Miary tendencji 
centralnej



Tendencja  centralna  to  inaczej  przeciętna 

wartość wyników pomiarów. Wartość ta jest 

zazwyczaj  bliska  punktowi  największego 

skupienia  pomiarów  i można  ją  uwazać  za 

najbardziej typową dla całego zbioru. 



Powszechnie  stosowane  miary  tendencji 

centralnej to:

·     średnia arytmetyczna
·     mediana
·     modalna, dominanta

 

 

Własności

 średniej 

arytmetycznej 

(M)



Średnia  arytmetyczna  to  suma  zbioru  pomiarów 

podzielona 

przez 

liczbę 

pomiarów 

w 

zbiorze.Oznacza  się  ją  często  przez  M  (od  ang. 

mean)

    M = (p

1

+p

2

+....p

N

)/N=  (p

i

)/N



Niektóre właściwości średniej:

         suma odchyleń wszystkich pomiarów od 

średniej arytmetycznej jest  równa zeru

          suma kwadratów odchyleń od średniej 

arytmetycznej jest mniejsza niż suma kwadratów 

odchyleń od dowolnej innej wartości. 

 

 

Mediana (Me)



Mediana jest wartością dzielącą wszystkie pomiary na 

pół, tak że połowa pomiarów mieści się poniżej niej, a 

połowa powyżej. Medianę oblicza się najczęściej wtedy 

gdy pojawiają się bardzo nietypowe wyniki, a nie ma 

powodów aby je eliminować



Znajdowanie mediany dla nieparzystej liczby pomiarów 

– jest to wynik środkowego pomiaru (wyznaczanie 

mediany dla zarobków w tys. zł:

    3, 2, 70, 1, 2; Me = 2 ; M = 15,6



Znajdowanie mediany dla parzystej liczby pomiarów – 

jest to średni wynik dwóch środkowych osób



(dla zarobków 3, 2,70, 1; Me = 2,5 = (2+3)/2



Znajdowanie mediany dla przedziałów klasowych

 

 

Skośność rozkładu a miary tendencji 
centralnej



Dominanta  (w literaturze częściej nazywana 
modalną  lub modą Md) jest wartością występującą 
najczęściej w rozkładzie wyników.



 Związki między wartościami średniej a mediany w 
zależności od skośności rozkładu):

            (a) dla rozkładu częstości (wyraźnie) skośnego 

dodatnio - średnia jest większa niż mediana, zaś 
mediana większa niż dominanta

           (b) dla rozkładu częstości (wyraźnie) skośnego 

ujemnie - średnia jest mniejsza niż mediana., zaś 
mediana mniejsza niż dominanta

 

 

Skośność a miary tendencji 
centralnej

 



Średnia  

3,67  



Mediana  

3,50  



Dominanta

 

3

 



Skośność  

,857  

Dla rozkładu wyraźnie 

skośnego dodatnio:

      M> Me> Md  

STU_CD

5,00

4,50

4,00

3,50

3,00

rozkład ocen studenta CD

rozkład skośny dodatnio

C

zę

st

oś

ć

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0

Odch.Std = ,82  
Średnia = 3,67
N = 6,00

 

 

Miary zmienności (rozproszenia) 

wyników rozkładu



Oprócz  znajomości  tendencji  centralnej  dla  danego 

rozkładu  wyników,  podstawową  własnością  rozkładu  jest 

zmienność (rozproszenie) wyników. 



Oceny Studenta A:   4, 4, 4

 



Oceny studenta B:     2, 4, 6

 
                Zmienność  różnych  właściwości,  jako  podstawa  badań 

empirycznych.

     
 Podstawowe miary zmienności: 
              rozstęp, wariancja, odchylenie  standardowe.

 

 

Miary zmienności



Rozstęp jest rozumiany jako różnica między 

największym i najmniejszym pomiarem 



Rozstęp dla studenta A =4-4= 0; dla studenta B = 6-2=4



Wariancja (variance) jest to suma kwadratów odchyleń 

wszystkich wyników od średniej dzielona przez liczbę 

wyników minus 1. 

                Wariancja = s

2

= (x

i  

- M)

2

/(N-1)



Odchylenie standardowe (SD – standard deviation)

       to pierwiastek z wariancji.
                   SD = (s

2

 )

             

 

 

Kolejne kroki obliczania wariancji i 
odchylenia standardowego (

na przykładzie 

ocen studenta B: 2, 4, 6 i A: 4, 4, 4) 

1.    Obliczyć średnią (M = 4).
2.     Obliczyć  odchylenia  od  średniej  (odjąć  średnią  od  każdego 

wyniku: -2, 0, 2).

3.    Obliczyć kwadraty odchyleń od średniej (4, 0, 4).
4.    Obliczyć sumę kwadratów odchyleń od średniej (4+0+4=8).
5.     Obliczyć  średnią  kwadratów  odchyleń  od  średniej 

(poprzednią sumę podzielić przez liczbę przypadków minus 1; 

8/2 = 4).

                   Obliczyliśmy wariancję  

s

2

= 4.

  

6.    Obliczamy odchylenie standardowe = pierwiastek z 

wariancji  

                      SD = 2.
Wariancja i odchylenie standardowe dla ocen studenta A = 0 

(brak zmienności wyników) 

 

 

Wpływ dodawania wartości stałej na 
miary tendencji centralnej i miary 
rozproszenia



    Dodanie wartości stałej 
do wszystkich wyników 
zmienia średnią, medianę i 
dominantę (modalną) o tę 
wartość. Nie zmienia 
wariancji i odchylenia 
standardowego. 

Np. aby zlikwidować liczby 

ujemne dla zbioru danych: 
2, 3, -3, -4, 2; dodano do 
wszystkich wyników 
wartość stałą 5, nowe 
dane:

      7, 8, 2, 1, 7

Statystyki

5

5

6

6

,00

5,00

2,00

7,00

2

7

3,24

3,24

10,50

10,50

7

7

Ważne
Braki danych

N

Średnia
Mediana
Dominanta
Odchylenie standardowe
Wariancja
Rozstęp

D1

D1_P_5

 

 

Wpływ mnożenia przez wartość stałą na 
miary tendencji centralnej i miary 
rozproszenia



    Pomnożenie  wszystkich  wyników  przez  stałą  zmienia 

średnią,  medianę  i  dominantę  –  są  one  iloczynem 

poprzedniej wartości i stałej. 



   Zmienia również wariancję (poprzednia wartość razy 

kwadrat stałej) oraz odchylenie standardowe (poprzednia 

wartość razy wartość bezwzględna stałej). 



Analogiczne zmiany zachodzą w przypadku dzielenia 

wyników przez stałą.



Weżmy np. kilka czasów reakcji wyrażonych w 

mikrosekundach  (800; 1600; 1800; 600) i zamieńmy je na 

sekundy (0,8; 1,6; 1,8; 0,6)

     

 

 

Dzielenie wszystkich wyników przez stałą - 
przykład

Statystyki

4

4

7

7

1200,00

1,2000

1200,00

1,2000

600

a

,60

a

588,78

,5888

346666,67

,3467

1200

1,20

Ważne
Braki danych

N

Średnia
Mediana
Dominanta
Odchylenie standardowe
Wariancja
Rozstęp

T1

T1_1000

Istnieje wiele wartości modalnych. Podano wartość najmniejszą.

a. 

 

 

Wyniki standardowe 
(standaryzowane) – wartości “z” 



Wyniki w takiej postaci, w jakiej zostały pierwotnie uzyskane w 
badaniu, określa się mianem wyników surowych. Dla 
porównania wyników osiąganych na różnych skalach (np. 
porównania ocen przy różnych skalach oceniania, lub wyników 
testów o różnej ilości punktów) przekształca się wyniki surowe 
na wyniki wyrażone w jednostkach odchylenia standardowego  – 
są to wyniki standardowe (nazywane w SPSS 
standaryzowanymi), czyli tzw. wartości „z”. 



      z

i

 = (x

i 

– M)/SD 

      M   – średnia (mean)
     SD – odchylenie standardowe (standard deviation)
      wartość standaryzowana “z” danego wyniku “x” =  wynik 

surowy (x

i

) minus średnia (M) dzielone przez odchylenie 

standardowe (SD) 

 

 

Hipotetyczne stopnie studenta SWPS w 

sesji :

6, 2, 4+, 3+, 4   

zamiana na wyniki standardowe

średnia  M = 4; 
wariancja  s

2

 = (4+4+0,25+0,25+0)/4 = 2,12

odchylenie standardowe SD = 1,46

wartości standaryzowane “z” poszczególnych wyników:
z

1 

= (6 – 4)/1,46 = 1,37  (dodatnia wartość “z”)

z

2 

 = (2 - 4)/1,46 = -1,37 (ujemna wartość “z”)

z

3 

= (4,5 - 4)/1,46 = 0,34 (lekko dodatnia wartość „z”)

z

4 

= (3,5 - 4)/1,46 = -0,34 (lekko ujemna wartość „z”)

z

5 

= (4 - 4)/1,46 = 0 (wynik równy średniej)

 

 

Właściwości wyników standardowych 
“z” dla danej próby wyników:

          średnia wyników „z” = 0; wariancja = 1
 
         wyniki „z” bliskie średniej M są bliskie 

wartości “0”,

         wyniki dokładnie równe średniej są równe 

zeru.

  
         wyniki “z” mniejsze od średniej M są ujemne
         wyniki “z” większe od średniej M są dodatnie

 

 

PYTANIE EGZAMINACYJNE 
(termin A, 1999/2000)

Anna otrzymała ocenę 5 z egzaminu (średnia ocen w 

jej grupie 3, wariancja ocen 4). Marek otrzymał 
ocenę 3,5 z egzaminu (średnia ocen w jego grupie 
2,5; odchylenie standardowe ocen 1,5). Który ze 
studentów wypadł lepiej na tle swojej grupy?

A.

Anna i Marek jednakowo

B.

Marek

C.

Anna

D.

Nie da się tego określić

C