Wykład 5

Rozkład normalny i

prawdopodobieństwo

Krótkie powtórzenie

Badacze zajmujący się psychologią społeczną stwierdzili, że

im osoba bardziej atrakcyjna tym mniej zawiera
znajomości w czasie imprez.

1. Gdyby tę zależność obrazować za pomocą wykresu to

najbardziej adekwatny wydaje się wykres:

2. Gdyby tę zależność opisywać za pomocą współczynnika

korelacji to wartość tego współczynnika wynosiłaby

a. R=0,9 b. R=-0,9 c. R=0

wartości X

10

8

6

4

2

0

w

ar

to

śc

i Y

10

8

6

4

2

0

wartości X

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

w

ar

to

śc

i Y

10

8

6

4

2

0

-2

-4

3.

Badano zależność między dochodami a poczuciem

szczęścia i uzyskano współczynnik r-Pearsona
wynoszący zero. Oznacza to, że:

A.

Nie ma związku między dochodami a poczuciem
szczęścia

B.

Nie ma związku liniowego między dochodami a
szczęściem

C.

Jest zależność między dochodami a poczuciem
szczęścia – im większe dochody tym mniejsze
poczucie szczęścia

4. Badacz na podstawie wydruku znajdującego się poniżej

stwierdził, że zależność między ilością cukierków a
wykonaniem zadania u dzieci jest idealna. Czy dobrze
odczytał wydruk?

Korelacje

1

,069*

1100

1100

,069*

1

1100

1100

Korelacja Pearsona
N
Korelacja Pearsona
N

cukierki

zadania

cukierki

zadania

*.

5.

Współczynnik korelacji między ilością zjedzonej trawy a ilością

mleka krów rasy holenderskiej wynosi r=0,7. Pomóżmy

naszemu rolnikowi – Panu Jarząbkowi zinterpretować wynik.

A. Krowy, które jedzą dużo trawy dają mało mleka.
B. Krowy, które jedzą dużo trawy dają dużo mleka.
C. Nie ma zależności między ilości trawy zjadanej a ilością mleka.

6. Pan Jarząbek próbował sam policzyć współczynnik korelacji i

uzyskał wartość r = -1,1. Co to oznacza?

A.

Silną ujemną zależność

B.

Silną dodatnią zależność

C.

Pomyłkę obliczeniową

Wykresy

Ludzie uwielbiają obrazki - jest to pierwotny

system komunikacyjny w odróżnieniu od

wtórnego – symbolicznego.

Komunikacja za pomocą symboli obrazkowych

jest bardzo rozpowszechniona

• Gdzie?
W windowsach (ikonki), znakach drogowych,
• Dlaczego?
Bo to szybki system komunikacji

Wykresy słupkowe 1

Na wykresie słupkowym można podsumować różne informacje. Na

poniższym wykresie na pionowej osi znajduje się średnia ze
zmiennej dochód dla każdej grupy wyodrębnionej ze względu na
płeć

Wykresy słupkowe 2

Na wykresie słupkowym można podsumować różne informacje. Na

poniższym wykresie na pionowej osi znajduje się średnia ze
zmiennej dochód dla każdej grupy wyodrębnionej ze względu na
płeć

Płaca początkowa

62

50

0,0

57

50

0,0

52

50

0,0

47

50

0,0

42

50

0,0

37

50

0,0

32

50

0,0

27

50

0,0

22

50

0,0

17

50

0,0

12

50

0,0

75

00

,0

Płaca początkowa

C

zę

st

o

ść

200

100

0

Odch.Std = 6967,98
Średnia = 26064,2
N = 1100,00

Histogram1

Zmienna jest ciągła

więc jest
pogrupowana. Tutaj
na 20 przedziałów

Histogram2

• A tutaj tylko

na 5
przedziałów

Płaca początkowa

60250,0

36250,0

12250,0

Płaca początkowa

C

zę

st

o

ść

800

600

400

200

0

Odch.Std = 6967,98
Średnia = 26064,2
N = 1100,00

Płaca początkowa

Płaca początkowa

C

zę

st

o

ść

100

80

60

40

20

0

Odch.Std = 6967,98
Średnia = 26064,2
N = 1100,00

Histogram3

A tutaj na 80

przedziałów

Rozkład częstości

Skośność

• Skośność określa symetryczność

bądź asymetryczność rozkładu
liczebności.

Rozkład

dodatnio, prawoskośny

 najwięcej wyników poniżej
średniej

Taka sytuacja może mieć miejsce, gdy
zrobimy zbyt trudny test i prawie wszyscy
dostaną dwóje. Skośność przyjmuje
wtedy wartości powyżej zera.
Prawoskośny gdyż dłuższe ramię rozkładu
wyciąga się na prawo (albo kopiemy go
prawą nogą)

Rozkład

ujemnie, lewoskośny

najwięcej wyników powyżej
średniej

Dzieje się tak wtedy, gdy robimy zbyt prosty
test i wszyscy zaliczaja go na pięć. Skośność
przyjmuje wartości ujemne. Lewoskośny,
gdyż dłuższe ramię dzwonu sięga w lewo
(lub kopiemy go lewą nogą)

Moda > mediana >
średnia

Moda < mediana <
średnia

Wykres skrzynkowy

Linia w środku skrzynki to

mediana,

Skrzynkę tworzy pierwszy i

trzeci kwartyl

Kółka to przypadki odstające
Gwiazdki to dewianci

631

469

N =

Płeć

Mężczyzna

Kobieta

P

ła

ca

p

o

cz

ąt

ko

w

a

70000

60000

50000

40000

30000

20000

10000

0

327

630

915

459

765

568

276

1008

271

545

925

663

1007

967

Jak oszukiwać za pomocą

wykresów 1

Wniosek:
Kobiety są lepsze od

mężczyzn w testach
słownych a gorsze w
rotacji figur

U mężczyzn wzorzec jest

odwrotny

Jak oszukiwać za pomocą

wykresów 2

Mama Krysi zajrzała do jej dzienniczka

ucznia i zobaczyła następujące oceny
na koniec semestru: 4; 5; 3+; 3+; 3; 5;
6. Co mama może powiedzieć o
rozkładzie ocen swojej córki:

– rozkład ocen jest niesymetryczny
– rozkład ocen jest jednomodalny
– rozkład ocen jest dwumodalny
– rozkład ocen jest skośny dodatnio

Mama Józka zajrzała do jego

dzienniczka i zobaczyła następujące
oceny na koniec semestru: 4; 5; 3; 3;
3; 6. Co mama może powiedzieć
ocenach swego syna:

– średnia ocen jest wyższa od modalnej
– mediana jest większa od średniej
– rozkład ocen Jasia jest skośny ujemnie
– mediana jest równa modalnej

Szczególny przypadek

rozkładu częstości –

ROZKŁAD NORMALNY

Jeszcze trochę o zmienności zmiennych

• Immanentna właściwość zmiennej, np.
Wiek
Waga
Wzrost

•

Ale również

Pamięć (7+-2)

Czas reakcji

Jakich wartości jest najwięcej? Jakie są najczęściej
spotykane?

• Rozkład częstości wielu zmiennych, które

mierzą psychologowie ma symetryczny
kształt, przypominający dzwon

• Przybliżony do precyzyjnie opisanego

rozkładu matematycznego nazywanego
rozkładem normalnym, lub krzywą
normalną

• Alternatywna nazwa: krzywa dzwonowa lub

krzywa Gaussa (od nazwiska astronoma Karla
Friedricha Gaussa)

c

z

ę

s

to

ś

ć

w

y

s

tę

p

o

w

a

n

ia

d

a

n

e

j

w

a

rt

o

ś

c

i

z

m

ie

n

n

e

j

wartości
zmiennej

Rozkład normalny

Krzywa dzwonowa

Krzywa Gaussa

Tło historyczne

• DeMoivre (1667-1754) – przewidywanie

wyników w grach losowych

• Pierre-Simon Laplace (1749-1827) –

precyzyjny opis matematyczny

• Carl Francis Gauss (1777-1855) – bardziej

użytkowa forma

- Laplace i Gauss: rozkład błędów w

obserwacjach astronomicznych

• Adolph Quetelet (1796-1874) – pierwsze

zastosowanie rozkładu normalnego do

danych biologicznych i społecznych

- Średnia – ideał, wariancja – dewiacje

• Krańce rozkładu normalnego stykają się z

osią x w nieskończoności

• Ma kształt dzwonu, jest symetryczny wokół

średniej

• Jest funkcją średniej i odchylenia

standardowego

– Znając średnią i odchylenie standardowe

możemy wyznaczyć krzywą rozkładu normalnego

Charakterystyka rozkładu normalnego

Powinien być symetryczny wokół

średniej

Średnia,
mediana i
modalna są
sobie równe

Wszystkie są
symetryczne,
chociaż, nie są
takie same,
różnią się
rozproszeniem
wyników,
spiczatością

Rozład normalny może nie tylko być przesunięty w lewo
lub prawo ze względu na średnią, ale i rozciągnięty lub
ściśnięty przez odchylenie standardowe

Miarą zagęszczenia (koncentracji wyników wokół
miary centralnej – średniej) jest

kurtoza

Rozkład wysmukły (skoncentrowany)

–

leptokurtyczny

kurtoza przyjmuje wartości większe od
zera
większa gęstość (koncentracja)
wyników wokół wartości średnich niż w
rozkładzie normalnym

Rozkład spłaszczony (rozproszony) –

platykurtyczny

kurtoza przyjmuje wartości mniejsze od
zera
mniejsza gęstość (koncentracja)
wyników wokół wartości średnich niż w
rozkładzie normalnym

Za ciasno - źle, za luźno – też niedobrze

Jak staje się normalny?

• Istnieje dowód matematyczny na to,

że jeżeli jest wiele zdarzeń i
wszystkie wpływy na wartości
zmiennej zależnej mają charakter
losowy, otrzymamy precyzyjną
krzywą normalną

• Np., w teście zapamiętywania

Im więcej obserwacji, tym rozkład bardziej normalny

Lata nauki szkolnej

18,3

16,3

14,3

12,3

10,3

8,3

6,3

4,3

5

4

3

2

1

0

Odch.Std = 3,67
Średnia = 13,7
N = 20,00

N = 20

Lata nauki szkolnej

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Odch.Std = 3,25
Średnia = 14,1
N = 60,00

N = 60

Lata nauki szkolnej

500

400

300

200

100

0

Odch.Std = 3,07
Średnia = 13,0
N = 1496,00

N = 1496

Jaki z niego pożytek?

• Z samego rozkładu normalnego

niewielki,

Ale

• Z wystandaryzowanego rozkładu

normalnego już znaczny

Standaryzacja - przypomnienie

• Ankieta asertywności Kuhla
Średnia=50 std. Dev=5
Jaś=55

• Ankieta asertywnosci Golemana
Średnia=20 std. Dev=4
Małgosia=32
Ile wynosi średnia po standaryzacji?
Ile wynosi odchylenie std po standaryzacji?
Czy wyniki Jasia i Oli są takie same?
Jaś Z=2 Ola Z=-2
Kto ma niższy wynik?

• Standardowy kształt krzywej umożliwia ustalenie
procenta przypadków poniżej lub powyżej dowolnego jej
punktu oraz procentów w zakresie pomiędzy dowolnymi
wartościami Z

• 50% przypadków
poniżej średniej -
rozkład symetryczny

• między średnią a
wynikiem odległym
o 1 odchylenie
standardowe
znajduje się 34%
przypadków – jest to
także punkt
przegięcia tej
krzywej: od tego
miejsca bardziej
odchyla się na
zewnątrz niż opada
w dół.

Przydatność regularności

• np. wyniki IQ – średni wynik IQ = 100, a odchylenie

standardowe 16

• jeśli 34% przypadków trafia między średnią a 1

odchylenie standardowe, to 34% ludzi ma IQ

pomiędzy 100 a 116,

• taki sam procent (34%) ma wynik pomiędzy 84 a

100

• czyli 68% ludzi ma wynik IQ od 84 do 116

• odwrotność: na podstawie procentów możemy

podać ilość odchyleń standardowych od średniej:

Jeśli wyniki testu mają rozkład normalny i dany wynik

znalazł się w górnych 2%, to osoba ta musi mieć wynik

przynajmniej 2 os wyższy od średniej