Miary tendencji
centralnej



Tendencja centralna to inaczej przeciętna

wartość wyników pomiarów. Wartość ta jest

zazwyczaj bliska punktowi największego

skupienia pomiarów i można ją uwazać za

najbardziej typową dla całego zbioru.



Powszechnie stosowane miary tendencji

centralnej to:

·     średnia arytmetyczna
·     mediana
·     modalna, dominanta

Własności

średniej

arytmetycznej

(M)



Średnia arytmetyczna to suma zbioru pomiarów

podzielona

przez

liczbę

pomiarów

w

zbiorze.Oznacza się ją często przez M (od ang.

mean)

M = (p

1

+p

2

+....p

N

)/N= (p

i

)/N



Niektóre właściwości średniej:

      suma odchyleń wszystkich pomiarów od

średniej arytmetycznej jest równa zeru

suma kwadratów odchyleń od średniej

arytmetycznej jest mniejsza niż suma kwadratów

odchyleń od dowolnej innej wartości.

Mediana (Me)



Mediana jest wartością dzielącą wszystkie pomiary na

pół, tak że połowa pomiarów mieści się poniżej niej, a

połowa powyżej. Medianę oblicza się najczęściej wtedy

gdy pojawiają się bardzo nietypowe wyniki, a nie ma

powodów aby je eliminować



Znajdowanie mediany dla nieparzystej liczby pomiarów

– jest to wynik środkowego pomiaru (wyznaczanie

mediany dla zarobków w tys. zł:

3, 2, 70, 1, 2; Me = 2 ; M = 15,6



Znajdowanie mediany dla parzystej liczby pomiarów –

jest to średni wynik dwóch środkowych osób



(dla zarobków 3, 2,70, 1; Me = 2,5 = (2+3)/2



Znajdowanie mediany dla przedziałów klasowych

Skośność rozkładu a miary tendencji
centralnej



Dominanta (w literaturze częściej nazywana
modalną lub modą Md) jest wartością występującą
najczęściej w rozkładzie wyników.



Związki między wartościami średniej a mediany w
zależności od skośności rozkładu):

(a) dla rozkładu częstości (wyraźnie) skośnego

dodatnio - średnia jest większa niż mediana, zaś
mediana większa niż dominanta

(b) dla rozkładu częstości (wyraźnie) skośnego

ujemnie - średnia jest mniejsza niż mediana., zaś
mediana mniejsza niż dominanta

Skośność a miary tendencji
centralnej



Średnia

3,67



Mediana

3,50



Dominanta

3



Skośność

,857

Dla rozkładu wyraźnie

skośnego dodatnio:

M> Me> Md

STU_CD

5,00

4,50

4,00

3,50

3,00

rozkład ocen studenta CD

rozkład skośny dodatnio

C

zę

st

oś

ć

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0

Odch.Std = ,82
Średnia = 3,67
N = 6,00

Miary zmienności (rozproszenia)

wyników rozkładu



Oprócz znajomości tendencji centralnej dla danego

rozkładu wyników, podstawową własnością rozkładu jest

zmienność (rozproszenie) wyników.



Oceny Studenta A: 4, 4, 4

 



Oceny studenta B: 2, 4, 6

 
Zmienność różnych właściwości, jako podstawa badań

empirycznych.

 
Podstawowe miary zmienności:
rozstęp, wariancja, odchylenie standardowe.

Miary zmienności



Rozstęp jest rozumiany jako różnica między

największym i najmniejszym pomiarem



Rozstęp dla studenta A =4-4= 0; dla studenta B = 6-2=4



Wariancja (variance) jest to suma kwadratów odchyleń

wszystkich wyników od średniej dzielona przez liczbę

wyników minus 1.

Wariancja = s

2

= (x

i

- M)

2

/(N-1)



Odchylenie standardowe (SD – standard deviation)

to pierwiastek z wariancji.
SD = (s

2

)

Kolejne kroki obliczania wariancji i
odchylenia standardowego (

na przykładzie

ocen studenta B: 2, 4, 6 i A: 4, 4, 4) 

1.    Obliczyć średnią (M = 4).
2.    Obliczyć odchylenia od średniej (odjąć średnią od każdego

wyniku: -2, 0, 2).

3.    Obliczyć kwadraty odchyleń od średniej (4, 0, 4).
4.    Obliczyć sumę kwadratów odchyleń od średniej (4+0+4=8).
5.    Obliczyć średnią kwadratów odchyleń od średniej

(poprzednią sumę podzielić przez liczbę przypadków minus 1;

8/2 = 4).

Obliczyliśmy wariancję

s

2

= 4.

6.    Obliczamy odchylenie standardowe = pierwiastek z

wariancji

SD = 2.
Wariancja i odchylenie standardowe dla ocen studenta A = 0

(brak zmienności wyników)

Wpływ dodawania wartości stałej na
miary tendencji centralnej i miary
rozproszenia



    Dodanie wartości stałej
do wszystkich wyników
zmienia średnią, medianę i
dominantę (modalną) o tę
wartość. Nie zmienia
wariancji i odchylenia
standardowego.

Np. aby zlikwidować liczby

ujemne dla zbioru danych:
2, 3, -3, -4, 2; dodano do
wszystkich wyników
wartość stałą 5, nowe
dane:

7, 8, 2, 1, 7

Statystyki

5

5

6

6

,00

5,00

2,00

7,00

2

7

3,24

3,24

10,50

10,50

7

7

Ważne
Braki danych

N

Średnia
Mediana
Dominanta
Odchylenie standardowe
Wariancja
Rozstęp

D1

D1_P_5

Wpływ mnożenia przez wartość stałą na
miary tendencji centralnej i miary
rozproszenia



   Pomnożenie wszystkich wyników przez stałą zmienia

średnią, medianę i dominantę – są one iloczynem

poprzedniej wartości i stałej.



Zmienia również wariancję (poprzednia wartość razy

kwadrat stałej) oraz odchylenie standardowe (poprzednia

wartość razy wartość bezwzględna stałej).



Analogiczne zmiany zachodzą w przypadku dzielenia

wyników przez stałą.



Weżmy np. kilka czasów reakcji wyrażonych w

mikrosekundach (800; 1600; 1800; 600) i zamieńmy je na

sekundy (0,8; 1,6; 1,8; 0,6)

Dzielenie wszystkich wyników przez stałą -
przykład

Statystyki

4

4

7

7

1200,00

1,2000

1200,00

1,2000

600

a

,60

a

588,78

,5888

346666,67

,3467

1200

1,20

Ważne
Braki danych

N

Średnia
Mediana
Dominanta
Odchylenie standardowe
Wariancja
Rozstęp

T1

T1_1000

Istnieje wiele wartości modalnych. Podano wartość najmniejszą.

a.

Wyniki standardowe
(standaryzowane) – wartości “z”



Wyniki w takiej postaci, w jakiej zostały pierwotnie uzyskane w
badaniu, określa się mianem wyników surowych. Dla
porównania wyników osiąganych na różnych skalach (np.
porównania ocen przy różnych skalach oceniania, lub wyników
testów o różnej ilości punktów) przekształca się wyniki surowe
na wyniki wyrażone w jednostkach odchylenia standardowego –
są to wyniki standardowe (nazywane w SPSS
standaryzowanymi), czyli tzw. wartości „z”.



  z

i

= (x

i

– M)/SD

  M – średnia (mean)
SD – odchylenie standardowe (standard deviation)
wartość standaryzowana “z” danego wyniku “x” = wynik

surowy (x

i

) minus średnia (M) dzielone przez odchylenie

standardowe (SD)

Hipotetyczne stopnie studenta SWPS w

sesji :

6, 2, 4+, 3+, 4

zamiana na wyniki standardowe

średnia M = 4;
wariancja s

2

= (4+4+0,25+0,25+0)/4 = 2,12

odchylenie standardowe SD = 1,46

wartości standaryzowane “z” poszczególnych wyników:
z

1

= (6 – 4)/1,46 = 1,37 (dodatnia wartość “z”)

z

2

= (2 - 4)/1,46 = -1,37 (ujemna wartość “z”)

z

3

= (4,5 - 4)/1,46 = 0,34 (lekko dodatnia wartość „z”)

z

4

= (3,5 - 4)/1,46 = -0,34 (lekko ujemna wartość „z”)

z

5

= (4 - 4)/1,46 = 0 (wynik równy średniej)

Właściwości wyników standardowych
“z” dla danej próby wyników:

   średnia wyników „z” = 0; wariancja = 1
 
  wyniki „z” bliskie średniej M są bliskie

wartości “0”,

wyniki dokładnie równe średniej są równe

zeru.

  
  wyniki “z” mniejsze od średniej M są ujemne
   wyniki “z” większe od średniej M są dodatnie

PYTANIE EGZAMINACYJNE
(termin A, 1999/2000)

Anna otrzymała ocenę 5 z egzaminu (średnia ocen w

jej grupie 3, wariancja ocen 4). Marek otrzymał
ocenę 3,5 z egzaminu (średnia ocen w jego grupie
2,5; odchylenie standardowe ocen 1,5). Który ze
studentów wypadł lepiej na tle swojej grupy?

A.

Anna i Marek jednakowo

B.

Marek

C.

Anna

D.

Nie da się tego określić

C