Algebra: fizyka Lista 7
1. Znalez
ć postać trygonometryczną następujących liczb zespolonych
"
1 i 3
a) - , b) 4 + 3i , c) 1 - cos Ä… + i sin Ä… .
2 2
2. Korzystając z podanego na wykładzie twierdzenia o iloczynie liczb zespolonych
w postaci trygonometrycznej udowodnić wzór Moivre a:
zn = rn(cos nÕ + i sin nÕ) , r = |z| , Õ = arg(z) ,
dla dowolnej liczby zespolonej z " C" i dowolnej liczby naturalnej n " N.
3. Korzystając ze wzoru Moivre a wykazać, że każda liczba zespolona z " C" ma n
różnych pierwiastków stopnia n:

"
Õ + 2kÄ„ Õ + 2kÄ„
n
wk = r cos + i sin , k = 0, 1, . . . , n - 1.
n n
gdzie r = |z| , Õ = arg(z).
4. Obliczyć wszystkie pierwiastki:
"
" "
3
6 - i
8 3
a) -4 , b) 3 - 2i , c) .
i - 1
(1 + i)n+4
5. Obliczyć dla n " N.
(1 - i)n
6. Obliczyć sumę sin x + sin 3x + . . . + sin(2n - 1)x.
7. Pokazać, że zbiór pierwiastków stopnia n liczby 1 jest grupą abelową ze względu
na mnożenie liczb zespolonych. Z którą z poznanych dotąd grup skończonych
jest ona izomorficzna?
8. Rozwiązać równanie
z2 - (3 + 7i)z - 10 + 11i = 0 .
9. Wykazać, że jeżeli charakterystyka ciała jest różna od zera to musi ona być liczbą
pierwszÄ….
10. KorzystajÄ…c z twierdzenia Bézouta udowodnić, że każdy wielomian stopnia n nad
ciałem K ma w ciele K co najwyżej n pierwiastków.
11. Podzielić wielomian x4 - 5x3 - 3x2 + 9 przez wielomian x - 2.
12. Podzielić wielomian 4x5 +(2-i)x3 -5ix2 +(i-1)x-2i przez wielomian x+1-i.
25.11.09 Z.Jaskólski
1