x
x
y
y
x
h)
(
)
0
2
ln
2
=
−
+
+
−
dy
y
y
x
dx
y
x
i)
0
sin
2
sin
2
2
=
−
+
+
dy
y
x
y
dx
x
y
x
j)
0
1
2
2
2
2
2
=
+
+
+
−
+
dx
dy
x
y
x
y
x
y
y
x
x
k)
(
)
0
2
2
3
=
−
−
dy
y
x
dx
xy
x
l)
0
1
2
2
2
2
=
+
−
−
+
+
+
y
x
xdy
ydx
y
x
ydy
xdx
Zad.2. Znaleźć całki ogólne równań różniczkowych wyższych rzędów jednorodnych o stałych współczynnikach:
a)
0
6
5
=
+
′
−
′′
y
y
y
b)
0
2
2
=
+
′
−
′′
y
a
y
a
y
c)
0
13
4
=
+
′
−
′′
y
y
y
d)
0
=
+
′
+
′′
y
y
y
e)
0
4
4
=
−
′
+
′′
−
′′
′
y
y
y
y
f)
( )
0
9
10
4
=
+
′′
+
y
y
y
g)
( )
( )
( )
( )
0
3
3
4
5
6
7
=
+
+
+
y
y
y
y
h)
( )
0
81
18
4
=
+
′′
+
y
y
y
i)
0
5
3
4
5
=
+
′
−
′′
y
y
y
Zad.3. Znaleźć całki ogólne równań różniczkowych wyższych rzędów o stałych współczynnikach::
a)
x
e
y
y
y
x
sin
2
2
2
−
=
+
′
+
′′
b)
( )
x
e
y
y
y
y
−
=
′
+
′′
+
′′
′
+
3
3
4
c)
(
)
x
x
x
y
y
y
sin
2
cos
1
6
7
+
−
=
+
′
−
′′
d)
2
2
x
y
y
y
=
−
′
+
′′
e)
( )
4
4
sin
5
x
x
e
y
y
x
+
=
−
f)
( )
1
2
sin
2
4
5
+
+
=
′′
′
+
x
e
y
y
x
g)
x
y
y
y
sin
10
9
6
=
+
′
+
′′
h)
x
e
y
y
y
x
3
sin
10
2
=
+
′
−
′′
i)
(
)
x
e
x
y
y
y
x
2
sin
8
4
4
2
2
+
+
=
+
′
−
′′
j)
x
e
y
y
−
=
+
′′
2
k)
x
y
y
y
3
sin
4
4
=
+
′
+
′′
l)
( )
1
2
5
−
=
′′
′
+
x
y
y
m)
x
x
y
y
y
4
cos
4
10
2
+
−
=
+
′
−
′′
n)
2
3
2
6
x
e
y
y
y
x
−
=
−
′
−
′′
Zad.4. Określić postać całki szczególnej
)
(x
y
s
równania różniczkowego liniowego niejednorodnego, jeśli znane są
pierwiastki
...
,
,
2
1
r
r
odpowiedniego równania charakterystycznego oraz postać funkcji
)
(x
f
prawej strony równania.
Przykład:
(
)
x
x
e
x
f
j
r
r
j
r
r
x
cos
sin
)
(
2
3
,
2
3
3
4
3
2
1
+
=
+
=
=
−
=
=
Ponieważ
1
,
3
=
=
β
α
, sprawdzamy, czy
j
±
3
jest pierwiastkiem równania charakterystycznego?
NIE, stąd przewidywana postać
(
)
x
B
x
A
e
x
y
x
s
cos
sin
)
(
3
+
=
ń
przewidywa
metodą
z
TABELKA
patrz
→
a)
(
)
x
x
e
x
f
j
r
r
j
r
r
x
2
sin
2
cos
)
(
2
5
,
2
5
5
4
3
2
1
+
=
+
=
=
−
=
=
